1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念及线性运算(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析夯实基础，课中探究设三个探究点逐步深化，搭建从概念理解到运算应用的学习支架，衔接平面向量与空间向量知识脉络。 其亮点在于以“诊断分析”辨析易混概念培养数学眼光，“课中探究”结合长方体、三棱锥等几何体实例发展数学思维，“素养小结”提炼运算技巧规范数学语言。助力学生提升空间观念与逻辑推理能力，教师可系统推进教学提升效率。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念及线性运算 2 探究点一 空间向量的有关概念及应用 探究点二 空间向量的加减运算 探究点三 空间向量的数乘运算及其应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解空间向量的相关概念； 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出空间向量的和与差,掌 握空间向量的线性运算的意义及运算律. 4 知识点一 空间向量的有关概念 1.定义：空间中既有______又有______的量称为空间向量.向量的大 小也称为向量的____（或______）.空间向量可用有向线段表示，有 向线段的______表示向量的大小，向量的始点是，终点是 ，则 向量也可记作，其模记为或 . 向量与有向线段的区别：向量的要素为大小和方向，向量是可以自 由移动的；有向线段的要素为始点、终点、长度，有向线段是固定 的，不能自由移动. 大小 方向 模 长度 长度 课 前 预 习 5 2.几类特殊的空间向量 名称 定义 表示 零向量 始点和终点______的向量称为零向 量，零向量的方向是不确定的 用___表示， 单位向量 模等于___的向量称为单位向量 用表示, ___ 相等向量 大小______、方向______的向量称 为相等向量 记作 两个向量平 行（共线） 如果两个非零向量的方向______或 ______，则称这两个向量平行.规定 零向量与任意向量平行 记作 相同 0 1 1 相等 相同 相同 相反 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）零向量没有方向.( ) × （2）两个有公共终点的向量一定是共线向量.( ) × （3）若且，则 ( ) × （4）所有的单位向量都是相等向量.( ) × （5）在空间中,共线向量就是表示这些空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合.( ) √ [解析] 根据共线向量的定义可知,在空间中,共线向量就是表示这些 空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 课 前 预 习 7 知识点二 共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之 后，都能在__________内，则称这些向量共面. 注意：空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不 一定共面. 同一平面 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线不共面，则这两 个向量不共面.( ) × （2）向量,, 共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. ( ) × 课 前 预 习 9 知识点三 空间向量的加法运算 1.运算法则 ①三角形法则：给定两个平面向量，，在该平面内任取一点 ， 作，，作出向量，则____是向量与 的和（也称 ____为向量与的和向量），向量与的和向量记作 ，因此 ____.当平面向量与不共线时，，， 正好能构 成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三 角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量 的和，除了 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全 一样.特别地，向量加法的三角形法则在空间中也成立. 课 前 预 习 10 ②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量， ，在空间中任 取一点，作，，以， 为邻边作一个平行四边形 ，作出向量，则____ . 2.运算律 加法交换律：______________. 加法结合律：________________________. 3.结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六 面体中，与这三个向量有共同始点的__________所表示的向量. 体对角线 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） .( ) × （2） .( ) √ （3） .( ) √ 课 前 预 习 12 知识点四 空间向量的减法运算 1.相反向量：给定一个空间向量，我们把与这个向量__________、 __________的向量称为它的相反向量. 方向相反 大小相等 2.向量减法的三角形法则：在空间中任取一点，作 ， ，作出向量，则向量_____就是向量与的差（也称 为 向量与的差向量），即_____.当与 不共线时，向量 ，， 正好能构成一个三角形. 课 前 预 习 13 知识点五 空间向量的数乘运算 1.数乘向量：给定一个实数 与任意一个空间向量 ，规定它们的乘 积是一个空间向量，记作____. （1）当且时，的模为______，而且 的方向： ①当时，与 的方向______； ②当时，与 的方向______. 相同 相反 （2）当或时， ___. 上述实数 与空间向量 相乘的运算简称为数乘向量. 2.向量平行：如果存在实数 ，使得________，则 . 课 前 预 习 14 3.三点共线：如果存在实数 ，使得___________，则与 平行 且有公共点，从而，，三点一定共线.特别地，当 ___，即 __________时，为线段 的中点. 4.运算律：_________， ________ . 空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为 空间向量的______运算. 线性 课 前 预 习 15 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）空间向量的数乘运算中 只决定向量的大小，不决定向量的方 向.( ) × （2）如果向量，那么一定存在实数 ，使 成立. ( ) × （3）若点是线段的三等分点，则 .( ) × 课 前 预 习 16 探究点一 空间向量的有关概念及应用 例1（1）（多选题）下列说法中正确的是( ) A.若,是两个单位向量，则 B.若两个向量共线，则这两个向量方向相同 C.若，，为非零向量，且，，则 D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 √ √ √ 课 中 探 究 17 [解析] 若,是两个单位向量，则 ，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为,,为非零向量，且, ，所以，故C正确； 在空间任取一点，过点 引两个与已知非零向量相等的向量， 而这两个向量所在的直线相交于点 ，两条相交直线确定一个平面， 所以空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内，故D正确. 故选 . 课 中 探 究 18 （2）（多选题）如图所示，在长方体中， ， ， ，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的 向量中( ) A.单位向量有8个 B.与 相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为 的向量有4个 √ √ √ 课 中 探 究 19 [解析] 由题可知单位向量有， ， ，，，，， ，共8 个，故A正确； 与相等的向量有 ，，，共3个，故B正确； 向量 的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 模为 的向量有，，，，，，， ， 共8个，故D错误.故选 . 课 中 探 究 20 变式 如图所示，在平行六面体 中,给定下列各对向量: 与 ; 与 ; 与 ; 与 . 其中是相反向量的有___对. 2 [解析] 与是相反向量;与 是相反向量.故有2对相反向量. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: （1）关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向. （2）注意点:①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的;②单位 向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1;③两个向量的模相 等,不一定是相等向量，反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方 向也相同. 课 中 探 究 22 探究点二 空间向量的加减运算 例2 如图，在正六棱柱 中. （1）化简 ,并在图中标出 化简结果的向量； 解： ,如图①所示. 课 中 探 究 23 （2）化简 ，并在图中标出化简结果的向量. 解： ,如图②所示. 课 中 探 究 24 变式（1）[2026·广西河池高二月考] 在空间四边形PABC中, +-= ( ) A. B. C. D. [解析] +-=-=.故选C. √ 课 中 探 究 25 （2）在四棱柱中，底面 为矩形，化简下列各式： ① ; 解： . ② . 解： . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 空间向量加、减法运算的技巧: （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵 活应用相反向量可使向量间首尾相接. （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加、减法运算时, 务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平 移获得更准确的结果. 课 中 探 究 27 探究点三 空间向量的数乘运算及其应用 例3（1）在三棱锥中，是 的中点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 如图，取的中点，连接， 在三棱锥中，是 的中点， . 故选D. √ 课 中 探 究 28 （2）（多选题）如图,在三棱柱中，,分别为 , 的中点,则 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 中 探 究 29 [解析] 连接,则在 中, ，由向量加法的平行四边形法 则,得 , 又,所以. 连接，则.故选 . 课 中 探 究 30 变式（1）［2025·湖北孝感重点高中高二期中］在三棱柱 中，是的中点，，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，因为，所以 ，所以 .故选C. 课 中 探 究 31 （2）[2026·天津河东区高二期中] 如图,M是四面体OABC的棱BC的中点, 点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,则= ( ) A.++ B.++ C.++ D.++ √ 课 中 探 究 32 [解析] =+=+=+(-)=+=+×= +=+××(+)=++.故选D. 课 中 探 究 33 ［素养小结］ （1）若<m></m>是空间中任意一条线段，<m></m>是空间中任意一点，则<m></m>为<m></m> 中点的充要条件是<m></m>. （2）计算向量的数乘时，要注意数形结合，即结合具体图形,利用向 量的三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. 课 中 探 究 34 1.已知, 为非零向量,则下列结论正确的是( ) A.与同向 B. C.可能是 D. [解析] 当时,与反向,故A错误; ,故B,D错误;当 时, ,故C正确.故选C. √ 课 堂 评 价 35 2.在正方体 中,下列选项中化简后为零向量的是( ) A. B. C. D. [解析] 在选项C中, . √ 课 堂 评 价 36 3.在四面体中，, ，若 ，则 ( ) A. B. C. D.1 [解析] 连接 ，则 ， 又，所以,, ， 所以 .故选B. √ 课 堂 评 价 37 4.如图所示，在三棱柱中,与是______向量， 与 是______向量.（填“相等”或“相反”） 相等 相反 [解析] 根据相等向量、相反向量的定义知，与 是相等向量， 与 是相反向量. 课 堂 评 价 38 5. [2026·河北唐山高二月考] 如图,在三棱锥A-BCD中,M,N分别是AB,CD 的中点,则向量与,　　　　.(填“共面”或“不共面”)  [解析]设BD的中点为Q,连接QN,在△DBC中,BC∥QN,故与共线. 连接MQ,同理与共线,即与可平移到平面MQN内, 显然也在平面MQN内,故与,共面.   共面 课 堂 评 价 39 1.在进行空间向量的加法运算时，需注意用平行四边形法则要求向量 的始点（起点）放在一起，而用三角形法则要求首尾相连，因此求 始点相同的两个向量的和时，可以优先考虑平行四边形法则. 2.相反向量的性质 （1）零向量的相反向量仍是零向量，即 ； （2） ; （3） ; （4）若，互为相反向量，则，， . 新 知 拓 延 40 3.数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或 的反方向扩大或 缩小.当时，沿着向量的方向扩大到原来的 倍或缩小 到原来的;当时，沿着向量 的反方向扩大到原来 的倍或缩小到原来的 . 4.对于任意向量,以及任意实数 ,, ,恒有 . 5.空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种 几何直观表示法. 新 知 拓 延 41 课后习题 42 1.下列说法中正确的是( ) A.空间向量与 的长度相等 B.将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成 一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 对于A，因为空间向量与 互为相反向量，所以空间向量 与 的长度相等，所以A正确； 对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点 构成一个球面，所以B错误； 对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是 有向线段，所以C错误； 对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等， 所以D错误.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 2. [2026·天津滨海新区高二月考] 如图,在斜棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AC与 BD的交点为M,=a,=b,=c,则=( ) A.a+b+c B.-a-b-c C.-a+b+c D.-a-b+c [解析] =+=+=++=a+b+c.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 3.如图，在平行六面体中， , ,,,,分别是,,,,, 的中 点，则( ) A. B. C. D. [解析] . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 4. [2026·河南新乡高二月考] 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行 四边形,AC∩BD=O,则+++=( ) A.2 B.2 C.4 D.4 [解析]因为底面ABCD是平行四边形,AC∩BD=O, 所以O是AC和BD的中点. 由向量的平行四边形法则可得,+=2,+=2, 所以+++=4.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 5.在平行六面体 中，下列各组向量一定不共面的是 ( ) A., B., C.,， D.,, [解析] 由共面向量的定义知A，B中的向量一定共面； C中,,,都可以平移到平面 内， 故三个向量共面； D中三个向量不能平移到同一个平面内，故不共面.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 6.［2025·河北保定高二期中］如图，在四面体中，是棱 的 中点，是棱上一点，且，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 如图，连接，则 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 7.（多选题）已知正方体的中心为 ，则下列各结 论中正确的有( ) A.与 是一对相反向量 B.与 是一对相反向量 C.与 是一对相反向量 D.与 是一对相反向量 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 对于A，， ， ， 与 是一对相反向量，A正确； 对于B，， ，又 ，与 不是相反向量，B错误； 对于C，，，， ， ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 与 是 一对相反向量，C正确； 对于D，， ，又 ，与 是一对相反向 量，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知空间向量，，互相平行，其中，同向，， 反向， ，，，则 ___. 2 [解析] 易知 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 9.如图，在长方体中，为 的中点. （1）化简： _____； [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 （2）用，，表示，则 _________________. [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 ★10.（13分）在四面体中，是的重心，，， 分别 为，， 的中点，化简： （1） ； 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 （2） ； 解： . （3） . 解： ， 在中，，则 ， 即，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ［技巧点拨］重心是三角形的一个非常重要的几何中心，在解决向 量问题中的作用也十分重要.本题中是 的重心，则有 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 11.设棱长为1的正方体的8个顶点构成集合 ，集合 ,,，则集合中模为 的向量的个数是 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 [解析] 棱长为1的正方体的8个顶点构成集合 ,集 合,,，则集合中模为的向量有, , ,,,,,,所以集合中模为 的向量的个数是8.故 选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 12.（多选题）已知四棱柱 的底面是平行四边形，则( ) A. B. C. D. [解析] ，故A选项错误; ，故B选项正确; ，故C选项正确; ，故D选项错误.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 13.如图,为所在平面外一点,为 的中点,若 与 同时 成 立, 则实数 的值为__. [解析] 连接,则,所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 14.（15分）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图 形，将其沿,折起使得与重合，如图②，其中,,, 分别 为,,, 的中点. （1）用,,表示, ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 解：连接,，因为,,,分别为,,, 的中点， 所以 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 （2）证明：,,, 四点共面. 证明：因为, , ， ， 所以，故,,, 四点共面. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 15.光岳楼，又称“余木楼”“东昌楼”，位于 山东省聊城市，始建于公元1374年.在 《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与 鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王 阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩 台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底面边 长之比约为，则 ____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 [解析] 延长,,,相交于一点，则, ,且 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 16.（15分）如图，已知几何体 是 平行六面体.设是底面的对角线 的中点， 是上靠近 的四等分点，设 ，试求 ， ， 的值. 解：因为 ，所以，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 $