1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标及运算(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标及运算，涵盖坐标表示、模与夹角、平行垂直的坐标运算。课前通过单位正交基底、坐标公式及诊断分析夯实基础，课中设三个探究点，结合例题与变式递进，构建学习支架。 其亮点是以素养小结贯穿，如坐标运算小结强调直接计算与方程组法，培养数学思维；模与夹角小结规范步骤，提升数学语言表达。诊断分析辨析易错点，如共线条件需坐标非零，助力学生用数学眼光发现问题，教师可借结构化资源提高教学效率。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标及运算 2 探究点一 空间向量的坐标运算 探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示 探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.了解空间向量坐标的定义; 2.掌握空间向量运算的坐标表示; 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角. 4 知识点一 空间中向量的坐标 1.单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底,,中，,, 都是_________， 而且这三个向量__________，就称这组基底为单位正交基底. 单位向量 两两垂直 2.单位正交分解 在单位正交基底,, 下向量的分解称为向量的单位正交分解， 如果，则称有序实数组________为向量 的坐标， 记作____________，其中,,都称为 的坐标分量. 课 前 预 习 5 知识点二 空间向量的坐标运算 若, ,则 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 _________________________ 加法 _______________________ 线性运算 _____________________________ 数量积 __________________ 模 ，， 课 前 预 习 6 向量运算 向量表示 坐标表示 夹角 ， 续表 课 前 预 习 知识点三 空间向量的平行、垂直 设,, . 1.平行： _____, _____, ____. 当的每一个坐标分量都不为零时，有 . 2.垂直： _____________________. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）空间向量 是一个单位向量.( ) × [解析] ，故 不是单位向量. （2）若空间向量与 共线，则 .( ) × [解析] 当的每一个坐标分量都不为零时，若, 共线，则 . （3）设，，若，则 .( ) √ [解析] 若，则，即，解得 . 课 前 预 习 9 探究点一 空间向量的坐标运算 例1 已知, ,求: （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） ; 解： . （4） . 解： . 课 中 探 究 10 变式（1）已知向量，， 不 共线，若可用与表示，则 的值为____. [解析] 设，则解得 课 中 探 究 11 （2）已知向量，，求 ， . 解：设， . 由题可知且解得 故，，则 ， ， . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 解决空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐 标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方 程组求其坐标. 课 中 探 究 13 探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示 例2 已知，，且 . （1）求 ； 解：因为，所以 ， 即，解得 ， 所以 ， 所以 . 课 中 探 究 14 （2）求与 夹角的余弦值. 解：易知，且 ， 所以, ， 即与夹角的余弦值为 . 例2 已知，，且 . 课 中 探 究 15 变式 （1） [2026·广东东莞高二期中] 已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2), 则|a-b+3c|=　　.  5 [解析] 因为a-b+3c=(2,-3,1)-(2,0,3)+3(0,0,2)=(0,-3,4), 所以|a-b+3c|==5. 课 中 探 究 16 变式 （2） 已知向量，满足，， ， 则向量与向量 的夹角是___. [解析] 因为 ，所以 ，故 ， 因此,，故向量 与向量 的夹角是 . 课 中 探 究 17 变式 （3） [2026·海口高二月考] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2), C(-3,0,4),设a=,b=. ①求a与b的夹角θ的余弦值; [解析] 由题意得,a==(1,1,0),b==(-1,0,2), ∴cos θ===-, 即a与b的夹角θ的余弦值为-. 课 中 探 究 18 变式 （3） [2026·海口高二月考] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2), C(-3,0,4),设a=,b=. ②求|a+2b|; [解析] 由题意得,a+2b=(1,1,0)+2(-1,0,2)=(-1,1,4), 故|a+2b|==3.   课 中 探 究 19 变式 （3） [2026·海口高二月考] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2), C(-3,0,4),设a=,b=. ③若向量ka+b与ka-2b垂直,求k的值. [解析]  由题意得ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b= (k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4). ∵ka+b与ka-2b垂直,∴(k-1)(k+2)+k2-8=0,即2k2+k-10=0, 解得k=-或k=2. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 1.求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算. 利用<m></m>，将向量的模的运算转化为向量的数量积问题. （2）坐标表示下的运算. 若<m></m>，则<m></m>，于是有 <m></m>. 课 中 探 究 21 2.利用数量积求两向量夹角的步骤 课 中 探 究 22 探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示 例3（1）在空间中，已知， ， 若是直角三角形，则 的值为________. 或 [解析] 由题得. 若 ，则，即，解得； 若 ，则，即，解得； 若 ，则，即 ， 整理得，无解. 综上，或 . 课 中 探 究 23 （2）已知，，， ， . ①若，共线，求实数 的值； 解：由题得，解得 ， 又,所以，解得 ， 所以， ， 所以， . 因为，共线，所以，解得 . 课 中 探 究 24 ②若向量与的夹角为锐角，求实数 的取值范围. 解：由①知，， ， 因为向量与 的夹角为锐角， 所以，解得 ， 又当时，，所以实数 的取值范围为 . （2）已知，，， ， . 课 中 探 究 25 变式（1）［2025·河北邯郸一中高二月考］已知 ， ，且 ，则( ) A.， B.， C.， D.， √ 课 中 探 究 26 [解析] 由题得 ，， ， 存在非零实数 ，使得， 则 解得 故选B. 课 中 探 究 （2）已知向量，，且，则实数 的值是( ) A. B. C.3 D. [解析] 由题得，因为 ，所以 ，解得 .故选B. √ 课 中 探 究 28 ［素养小结］ （1）判断空间向量垂直或平行的步骤: 对于<m></m>,<m></m>,根据<m></m>的值是否 为0判断两向量是否垂直;根据<m></m>,<m></m>,<m></m>或 <m></m>,<m></m>,<m></m>都不为0<m></m>是否成立判断两向量是否平行. （2）平行与垂直的应用. ①适当引入参数（比如向量<m></m>，<m></m>平行，可设<m></m>），建立关于参 数的方程（组）. ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 课 中 探 究 29 1.已知向量，，若，则实数 的值 是( ) A. B. C.0 D.1 [解析] 由题得,解得 .故选D. √ 课 堂 评 价 30 2.已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以，与 不平行， 因为，所以与 不垂直. 因为,所以与 不垂直.故选C. √ 课 堂 评 价 31 3. [2026·合肥高二月考] 已知向量a=(2,0,1),b=(1,1,0),且(ka+b)⊥(a-2b), 则k的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 [解析] 由已知得ka+b=(2k+1,1,k),a-2b=(0,-2,1). 因为(ka+b)⊥(a-2b),所以(ka+b)·(a-2b)=(2k+1)×0+1×(-2)+k×1=0, 解得k=2.故选C. √ 课 堂 评 价 32 4.[2026·南昌高二月考] 已知向量a=(3,0,-1),b=(1,-2,1),则向量a在向量b上 的投影向量的坐标为 ( ) A. B. C. D. [解析]由b=(1,-2,1),得|b|==,则向量a在向量b上的 投影向量的坐标为·b=(1,-2,1)=(1,-2,1)=. 故选B. √ 课 堂 评 价 33 5.已知向量，，则 ______， , __. [解析] 因为向量, ，所以 ，所以 . 由题意可得,,， 则 ,，又,，所以, . 课 堂 评 价 34 是两个空间向量平行的充要条件；而 是当 的每一个坐标分量都不为零（即 与三条坐标轴都不 平行）时才有的结论，它是两个空间向量平行的充分条件，而不是 充要条件. 新 知 拓 延 35 课后习题 36 1.［2025·湖北随州第二高级中学高二月考］已知 ， ，，则 等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，，所以 ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.设,,,,，且, ， 则 ( ) A. B.0 C.3 D. [解析] 由，得，解得 ，则. 由，得，解得， ，所以， 故，则 . 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.［2026·浙江杭州高二期中］已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是( ) A.与垂直 B.与 共线 C.与所成角为钝角 D.在上的投影向量为 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 对于A选项，，所以与 不垂直， 故A错误； 对于B选项，，显然与 不共线，故B错误； 对于C选项，因为，且，为非零向量，所以 与所成角为 ， 故C错误； 对于D选项，在 上的投影向量为, ，故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 4.已知{,,}是空间向量的一组单位正交基底，且 , ，则与 夹角的正弦值为( ) A. B. C. D. [解析] 设与的夹角为 ，，因为{,, }是空间向量的 一组单位正交基底，且, ， 所以, ， 所以， 因为 ，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 5.若向量,且,则 ( ) A.或 B. C. D.或 [解析] ,, 可设 , ,解得,, 或 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 6.已知空间向量,,，则“ , ,,四点共面”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 由,,,四点共面，可得,, 共面， 设 ， 则可得 所以，即 ，反之也成立， 故“,,,四点共面”是“ ”的充要条件.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）已知空间中两个向量, ，则下列 结论正确的是( ) A.若，且，则 B.和的夹角的余弦值为 C.若与垂直，则 的值为2 D.若与向量垂直，则 ， 应满足 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 对于A，依题意，若 ，则 ，又 ，所以 ，解得，所以 或 ，故A不正确； 对于B， ,，故B正确； 对于C，若与 垂直，则 ， 解得或 ，故C不正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 对于D， , 若与向量 垂直，则 ，即 ，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知空间中两个向量，，则在 上 的投影的数量为___. [解析] 在上的投影的数量为 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 9. [2025·江苏泰州高二期中] 已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4), 则p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为　　　　.  (2,1,3) [解析] 由题意可得p=2a+3b+4c. 设p=x(a+b)+y(b+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c, 则解得所以所求坐标为(2,1,3). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 10.（13分）已知空间中两个向量， . （1）求以线段， 为邻边的平行四边形的面积； 解：, ， , ， , ， ， 以， 为邻边的平行四边形的面积 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （2）若向量分别与,垂直，且，求 的坐标. 解：设 . ,，且 ， 解得或 或 . 10.（13分）已知空间中两个向量， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 11.已知=(1,2,-2),=(0,3,0),则△ABC的面积为( ) A. B.3 C. D.3 [解析] 因为=(1,2,-2),=(0,3,0),所以||=3,||=3, 所以cos∠ABC==,所以sin∠ABC==, 所以△ABC的面积为×3×3×=.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 12. [2026·太原高二期中] 已知=(a,b,0)(a<b)为单位向量,且与 =(1,1,0)的夹角的余弦值为,若向量=(0,b,c),则cos∠AOB( ) A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值 [解析] 由题可知·=||||cos∠AOC=×1×==a+b①, ||2=a2+b2=1②,由①②及a<b,可得a=,b=. 因为cos∠AOB===, 所以当c=0时,cos∠AOB取得最大值.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 13.（多选题）［2025·安徽亳州高二期末］ 在空间直角坐标系 中，， ，则( ) A.存在，使得 B.存在，使得 C.若向量,的夹角是锐角，则的取值范围是 D.若向量,的夹角是钝角，则的取值范围是 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 对于A，， ，若 ，则 ，整理得 ，因为 ，所以存 在，使得，故A正确. 对于B， ，若，则 ，整理得， 因为 ，所以不存在， 使得，故B错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 对于C， ，，若向量，的夹角是锐角， 则, 且，不共线，则 , 且， 因为， ，所以， 即，解得；假设 ， 则解得所以若，则 . 综上所述，若向量,的夹角是锐角，则的取值范围是 ，故C错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，若向量,的夹角是钝角，则,且 ， 不共线，即且 ， 根据C中结果，有且，所以若向量,的夹角是钝角， 则 的取值范围是，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）已知向量， . （1）若，求, ； 解：当时，，, ， 因为,，所以, . （2）求证：对任意，与 不垂直； 证明：对任意 ， ， 故与 不垂直. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 （3）若与平行，求 ， 的值. 解： ， 因为与 平行， 所以解得 14.（15分）已知向量， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 15.（多选题）设向量， ，其中 ，则下列说法正确的是( ) A.向量与的夹角为定值（与， 的值无关） B.的最大值为 C.与的夹角的最大值为 D. 的最大值为1 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 因为,所以设 , ., , 因为,，所以, ，故A正确； ，所以 的最大值为1， 故B错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 , ， 则,，所以,，所以 与夹角的最大值 为 ，故C正确； ， 所以 的最大值为1，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设空间中两个单位向量， 与向量 的夹角的余弦值都等于，则 __. [解析] 因为为单位向量，且与 的夹角的 余弦值为，所以，，解得 ， 同理可得，所以, ， 又，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 $