1.1.2 空间向量基本定理(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过小李面试路线情境导入，用单位向量表示位置向量，衔接共线、共面向量定理，构建从平面到空间的知识支架，帮助学生逐步理解定理内涵。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过共线、共面、基底判断等题型分类，结合一题多解和母题探究，培养数学抽象与直观想象。提供分层训练和规律方法总结，助力学生提升逻辑推理能力，也为教师提供系统教学资源和多样化例题参考。

1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量基本定理 第一章　空间向量与立体几何 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 课标要求 1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题（数学抽象）. 2.掌握空间向量的基本定理及其意义（直观想象）. 　　学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地 点由此向东100米，再向南150米，然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报 告厅参加面试.设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的 单位向量. 【问题】　假定每层楼高为3米，你能用e1，e2，e3表示出由咨询处到面试 地点的向量p吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　共面向量定理 1. 共线向量基本定理 空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得 ⁠. 2. 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯 一的实数对（x，y），使c＝ ⁠. 提醒：（1）向量c与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下 才成立的，若a与b共线，则不成立；（2）三个向量共面，又称这三个向 量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关. b＝λa　 xa＋yb　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向 量p，存在 的有序实数组（x，y，z），使得p＝ ⁠ .其中{a，b，c}叫作空间的一个 ，a，b，c都叫作 ⁠ .若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下 的 ⁠. 不共面　 唯一　 xa＋yb＋ zc　 基底　 基向 量　 分解式　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？ 提示：不可以. 2. 在四棱锥O-ABCD中， 可表示为x ＋y ＋z 且唯一，这种 说法对吗？ 提示：对. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若A，B，C三点共线，则 与 共线. （　√　） （2）向量 与向量 是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线 上. （　×　） （3）若p＝xa＋yb，则p与a，b共面. （　√　） （4）若p与a，b共面，则p＝xa＋yb. （　×　） √ × √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组 向量是（　　） A. 3a，a－b，a＋2b B. 2b，b－2a，b＋2a C. a，2b，b－c D. c，a＋c，a－c 解析：　∵a＋2b＝3a－2（a－b），∴3a，a－b，a＋2b共面； ∵b＋2a＝2b－（b－2a），∴2b，b－2a，b＋2a共面；∵a＋c＝ （a－c）＋2c，∴c，a－c，a＋c共面.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ 　－ a＋ b－c　.（用a，b，c 表示） － a＋ b－c　 解析： ＝ － ＝ （ ＋ ）－（ ＋ ）＝－ ＋ － ＝－ a＋ b－c. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　空间向量共线问题 （链接教科书第16页练习A组2题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O为A1C上一点，且 ＝ ，BD与AC交于点M. 求证：C1， O，M三点共线. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.∵ ＝ ， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ . ∵ ＝2 ， ＝ ＋ ＝ － ＝ － 2 ， ∴ ＝ （ －2 ）＋ ＝ ＋ . ∴ ， ， 共面. ∵ ＋ ＝1，∴C1，O，M三点共线. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边 形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向 量的倍数关系，即可证得这两向量共线. 2. 证明空间三点P，A，B共线的方法 （1） ＝λ （λ∈R）； （2）对空间任一点O， ＝ ＋t （t∈R）； （3）对空间任一点O， ＝x ＋y （x＋y＝1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 〔一题多解〕如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面， M，N分别是AC，BF的中点，则 与 是否共线？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都 是平行四边形， ∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .　① 又∵ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ － － ，　② ①＋②得2 ＝ ， ∴ ∥ ，即 与 共线. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平 行四边形， ∴ ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ） ＝ （ － ）＝ （ － ）＝ . ∴ ∥ ，即 与 共线. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　空间向量共面问题 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，O是B1D1的中点，求证： ， ， 是共面向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， ∵四边形B1BCC1为平行四边形， ∴ ＝c－a. ∵O是B1D1的中点， ∴ ＝ （a＋b）， ∴ ＝－ （a＋b）， ＝ － ＝b－ （a＋b）＝ （b－a）. ∵ ＝ ，∴ ＝c， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴ ＝ ＋ ＝ （b－a）＋c. 若存在实数x，y，使 ＝x ＋y （x，y∈R）成立，则c－a＝ x［ （b－a）＋c］＋y［－ （a＋b）］ ＝－ （x＋y）a＋ （x－y）b＋xc. ∵a，b，c不共线， ∴ 解得 ∴ ＝ ＋ ，∴ ， ， 是共面向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 解决向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有 ＝x ＋y 或 ＝x ＋ y ＋z （x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待 定系数法求出参数； （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明 过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向 量来表示. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 （1） ＝x ＋y ； （2）对空间任一点O， ＝ ＋x ＋y ； （3）对空间任一点O， ＝x ＋y ＋z （x＋y＋z＝1）； （4） ∥ （或 ∥ 或 ∥ ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且 ＝2，求证：A1，B，N，M四点共面. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴ ＝c－ a， 又∵ ＝2，∴ ＝ ＝ （b＋c）， ∴ ＝ － ＝ （b＋c）－a ＝ （b－a）＋ （c－ a） ＝ ＋ ， ∴ ， ， 为共面向量. 又∵三个向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　基底的判断及应用 角度1　基底的判断 （链接教科书第15页例2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 ＝e1＋2e2－e3， ＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断 { ， ， }能否作为空间的一个基底？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y， 使 ＝x ＋y 成立. ∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y） e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴ 此方程组无解， 即不存在实数x，y，使 ＝x ＋y 成立. ∴ ， ， 不共面. 故{ ， ， }能作为空间的一个基底. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 基底判断的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基 底；若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个 向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc， 运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为 基底；若无解，则不共面，能作为基底.③依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基 底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　〔多选〕设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的 一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A. {a，b，x} B. {x，y，z} C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c} √ √ √ 解析： 　如图所示，令a＝ ，b＝ ，c＝ ，则x＝ ，y＝ ，z＝ ，a＋b＋c＝ . 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也 不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 角度2　空间向量基本定理的应用 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知 ＝a， ＝b， ＝c， 点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量 ， . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ （ － ） ＝b＋ a＋ （c－b）＝b＋ a＋ c－ b ＝ a＋ b＋ c. ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋ （ － ）＝a＋b＋ （c－b） ＝a＋ b＋ c. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 1. （变条件）若把本例中的 ＝a改为 ＝a，其他条件不变，则结果 又是什么？ 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝b＋ （a－b）＝ a＋ b. ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝ － （ － ） ＝a－ （c－b）＝a＋ b－ c. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （变条件，变设问）如图所示，本例中增加条件“P在线段AA'上，且 AP＝2PA'”，试用基底{a，b，c}表示向量 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： ＝ ＋ ＋ ＝ － － ＝ （ ＋ ）－ － ＝ [＋（ － ）]－ － ＝ （a＋c－b）－c－ a＝ a－ b－ c. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个 基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三 角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变 形、化简，最后求出结果； （3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有 向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能 构成空间基底的是（　　） A. a＋b，b，c B. a，a－b，c C. a－c，b－c，a－b D. a，b，a＋b＋c √ 解析：　由图形结合分析a－c，b－c，a－b三个向量共面，不构成基底，故选C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知空间向量a，b，c不共面，且2a＋b－c＝（z－1）a＋xb＋ 2yc，则x，y，z的值分别是（　　） A. 2，1，2 B. 2，1，－2 C. 1，－ ，3 D. 1， ，3 解析：　由题设知 解得 故选C. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. 若p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B. 若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C. 若 ＝x ＋y ，则M，P，A，B共面 D. 若M，P，A，B共面，则 ＝x ＋y 解析： 　A、C选项：由向量共面定理知p＝xa＋yb，则p与a，b共 面； ＝x ＋y ，则M，P，A，B共面，正确；B选项：若a，b 共线，p与a，b不共线，则p＝xa＋yb就不成立；D选项：若M，A，B 共线，点P不在此直线上，则 ＝x ＋y 不成立. √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取 ＝a， ＝b， ＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中 点，则 ＝ .（用a，b，c表示） 解析：如图， ＝ － ＝ （b＋c）－ a. － a＋ b＋ c　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 40 1. 若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组 基底的是（　　） A. {a，2b，3c} B. {2a，a＋b，a－b} C. {a－c，a－b，b－c} D. {a＋c，a＋b，b－c} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　对于A，因为{a，b，c}是空间向量的一组基底，所以向量 a，b，c不共面，因此a，2b，3c也不共面，因此{a，2b，3c}可以作 为一组基底，即A正确；对于B，易知2a＝（a＋b）＋（a－b），因此 向量2a，a＋b，a－b共面，不能作为基底，即B错误；对于C，显然a －c＝（a－b）＋（b－c），因此a－c，a－b，b－c共面，不能作为 基底，即C错误；对于D，显然a＋c＝（a＋b）－（b－c），因此a＋ c，a＋b，b－c共面，不能作为基底，即D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知O，A，B，C为空间四点，且向量 ， ， 不能构成空间 向量的一组基底，则（　　） A. ， ， 共线 B. ， 共线 C. ， 共线 D. O，A，B，C四点共面 解析：　由 ， ， 不能构成基底知 ， ， 三向量共面， 所以O，A，B，C四点共面.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. （数学文化）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相 同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱 三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体， 如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若 ＝a， ＝ b， ＝c，则 ＝（　　） A. － a＋b＋ c B. a－b－ c C. a－ b＋ c D. a＋b－ c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图所示 ＝ ＋ ＝ ＋2 ＝ ＋2 －2 ，所以 ＝－ ＋ ＋ ＝－ a＋b＋ c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1， BC，BA上，且满足 ＝ ， ＝ ， ＝ ，O是平面 B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设 ＝x ＋y ＋ z ，则x＋y＋z＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为 ＝x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋ ，O在平 面B1GF内，所以x＋y＋ ＝1，同理可得 ＋ ＋z＝1，解得x＋y＝ ，z＝ .所以x＋y＋z＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a， ＝ ，点N为 B1B的中点，则｜ ｜＝（　　） A. a B. a C. a D. a √ 解析：　因为 ＝ － ＝ － ＝ ＋ － （ ＋ ＋ ）＝ ＋ － （ ＋ ＋ ）＝ ＋ － ， 所以｜ ｜＝ ＝ a.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足 ＝x ＋ ＋ ，则当点P，A，B，C四点共面时，实数x＝（　　） A. － B. － C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足 ＝x ＋ ＋ ，设 ＝m ＋n ＝m（ － ）＋n（ － ）＝－（m＋n） ＋m ＋n ，由题意可知 ， ， 不 共面，所以 故x＝－ － ＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕〔一题多解〕对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能 得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A. ＝ ＋ ＋ B. ＝ ＋ ＋ C. ＝ ＋ ＋ D. ＝2 － － √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析 　法一　A选项， ＝ ＋ ＋ ，不能转化成 ＝x ＋y 的形式，故A不正确；B选项，∵ ＝ ＋ ＋ ， ∴3 ＝ ＋ ＋ ，∴ － ＝（ － ）＋（ － ）， ∴ ＝ ＋ ，∴ ＝－ － ，∴P，A，B，C共面，故B正 确；C选项，∵ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，∴ － ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ ，由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 D选项， ＝2 － － ，无法转化成 ＝x ＋y 的形式，故D不正确. 法二　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有 ＝x ＋ y ＋z ，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B、C符合要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋2b－3c，n＝x（a＋ b）－y（b＋c）＋3（a＋c），若m∥n，则 ＝ ⁠. 3　 解析：m＝a＋2b－3c，n＝x（a＋b）－y（b＋c）＋3（a＋c）＝ （x＋3）a＋（x－y）b＋（3－y）c，因为m∥n，所以存在实数λ，使 n＝λm，所以（x＋3）a＋（x－y）b＋（3－y）c＝λ（a＋2b－ 3c），所以 所以 得x＝－ ，y＝ － ，x＝3y，所以 ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E满足 ＝ 2 ，点F满足 ＝λ ，若P，A，C，F四点共面，则λ＝ ⁠. 解析：连接BD，由题可知 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .又 ＝λ ，所以 ＝ ＋ ＋ ，且P，A，C，F四点共面，所 以 ＋ ＋ ＝1，解得λ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且 ＝2 ， F在对角线A1C上，且 ＝ .若 ＝a， ＝b， ＝c. （1）用a，b，c表示 ； 解：因为 ＝2 ， ＝a， ＝b， ＝c， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－ b－c＋a， 所以 ＝a－ b－c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求证：E，F，B三点共线. 解： 证明：因为 ＝ ， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ ＋ ＋ ）＋ ＋ ＝ （－b－a＋c）－c＋a＝ a－ b－ c＝ （a－ b－c）＝ ， 又 与 有公共点B，所以E，F，B三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. （与其他知识交汇）六氟化硫，化学式为SF6，常压下是一种无色、无 臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛 用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角 形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图 所示，在正八面体P-ABCD-Q中，G是△BCQ的重心，记 ＝a，PB＝ b， ＝c，则 ＝（　　） A. － a＋ b＋ c B. a－ b＋ c C. a－ b－ c D. a＋ b＋ c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　易知 ＝ ＝a＋c－b，设CQ中点为E，则 ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ）＝ （a－2b＋2c），所以 ＝ ＋ ＝b＋ （a－2b＋2c）＝ a＋ b＋ c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的 三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点， 若 ＝a， ＝b， ＝c，则（　　） A. ＝ a－ b＋c B. ＝a＋b＋c C. AC1的长为 D. cos ＜ ， ＞＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A选项， ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ b － a＋c，A错误；对于B选项， ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c，B正 确：对于C选项， ＝a＋b＋c，则｜ ｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋ b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6，则｜ ｜＝ ，C错误；对于D 选项， · ＝a·（a＋b＋c）＝a2＋a·b＋a·c＝2，则 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 已知正四面体A-BCD的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点 E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足AE＝CF，则线段EF长度 的最小值为 ⁠. 　 解析：在棱长为2的正四面体A-BCD中，由点M，N为棱 BC，AD的中点，得AM＝CN＝ ，由点E，F分别在 线段AM，CN上，AE＝CF，令 ＝λ ，λ∈[0，1]， ＝λ ，所以 ＝ － ＝（ ＋ ）－λ ＝ ＋λ（－ ＋ ）－ λ（ ＋ ）＝（1－ ） － ＋ ，又 · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝2， · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝2， · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 60°＝2，故｜ ｜＝＝ ＝ ＝ ＝ ，当λ＝ 时，｜ ｜min＝ ， 所以线段EF长度的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. （多思少算）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝ 3，AA1＝2 ，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设 ＝a， ＝b， ＝c. （1）用a，b，c表示 ， ， ； 解： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝a ＋b＋c， ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－a＋b ＋c， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值； 解：由题知，｜a｜＝｜b｜＝3，｜c｜＝2 ， ＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝45°， 则a·b＝ ，c·a＝ c·b＝6，｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝3 ， · ＝（－a＋b＋c）·（a＋b）＝－a2＋b2＋c·a＋c·b＝12， 则 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 故异面直线BD1与AC所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）若点P为线段AA1的四等分点，且AP＝3PA1，点Q为线段CC1的中 点，在线段DD1上是否存在一点M，使得点M与点B，P，Q四点共面？ 若存在，求出DM∶DD1的值；若不存在，请说明理由. 解：假设在线段DD1上存在符合题意的点M，设 DM∶DD1＝t（0≤t≤1），则 ＝tc， ＝ ＋ ＝－a＋ c， ＝ ＋ ＝b＋ c， ＝ ＋ ＋ ＝－a＋b＋tc， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 因为M与点B，P，Q四点共面，所以存在唯一实数对λ，μ， 使得 ＝λ ＋μ ， 即－a＋b＋tc＝λ（－a＋ c）＋μ（b＋ c）， 则λ＝μ＝1，t＝ λ＋ μ＝ ，与0≤t≤1矛盾，所以假设 不成立， 故在线段DD1上不存在点M，使得点M与点B，P，Q四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $