第1章 04-专题专项练-专题强化练1 空间向量的运算（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，从向量基本运算切入，通过专题强化练逐步过渡到平行六面体、正方体等复杂几何体中的应用，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于精选各地名校考题，通过向量坐标运算、参数设值等方法培养数学思维与推理能力，如利用向量共面判断四点共面、求数量积取值范围，助力学生提升空间观念与模型意识，教师可直接用于课堂例题讲解，提高教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练1 空间向量的运算 第1讲　描述运动的基本概念 1.[多选题][2025辽宁鞍山期末]已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则 ( ) A.向量a,b的夹角为  B.(a+2b)·(b+c)=7 C.(a+5b)⊥c D.a∥(b-c)     CD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得|a|= ,|b|= ,a·b=-1, 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ= = =- ,因为θ∈[0,π],所以θ= ,故A错误; 易得a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,故B错误; 易得a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,故C正确; 易得b-c=(-3,3,0),所以b-c=-3a,所以a∥(b-c),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026浙江绍兴上虞中学月考]如图,在棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是正方形,且∠A1AB=∠A1AD=60°,则 ( )   A.BD1=2 　　     B. 与 夹角的余弦值为  C.A1C⊥B1D1　　     D.AA1⊥BD     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 =- + + ,所以 = = + + -2 · -2 · +2  · = + + -2| || |cos 60°+2| || |cos 60°=4×3=12,所以BD1=| |=2 ,故A正确; 易得 = + ,| |=2 ,所以 · =( + )·(- + + )= + · + · - · +  + · =- +| || |cos 60°+ +| || |·cos 60°=-4+2×2× +4+2×2× =4,所以cos< ,  >= = = ,故B错误;  = - = + - , = = - , 所以 · =( + - )·(- + )=- - · + · + · + - · = +| || |· cos 60°+ -| || |cos 60°=-4+2×2× +4-2×2× =0,所以A1C⊥B1D1,故C正确;  · = ·( - )= · - · =| || |·cos 60°-| || |·cos 60°=2×2× -2×2× =0,所以AA1⊥ BD,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026山西太原常青藤中学校等校联考]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2,  , , 两两间的夹角均为60°,点E,F分别在棱BB1,DD1上,且BE=2B1E,D1F=2DF,则( ) A.A,E,C1,F四点共面 B. 在 上的投影向量为   C.| |=      AB     D. 与 夹角的余弦值为  第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,在棱A1A上取点H,使得A1H=2HA,连接AE,C1F,HF,B1H,AF,C1E,   易知在平行六面体中,AH=B1E,AH∥B1E,所以四边形AHB1E为平行四边形,可得AE∥B1H, 因为HF=B1C1,HF∥B1C1,所以四边形HFC1B1为平行四边形,可得B1H∥C1F, 所以AE∥C1F,可得A,E,C1,F四点共面,因此A正确; 对于B,在平行六面体中, = + + , 因此 =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =24,则| |=2 , 第1讲　描述运动的基本概念 故 在 上的投影向量为 ·  = =  ,因此B正确; 对于C, = - = +  - -  =- + -  ,则 = = + +  -2  · +  · -  · = ,则| |= ,因此C不正确; 对于D,  =  第1讲　描述运动的基本概念 =  =- , 于是 与 夹角的余弦值为- ,因此D不正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026天津汇文中学月考]点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1上一点,则 ·  的取值范围是_________. 解析    解法一:以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立 空间直角坐标系,如图所示,则A(1,0,0),C1(0,1,1).   第1讲　描述运动的基本概念 设点P的坐标为(x,y,1),0≤x≤1,0≤y≤1, ∴ =(1-x,-y,-1), =(-x,1-y,0), ∴ · =-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y= + - , ∴当x=y= 时, · 取得最小值,最小值为- ;当x=0或x=1,且y=0或y=1时, · 取得最大值,最大值为 0. 故 · 的取值范围是 . 解法二:连接D1P,D1A(图略). 设 =x +y (0≤x≤1,0≤y≤1), 则 = - = + -x -y = +(1-x)· -y , = - = -x -y =(1-y) 第1讲　描述运动的基本概念  -x , ∴ · =[ +(1-x)  -y ]·[(1-y)  -x  ]=-x(1-x)-y(1-y)= + - ,易知当x=y= 时,  · 取得最小值,为-  ;当x=0或x=1,且y=0或y=1时, · 取得最大值,为0. ∴ · 的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026辽宁沈阳二中月考]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,M,N,T分别是AB,AD,AA1上的点,且满足  =  , =  , =  ,体对角线AC1交截面MNT于点P.设 =λ ,则实数λ=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题知向量 , , 共面,所以存在实数k1,k2,使得 =k1 +k2 , 所以 - =k1( - )+k2( - ), 又 =  , =  , =  , =λ =λ +λ +λ , 所以λ +λ +λ -  =k1 λ +λ +λ -   +k2 λ +λ +λ -   = k1 +k2λ   +  +(k1λ+k2λ) , 故 所以  第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026上海六校联考]已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2= ,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2= ,且对于任意x,y ∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0+y0=_________,|b|=__________.     2          3     解析　不妨设e1=(1,0,0),e2= ,b=(m,n,t). 由 得 故b=(2, ,t), 所以|b-(xe1+ye2)|=  = , 第1讲　描述运动的基本概念 同理,|b-(x0e1+y0e2)|=  =1, 所以当 即 时,|b-(xe1+ye2)|有最小值|t|,故|t|=1,解得t=±1, 所以x0+y0=3,|b|= =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026浙江强基联盟月考]由矩形ABCD和ABEF构成的立体图形如图所示,其中AB=4,AD=AF=3,∠ DAF= .M,N分别在对角线BD,AE上移动,且AN与DM的长度保持相等.记 =a, =b, =c,且 =λ  ,λ∈[0,1]. (1)当λ= 时,用向量a,b,c表示 , ; (2)λ为何值时,| |的值最小? (3)是否存在M,N使得MN⊥平面ABCD?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) = + = +  = + ( - )= (a+b),  =  = ( + )= (a+c),  = - = (a+c)- (a+b)= (c-b). (2)第一步:用已知基底表示 . 因为 =λ ,AN与DM的长度相等,且AE,DB为全等矩形的对角线, 所以 =λ ,λ∈[0,1], 可得 = - =λ -( + )=λ( + )-[ +λ( - )]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc. 第二步:利用已知条件求b·c. 由已知得|a|=4,|b|=3,|c|=3,<a,b>= ,<a,c>= ,<b,c>= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以a·b=0,a·c=0,b·c=3×3×cos  = . 第三步:结合向量的模和数量积的性质表示| |,再结合二次函数的性质求最值. | |=  = =3 , 又λ∈[0,1],故当λ= 时,| |的值最小,为 . (3)假设存在M,N使得MN⊥平面ABCD,因为AB,AD⊂平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD. 由(2)知, =(λ-1)b+λc,可得 · =[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,成立; 且 · =[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)·b2+λc·b=0,整理得9(λ-1)+ λ=0,解得λ= , 故存在M,N使得MN⊥平面ABCD,此时λ= . 第1讲　描述运动的基本概念 $