1.1.1 第2课时 空间向量的数量积(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积及其性质、投影概念，通过“力做功”情境导入，联系平面向量数量积，以问题链引导学生从定义、运算律到性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，典例研析通过正四面体、正方体实例强化数学思维，规律方法总结提升数学语言表达。学生能提升空间想象与运算能力，教师可借助系统资料提高教学效率。

1.1.1　空间向量及其运算 第二课时　空间向量的数量积 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.掌握空间向量的数量积及其性质（直观想象）. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝ F×S＝｜F｜｜S｜ cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我 们引入了“数量积”的概念. 【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？ （2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点　空间向量的数量积 1. 空间向量的夹角 c c c 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b ，记作a⊥b. 互相垂直　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？ 提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向. 2. ＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么 关系？ 提示：＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜ a，b＞. 2. 空间向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞叫作a与b的数量 积（也称为内积），记作a·b.即a·b＝｜a｜·｜b｜ cos ＜a，b＞. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 数量积的几何意义 （1）向量的投影：如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂 线，即可得到向量a在向量b上的投影a'； （2）数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b 的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的 数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 空间向量数量积的性质 （1）a⊥b⇔a·b＝0； （2）a·a＝｜a｜2＝a2； （3）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜； （4）（λa）·b＝λ（a·b）； （5）a·b＝b·a（交换律）； （6）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）. 提醒：（1）向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab； （2）向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合律，即a·b＝a·c⇒/b ＝c，（a·b）·c≠a·（b·c）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 空间向量a在向量b上的投影是向量吗？ 提示：是向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量的数量积为0. （　√　） （2）向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜ cos ＜a，b＞. （　×　） （3）向量a在平面β上的投影是一个向量. （　√　） （4）若非零向量a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜. （　×　） √ × √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝ e1＋2e3则（6a）·（ b）＝（　　） A. 15 B. 3 C. －3 D. 5 解析：　∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－ e3，b＝e1＋2e3，∴（6a）·（ b）＝3a·b＝3×（3e1＋2e2－e3） （e1＋2e3）＝9｜e1｜2－6｜e3｜2＝3.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分 别是AB，AD，DC的中点，则 · ＝（　　） A. B. C. D. √ 解析：依题意，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，所以 FG∥AC，FG＝ AC，△ABC是等边三角形，且边长为1.所以 · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos 60°＝ .故选B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　数量积的运算 角度1　空间向量数量积的运算 （链接教科书第11页例5）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示. 求： （1） · ； （1） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠AOB＝1×1× cos 60°＝ . 解：在正四面体OABC中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1. ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝60°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）（ ＋ ）·（ ＋ ）. 解： （ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ － ＋ － ）＝（ ＋ ）·（ ＋ －2 ）＝ ＋2 · －2 · ＋ － 2 · ＝12＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos 60° ＋12－2×1×1× cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 　（变条件，变设问）在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中 点，求： （1） · ； 解： · ＝ · ＝ ｜ ｜｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ cos 60°＝ . （2） · ； 解： · ＝ · ＝ ｜ ｜2＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3） · . 解： · ＝ · ＝ ｜ ｜｜ ｜· cos ＜ ， ＞ ＝ cos 120°＝－ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 角度2　空间向量的投影 已知｜a｜＝4，空间向量e为单位向量，＜a，e＞＝ ，则空间向 量a在向量e方向上的投影的数量为（　　） A. 2 B. －2 C. － D. 解析：　由题意，｜a｜＝4，｜e｜＝1，＜a，e＞＝ ，则空间向量 a在向量e方向上的投影数量为 ＝ ＝4×（－ ）＝－2. 故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求空间向量数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数 量积； （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； （4）代入公式a·b＝｜a｜·｜b｜· cos ＜a，b＞求解. 提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝b， ＝ c，则a·（b＋c）的值为（　　） A. 1 B. 0 C. －1 D. －2 解析：　由题意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，所以a⊥b，a⊥c，所以 a·b＝0，a·c＝0，所以a·（b＋c）＝a·b＋a·c＝0，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知空间向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b 在a方向上的投影的数量为 ⁠. 解析：因为a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则a·b＝｜ a｜｜b｜ cos 60°＝2×6× ＝6，则（2a－b）·a＝2｜a｜2－a·b＝ 2×22－6＝2，所以2a－b在a方向上的投影的数量为 ＝ ＝1. 1　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　空间向量的夹角 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB， OC的中点，求向量 与 夹角的余弦值. 解：如图，设 ＝a， ＝b， ＝c，且｜a｜＝｜ b｜＝｜c｜＝1. 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ， 则a·b＝b·c＝c·a＝ . ∵ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）， ＝ － ＝ － ＝ c－b， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴ · ＝ （a＋b）·（ c－b）＝ a·c＋ b·c － a·b－ b2＝－ . 又｜ ｜＝｜ ｜＝ ， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝－ . ∴向量 与 夹角的余弦值为－ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 利用数量积求异面直线的夹角或其夹角余弦值的步骤 提醒：向量 与向量 的夹角为∠BAC而 与 的夹角为π－∠BAC. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB， BB1，B1C1的中点，则向量 与 的夹角等于（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° √ 解析：　因为E，F，G，H分别是所在棱的中点.所以由三角形中位线 定理可得， 与 同向共线， 与 同向共线，∴＜ ， ＞＝ ＜ ， ＞，在正方体中△A1BC1为等边三角形，∴＜ ， ＞＝ ＜ ， ＞＝60°，故选B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　利用空间向量的数量积求距离 如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝ 2，∠BAD＝ ，∠BAA1＝∠DAA1＝ . （1）求 · ； 解：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， ＝ － ＝ ＋ － . 因为 ＝ ＋ ，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝ ， ∠BAA1＝∠DAA1＝ ， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝2×1× cos ＝1， 则 · ＝（ ＋ － ）·（ ＋ ） ＝ · ＋ · ＋ · ＋ － － · ＝1＋1＋0 ＋1－1－0＝2. 所以 · ＝0， · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos＜ ， ＞＝2×1× cos ＝1， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求AC1的长度. 解： 因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，　 所以 ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋ 2 · ＋2 · ＋2 · ＝1＋1＋4＋2×0＋2×1＋2×1＝10， 则｜ ｜＝ ，即AC1＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求两点间的距离或线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝ ，通过计算求出｜a｜，即得所求距离. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　（2026·沈阳高二期末）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝ 5，AD＝5，AA1＝6，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝ ，则AC1的长 为 ⁠. 3 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD ＝5，AA1＝6，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝ ，如 图，∵ ＝ ＋ ＋ ，则｜ ｜2＝ ＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋2｜ ｜·｜ ｜· cos ＋2｜ ｜·｜ ｜· cos ＋2｜ ｜·｜ ｜ cos ＝25＋25＋36＋2×5×5× ＋2×5×6× ＋2×5×6× ＝171.∴AC1＝｜ ｜＝ ＝3 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　　 1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：　A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°， 90°，180°，故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 在空间四边形ABCD中， · ＋ · ＋ · ＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 不确定 解析：　如图，令 ＝a， ＝b， ＝c，则 · ＋ · ＋ · ＝a·（c－b）＋ b·（a－c）＋c·（b－a）＝a·c－a·b＋b·a－ b·c＋c·b－c·a＝0.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜ c｜＝4，则a与b的夹角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 以上都不对 解析：　设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平 方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，所 以4＋2×2×3 cos θ＋9＝16，解得 cos θ＝ ，故选D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则｜a＋b－ 2c｜＝ ⁠. 解析：｜a＋b－2c｜＝ ＝ ＝ ​ ＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 37 1. 棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 · ＝ （　　） A. B. － C. D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为 ＝ ＋ ，所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ，又｜ ｜＝｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ，＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞＝ ，所以 · ＝1×1× cos ＋1× × cos ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是（　　） A. 若a⊥b，b⊥c，则a∥c B. （a·b）c＝a（b·c） C. a·（b＋c）＝a·b＋a·c D. 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方体ABCD- A1B1C1D1中，满足 ⊥ ， ⊥ ，此时 ⊥ ，故A说法错 误；（a·b）c表示与c共线的向量，a（b·c）表示 与a共线的向量，所以（a·b）c与a（b·c）不一定 相等，B说法错误；向量的数量积满足乘法分配律，所以 a·（b＋c）＝a·b＋a·c，C说法正确；若｜a｜ ＝｜b｜，则a与b模长相等，方向不一定，所以a与b 不一定相等，D说法错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋ c＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜ ＝1，则a与b的夹角为（　　） A. 30° B. 150° C. 60° D. 120° 解析：　设a与b的夹角为θ.由a＋2b＋ c＝0，得a＋2b＝－ c， 两边平方得a2＋4a·b＋4b2＝7c2，所以1＋4×1×1× cos θ＋4＝7，解得 cos θ＝ .又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝ （　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 解析：　∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜ a｜2－｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜× ＝0，解得｜b｜ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 · ＝0， · ＝0， · ＝0，M为BC的中点，则△AMD是（　　） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 解析：　因为M为BC的中点，所以 ＝ （ ＋ ），可得 · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0，所以 ⊥ ，即AM⊥AD，可得△AMD是直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. （2026·东营高二期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网 格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝120°，｜ ｜＝3，若 ＝ ＋ ，则｜ ｜＝ （　　 ） A. 2 B. C. 6 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为 ＝ ＋ ，所以 ＝ ＋ ＝－ － ＋ ，则｜ ｜2＝（－ － ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋ 2 · －2 · －2 · ＝22＋32＋32＋0－2×2×3×（－ ） －2×3×3×（－ ）＝37，所以｜ ｜＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕（数学文化）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的 直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中， ＝2 ，则（　　） A. ＝ ＋ ＋ B. ＝ ＋ ＋ C. 向量 在向量 上的投影向量为 D. 向量 在向量 上的投影向量为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　∵ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ，故A错误，B正确.如图所示，过点D作 DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，∴AB⊥面 DEF，EG垂直于AC，∴AC⊥面DEG，故向量 在向量 上的投影向量为 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，由题意易得 ＝ ， ＝ ，故 ＝ ， ＝ ，C不正确，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 〔一题多解〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1， AB＝2，P是C1D1的中点，则 与 所成角的大小为 ⁠， · ＝ . 60°　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是 与 所成的角， 连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ ，即△PA1D为等边三 角形，从而∠PA1D＝60°，即 与 所成角的大小为60°，因此 · ＝ × × cos 60°＝1. 法二　根据向量的线性运算可得 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＝1.由题意可得PA1＝B1C＝ ，则 × × cos ＜ ， ＞＝1，从而＜ ， ＞＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点， 则向量 在向量 上的投影向量的模的取值范围为 . ［ ， ］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：由E为棱B1C1上的动点，设 ＝λ （0≤λ≤1），因为 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋ ＋λ ，所以 · ＝（ ＋ ＋λ ）· ＝ · ＋ · ＋λ · ＝1× × cos 45°＋λ×1× × cos 45°＝1＋λ，所以向量 在向量 上的投影 向量的模为 ，又0≤λ≤1，所以1≤1＋λ≤2，所以 ≤ ≤ ，所以向量 在向量 上的投影向量的模的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 如图，在空间四边形OABC中，D，E分别为BC，OA的中点，点G 为△ABC的重心，设 ＝a， ＝b， ＝c. （1）试用向量a，b，c表示向量 ； 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ） ＝a＋ （b－a＋c－a）＝ （a＋b＋c）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若OA＝OC＝2，OB＝1，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求 · 的值. 解： ＝ （ ＋ ）＝ （b－a＋c－a） ＝ （b＋c－2a）， ＝ ＋ ＝－b＋ a， · ＝ （ a－b）·（b＋c－2a） ＝ （ a·b＋ a·c－a2－b2－b·c＋2a·b） ＝ （ ×2×1× ＋ ×2×2× －4－1－1×2× ）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧 棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则 · （i＝ 1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 解析：　 · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ，∵AB⊥ 平面BP2P8P6，∴ ⊥ ，∴ · ＝0，∴ · ＝｜ ｜2＝ 1，则 · （i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕（新定义）在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量 a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥（a×b），b⊥（a×b），且a，b和a×b构成右手系，即三个 向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示；② a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin ＜a，b＞.在正方体ABCD- A1B1C1D1中，有以下四个结论，其中正确的有（　　） A. ｜ × ｜＝｜ × ｜ B. × 与 共线 C. × ＝ × D. 6｜ × ｜与正方体表面积的数值相等 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，＜ ， ＞＝60°，则｜ × ｜＝｜ ｜｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝ × × ＝ .因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以＜ ， ＞ ＝120°，所以｜ × ｜＝｜ ｜｜ ｜· sin ＜ ， ＞＝ × × ＝ ，所以｜ × ｜＝｜ × ｜，所以A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 对于B，如图，连接B1D1，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1， B1B∩B1D1＝B1，B1B，B1D1⊂平面BB1D1D，所以 A1C1⊥平面BB1D1D，因为BD1⊂平面BB1D1D，所以 BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D，再由右手系知， × 与 同向，所以B正确；对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，又由a×b模的定义知，｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin ＜a，b＞＝｜b｜｜a｜ sin ＜b，a＞＝｜b×a｜，所以a×b ＝－b×a，则 × ＝－ × ，所以C错误；对于D，设正方体的棱长为a，6｜ × ｜＝6｜ ｜｜ ｜· sin 45°＝6 a×a× ＝6a2，正方体表面积为6a2，所以D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AD＝4，O为对角线AC1的 中点，过点O的直线与长方体表面交于E，F两点，M为长方体表面上的 动点，则 · 的取值范围是 ⁠. 解析：O为AC1的中点，即为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，由对称性，O为EF的中点，则 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － ，AA1＝2AD＝4，AB＝AD＝2，AC1＝ ＝2 ，所以｜ ｜，｜ ｜∈[1， ]，所以 － ∈[－5，5]. [－5，5]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿 着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两 点间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：在平行四边形ABCD中，∵∠ACD＝90°，∴ · ＝0，同理 可得 · ＝0. 在空间四边形ABCD中，∵AB与CD成60°角，∴＜ ， ＞＝60° 或＜ ， ＞＝120°. 又 ＝ ＋ ＋ ，∴｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2 ＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝3＋2×1×1× cos ＜ ， ＞，∴当＜ ， ＞＝60°时，｜ ｜2＝4，此时B，D两点间的距离为2， 当＜ ， ＞＝120°时，｜ ｜2＝2，此时B，D两点间的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $