1.1.2 空间向量基本定理(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖共线、共面向量定理及应用，通过课前诊断分析巩固基础，课中探究从共线问题逐步过渡到基本定理应用，搭建递进式学习支架。 其亮点在于注重概念辨析与实例结合，如正方体中三点共线证明、四面体向量表示，通过素养小结提炼证明方法，培养数学思维与空间观念。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.2 空间向量基本定理 2 探究点一 共线问题 探究点二 空间向量的共面问题 探究点三 空间向量基本定理 探究点四 空间向量基本定理的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.掌握共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法; 2.掌握向量共线、共面的充要条件及其推论,并能证明空间向量的共 线、共面问题; 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4 知识点一 共线向量基本定理与共面向量定理 1.共线向量基本定理：如果且，则存在______的实数 ， 使得 . 2.平面向量基本定理：如果平面内两个向量与 ________，则对该 平面内任意一个向量，存在唯一的实数对，使得 . 3.共面向量定理：如果两个向量，________，则向量，， 共面 的充要条件是，存在______的实数对，使 . 唯一 不共线 不共线 唯一 4.判断空间中四点是否共面的方法：如果，， 三点________，则 点在平面内的充要条件是，存在______的实数对 ，使 . 不共线 唯一 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若,则与, 共面.( ) √ [解析] 由共面向量定理得，若,则与, 共面. （2）若与,共面,则 .( ) × [解析] 当与共线,而与不共线时, 不成立. 课 前 预 习 6 （3）若,则,,, 四点共面.( ) √ [解析] 由共面向量定理得,若,则,,, 四点共面. （4）若,,,四点共面,则 .( ) × [解析] 当与共线,而与不共线时, 不 成立. 课 前 预 习 7 知识点二 空间向量基本定理 1.定理：如果空间中的三个向量,, ________,那么对空间中的任意 一个向量,存在唯一的有序实数组 ,使得_________________. 不共面 2.基底：空间中不共面的三个向量，， 组成空间向量的一组基底 {,, }. 3.基向量：基底{，，中，， 都称为基向量. 课 前 预 习 8 4.空间向量基本定理的三个关注点: （1）空间任意向量:用空间三个不共面的向量,, 可以线性表示出 空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. （2）基底的选取:空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间向 量的一组基底. （3）特别地，当，， 不共面时，可知 . 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示.( ) × [解析] 空间中的任何一个向量都可用三个不共面的向量表示. （2）若,,为空间向量的一组基底,则,, 都不是零向量.( ) √ （3）若向量,与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,则与 共线.( ) √ （4）任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.( ) × [解析] 空间向量的一组基底是由三个不共面的向量构成的. 课 前 预 习 10 探究点一 共线问题 例1 如图所示，在正方体中， 在 上，且，在上，且 . 求证：，， 三点共线. 证明：连接，，设，， . ，，， ， ， ， 课 中 探 究 11 ，，， 三点共线. . 又 ， 课 中 探 究 12 变式 ［2026·重庆杨家坪中学高二期中］如图， 在四面体中，,分别为, 的重 心，为上一点，且.设 , , . （1）请用{,,}表示 ； 解： . 课 中 探 究 13 （2）求证：,, 三点共线. 证明： ， 则，所以，， 三点共线. 变式 ［2025·重庆杨家坪中学高二期中］如图， 在四面体中，,分别为, 的重 心，为上一点，且.设 , , . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 对于空间中的三点<m></m>,<m></m>,<m></m>,可通过证明下列结论来证明三点共线： （1）存在实数<m></m> ,使<m></m>成立. （2）对空间任一点<m></m>,有<m></m>. （3）对空间任一点<m></m>，有<m></m>. 课 中 探 究 15 探究点二 空间向量的共面问题 例2（1）已知,,三点不共线，是平面 外任意一点,若 ，则,,, 四点共面的充要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 若,,,四点共面，则,解得,故,,, 四点共面的充要条件是 .故选B. √ 课 中 探 究 16 （2）［2025·北京工业大学附中高二月考］如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形，，分别为， 的中点. 求证：向量，， 共面. 课 中 探 究 17 证明：如图，连接.因为底面 是平行四 边形，是的中点，所以也是 的中点. 在中，是的中点，所以 ，且 . 又因为，所以 ，所以由向量 共面定理可知，向量，， 共面. 课 中 探 究 18 变式（1）（多选题）已知空间向量,, 不共面，则下列各选项中的 三个向量共面的有( ) A.,, B.,, C.,, D.,, √ √ √ [解析] 对于A，因为，所以, , 共面，故A正确； 对于B，假设存在 , ，使得， 整理得 ， 课 中 探 究 19 则无解，即不存在 , ，使得 ，所以,, 不共面，故B错误； 对于C，因为，所以,, 共面， 故C正确； 对于D，因为， 所以 , ,共面，故D正确. 故选 . 课 中 探 究 20 （2） [2026·贵阳高二月考] 已知为空间的一组基底,且 =2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. 判断P,A,B,C四点是否共面. 课 中 探 究 21 解： =-=-e1+3e2-4e3,=-=-5e1+2e2-e3, =-=-e1+2e2-4e3. 设=x+y,则-e1+3e2-4e3=x(-5e1+2e2-e3)+y(-e1+2e2-4e3), 因为为空间的一组基底, 所以无解, 所以,,不共面,所以P,A,B,C四点不共面. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 证明空间中三个向量共面或四点共面的方法: （1）向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线 性组合,即若<m></m>,则向量<m></m>,<m></m>,<m></m>共面. （2）若存在有序实数组<m></m>使得对于空间中任一点<m></m>,有 <m></m>,且<m></m>成立,则<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>四点共面. （3）用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行. 课 中 探 究 23 探究点三 空间向量基本定理 例3 已知{,,}是空间向量的一组基底，且 ， ，， . （1）求证：，，， 四点共面. 证明：由题得 ， ， ， 则 ， 所以，，， 四点共面. 课 中 探 究 24 （2）,, 能否作为空间向量的一组基底?若能，试用这组基底 表示 ；若不能，请说明理由. 解：假设,,共面，设 ，即 ， 所以 ， 则解得 所以，即,,共面， 故,, 不能作为空间向量的一组基底. 例3 已知{,,}是空间向量的一组基底，且 ， ，， . 课 中 探 究 25 变式（1）已知{,, }是空间向量的一组基底，则下列说法错误的是 ( ) A.若，则 B.,,两两共面，但,, 不共面 C.一定存在实数,,使得 D.,, 一定能构成空间向量的一组基底 √ 课 中 探 究 26 [解析] 对于A，若,,不全为0，则,, 共面，与题意矛盾，故A中 说法正确； 对于B，因为{,,}是空间向量的一组基底，所以,, 不共面， 故B中说法正确； 对于C，因为,, 不共面，所以不存在实数,,使得， 故C中说法错误； 对于D，若 ，，共面，则， 即 无解，故,, 不共面，则一定能构成空间向量的 一组基底，故D中说法正确.故选C. 课 中 探 究 27 （2）在四面体中，点为的重心，，， 分别为 ，，的中点，且，则实数 ___. 3 [解析] 如图，连接，则 ，故 ， 而，故 . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 用基底表示向量的步骤： （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的 一组基底. （2）找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据 向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的 运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一组基底<m></m>,<m></m>,<m></m>可以表示出空间所有 向量.表示要彻底,结果中只能含有<m></m>,<m></m>,<m></m>,不能含有其他形式的向量. 课 中 探 究 29 探究点四 空间向量基本定理的应用 例4 ［2026·山东日照高二期中］在长方体 中,,, 为的中点,为 的中点.试计算: （1） ; 解：设,, , 则,, . . 课 中 探 究 30 （2） ; 解： . 例4 ［2026·山东日照高二期中］在长方体 中,,, 为的中点,为 的中点.试计算: 课 中 探 究 31 （3） . 解： . 例4 ［2026·山东日照高二期中］在长方体 中,,, 为的中点,为 的中点.试计算: 课 中 探 究 32 变式（1）［2025·江苏南京玄武高级中学高二月考］ 在正三棱锥中，是 的中心， ，则 ____. 16 [解析] 由题得 ， . 因为 ， 所以 . 课 中 探 究 33 （2）如图，平行六面体的底 面 是边长为1的正方形，且 ，，则线段 的长为_____. [解析] , ,即线段的长为 . 课 中 探 究 34 ［素养小结］ 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧： 根据条件确定基底，一般用已知的向量（向量的长度已知，夹角已 知等）作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量， 可证平行、垂直，可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度. 课 中 探 究 35 1.若与不共线，且，， ，则( ) A.，，共线 B.与 共线 C.与共线 D.，， 共面 [解析] ，即可由，线性表示，所以，， 共面. 故选D. √ 课 堂 评 价 36 2.对空间中任意一点和不共线的三点，，，能得到，， ， 四点共面的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D错误.故选B. √ 课 堂 评 价 37 3.已知，， 是不共面的三个向量，则下列能构成空间向量的一组 基底的是( ) A.，， B.，， C.,， D.，， [解析] 对于A，，，， 共面， 不能构成空间向量的一组基底； 同理可判断B，D中的三个向量不能构成空间向量的一组基底.故选C. √ 课 堂 评 价 38 4.［2025·福建福州金山中学高二期末］如图，已知 ，分别是四面体的棱，的中点，点 在线段上，且，设向量 ， ，，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 39 [解析] 连接，在四面体中，,分别为 , 的中点，且，所以 .故选C. 课 堂 评 价 40 5. [2026·重庆万州区高二期中] 如图,已知A,B,C是边长为1的小正方形 网格上不共线的三个格点,点P为平面ABC外一点,且<,>= <,>=120°,||=4,若=+,则||=　　.  解：由题图可知||=2,||=3,且⊥,则·=0, 由题意可得·=-4,·=-6, 因为=-=--, 所以=(--)2=++-2·-2·+ 2·=16+4+9+8+12+0=49,所以||=7. 7 课 堂 评 价 41 1.共线向量基本定理的推论： 对于空间任意点，若有成立，则，， 三点共线．这一结论可作为证明三点共线的常用方法. 2.对共面向量定理的理解 若存在有序实数组使得对于空间一点和不共线的三点 ， ，，有，且成立，则 ， ，， 四点共面．这一结论可作为判定空间中四个点共面的常用 方法． 新 知 拓 延 42 课后习题 43 1.已知点在平面内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为,,,四点共面，且 ，所以 ，解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 2.［2024·广东江门高二期中］若,, 是空间向量的一组基底， 且向量,, 不能构成空间向量的一 组基底，则 ( ) A. B.1 C.0 D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 因为,, 不能构成空间向量 的一组基底，所以存在实数，使得 ， 即 ， 即， 因为,, 是空间向量的一组基底，所以解得 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 ★3.已知在四面体中，,分别是,的中点，设 , ，，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 连接，如图，因为, ， ，,分别是,的中点，所以 .故选D. ［技巧点拨］用指定的基向量表示空间向量，一般都是应用“走道原理”， 即从点走到点 ，应用向量的线性运算连接即可. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 在四面体OABC中,=2,=3,则= ( ) A.-++ B.-+- C.-+- D.-+- √ [解析]由题可知=++=-+=(-)-+= -+-.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 5.已知空间向量，，且， ， ，则一定共线的三点是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， [解析] ，，若，， 三点共线， 则，即无解，故A错误. ，，若，，三点共线， 则 ，即无解，故B错误. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 因为 ， ， ，所以 ，所以，所以，， 三点共线， 故C正确. 因为， ， ，所以，若，， 三 点共线，则，即 无解，故D错误.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.［2025·四川遂宁高二期末］如图所示，若 为 平行四边形所在平面外一点，为 上的 点，且，点在上，且.若 ， ，，四点共面，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 由题得 ， 因为，，，四点共面，所以，解得 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ★7.（多选题）已知空间四点,,,及空间任意一点 ，由下列条 件一定可以得出,,, 四点共面的有( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 对于A，因为，所以,,共面，故 , , , 四点共面，故A正确； 对于B，，， 故, ,, 四点不共面，故B错误； 对于C，因为，所以,, 三点共线，所以,,, 四点共面， 故C正确； 对于D，， ， 故,,,四点共面，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 ［技巧点拨］判断点共面一般有两种方法：一是共面定理，即四个 点确定的三个向量能够线性表示，则四点共面；二是若存在有序实 数组使得对于空间任意一点，有 ， 且成立，则，，， 四点共面. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 8.在四面体中,,分别是,的中点，设 ， ，，则用基底,,表示向量 _____________. [解析] 连接 ，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 9.已知，，三点共线，则对空间中任一点 ，若 ，则____;如果存在三个不为0的实数 ，， ， 使，那么 的值为___. 0 [解析] ，，三点共线，， ， ， ， 由，，三点共线知，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 10. (13分)[2026·浙江金华高二月考] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 以顶点A为端点的三条棱长均为1,且两两夹角均为60°. 记=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求||. 解:由题意知|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°, ∴a·b=b·c=c·a=1×1×cos 60°=. ∵=++=-a+c+b, ∴=(b+c-a)2=b2+c2+a2+2b·c-2b·a-2c·a=1+1+1+1-1-1=2, ∴||=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 10. (13分)[2026·浙江金华高二月考] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 以顶点A为端点的三条棱长均为1,且两两夹角均为60°. 记=a,=b,=c. (2)线段B1C上是否存在点P,使得,,是共面向量?若存在, 求出的值;若不存在,请说明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:设=t=t(-)=t(b-c),则=+=a+t(b-c). 若,,是共面向量,即存在x,y,使得=x+y, 即a+t(b-c)=x(-a+b+c)+y(a+b), 则解得 故存在满足题意的点P,且=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. [2026·陕西汉中高二月考] 在四面体OABC中,OA=1,OB=2,OC=2, ∠AOB=∠AOC=∠BOC=,空间一点M满足=-++m, 若A,B,C,M四点共面,则||= ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 由=-++m,得-=-++m, 所以=++m. 因为A,B,C,M四点共面,所以++m=1,解得m=, 又·=·=1×2×cos=1,·=2×2×cos=2, 所以=++=(2++), 所以||== = =.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 12.（多选题）［2025·山东淄博高二期末］ 关于空间向量，以下说法 正确的是( ) A.非零向量,，若，则 B.若对空间中任意一点，有，则， ， ， 四点共面 C.空间四个点,,,,若，则,, 三点共线 D.设,,是空间向量的一组基底，则,, 也是空间 向量的一组基底 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 对于A，非零向量,，若，则 ，故A正确； 对于B，因为，所以,,, 四点不共面，故B错误； 对于C，因为，所以,, 三点共线，故C正确； 对于D，因为，所以，， 是共面 向量，所以 {,,}不是空间向量的一组基底，故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 ★13.如图，在长方体 中， ，，， 与平面 交于点，则 ___. [解析] 设 ，因为 ， 所以，因为，， ，四点共面，所以 ，解得 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 ［易错点］不能够准确地利用共线向量基本定理得到 ，进而导致计算受阻. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 14.（15分）如图,已知正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是正 四面体ABCD中各棱的中点,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求EF的长; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 解：因为E,F分别为棱BC,AD的中点, 所以=++=-+=(-)-+= --+=-a-b+c. 因为正四面体ABCD的棱长为1,所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=a·c=b·c=, 所以||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=+++×-×-×=,所以||=,即EF的长为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 解：由题意得=++=-++= -++(-)=-++=-a+b+c, 所以·=-(a+b-c)·(a-b-c)=(a2-b2+c2-2a·c)==0, 所以⊥,所以与的夹角为90°. 14.（15分）如图,已知正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是正 四面体ABCD中各棱的中点,设=a,=b,=c. (2)求与的夹角的大小. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 15.在正四棱锥中，若,，平面 与 棱交于点，若，则 __. [解析] . 由题知,,, 四点共面，可设 ，则 ，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 整理可得. 因为,, 不共面，所以解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）［2025·吉林长春高二期中］ 如图， 在正方体中，点，， 分 别是，，的中点.设 ， ， . （1）用基底{,,}表示向量 . 解：因为 ， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 （2）在棱上是否存在一点，使得? 若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由. 16.（15分）［2025·吉林长春高二期中］ 如图， 在正方体中，点，， 分 别是，，的中点.设 ， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 解：假设在棱上存在点，使得 ， 设 . 由题得 ， . 因为，所以 ，化简得， 解得 ，所以在棱上不存在一点，使得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 $