2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“直线的交点坐标与距离公式”同步练，以“基础-中档-提升”三层设计覆盖公式运算到几何证明，适配新授课分层教学，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|交点坐标、距离公式直接应用|选择填空为主（如第1题交点计算），强化概念理解与基本运算| |中档层|知识交叉应用（反射、四边形判定）|引入实际情境（如第4题光线反射），培养数学眼光与逻辑推理| |提升层|复杂情境综合（对称变换、几何证明）|含多选与证明题（如第16题几何证明），发展创新意识与综合应用能力|

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 1.直线3x+2y-18=0和直线2x-5y+7=0的交点坐标为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-4,-3) B.(4,3) C.(-4,3) D.(3,4) 2.[2026·河北开滦一中高二期中] 直线l:(1+2λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ为任意实数)过定点 (　 ) A.(0,2) B.(2,0) C.(2,1) D.(1,2) 3.已知△ABC的顶点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上的中线长为 (　 ) A.4 B.5 C.3 D.4 4.[2026·玉林一中高二月考] 已知一束光线从点(4,0)发出后被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在直线的方程为 (　 ) A.x-2y-2=0 B.x-2y+2=0 C.x+2y-2=0 D.x+2y+2=0 5.已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD的形状是 (　 ) A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 6.(多选题)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是 (　 ) A.(2,0) B.(0,2) C.(4,6) D.(6,4) 7.已知点A(-2,3),点B在y轴上,若|AB|=3,则点B的坐标为　　　　　　.  8.直线l经过原点,且经过两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为　　　　　　　.  9.(13分)判断下列各组直线的位置关系,若相交,则求出交点坐标. (1)l1:y=2x+3,l2:2x-y+5=0; (2)l1:y=2x+1,l2:x-2y=0; (3)l1:x=3,l2:x=10; (4)l1:y=2x+1,l2:2x-y+1=0. 10.在△ABC中,已知AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,AC:2x+y-2=0,则AC边上的高所在直线的方程是 (　 ) A.x-2y+4=0 B.2x-4y+9=0 C.4x-3y-9=0 D.7x+y+28=0 11.已知点P(2,1),Q(1,0),H在直线x-y+1=0上,则|HP|+|HQ|的最小值为 (　 ) A.2 B. C.3 D. 12.(多选题)已知直线l1:3x-y-1=0,l2:x+2y-5=0,l3:x-ay-3=0把平面分成6个部分,则实数a的值可能为 (　 ) A.1 B. C.-2 D.-1 13.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点坐标为(2,3),则过两点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程为　.  14.(15分)已知直线l:2x-3y+1=0.求: (1)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程. 15.(多选题)已知点P(3,5),点A在y轴上,点B在直线l:x-y-4=0上,则下列结论正确的是 (　 ) A.△PAB的周长的最小值是6 B.当△PAB的周长取得最小值时,直线PB的斜率是-2 C.当|PA|取得最小值时,|AB|+|PB|的最小值是6 D.当|PA|+|PB|取得最小值时,△PAB的面积是 16.(15分)在△ABC中,AB=AC,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:AB2=AD2+BD·DC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 1.B　[解析] 由解得所以直线3x+2y-18=0和直线2x-5y+7=0的交点坐标为(4,3).故选B. 2.B　[解析] 由(1+2λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0整理得(x+y-2)+λ(2x+y-4)=0,令解得所以直线l:(1+2λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ为任意实数)过定点(2,0).故选B. 3.B　[解析] 设BC边的中点为D,因为B(3,-2),C(5,4),所以D(4,1).又A(0,4),所以BC边上的中线长为|AD|==5.故选B. 4.B　[解析] 设点(4,0)关于直线x+y-10=0的对称点为(a,b),则解得因此反射光线所在直线过点(10,6),又反射光线过点(0,1),所以反射光线所在直线的方程为y=x+1,即x-2y+2=0.故选B. 5.B　[解析] 依题意得|AB|==,|BC|==, |CD|==,|AD|==,所以|AB|=|BC|=|CD|=|AD|,所以四边形ABCD是菱形.又直线AB的斜率kAB=-,直线AD的斜率kAD=,所以kABkAD=-1,则AB⊥AD,所以四边形ABCD是正方形.故选B. 6.AC　[解析] 设B(x,y),根据题意可得即 解得或所以B(2,0)或B(4,6).故选AC. 7.(0,8)或(0,-2)　[解析] 设B(0,y),因为点A(-2,3),所以|AB|==3,整理得(y-3)2=25,解得y=8或y=-2,所以点B的坐标为(0,8)或(0,-2). 8.2x-y=0　[解析] 方法一:由解得 所以两条直线的交点为(-1,-2),所以直线l的斜率为=2,则直线l的方程为y=2x,即2x-y=0. 方法二:设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,λ∈R,因为直线l经过原点,所以2×0+3×0+8+λ(0-0-1)=0,解得λ=8,所以直线l的方程为2x-y=0. 9.解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2. (1)因为k1=k2=2,b1=3,b2=5,b1≠b2,所以l1∥l2. (2)因为k1=2,k2=,k1≠k2,所以l1与l2相交. 由解得 所以交点坐标为. (3)由两直线的方程可知,l1∥y轴,l2∥y轴,且两直线在x轴上的截距不相等,所以l1∥l2. (4)因为k1=k2=2,b1=b2=1,所以l1与l2重合. 10.A　[解析] 设AC边上的高所在直线的斜率为k,则解得k=,由得B(-4,0),∴AC边上的高所在直线的方程为y=(x+4),即x-2y+4=0.故选A. 11.D　[解析] 如图,设P关于直线x-y+1=0的对称点为P'(a,b),则解得则P'(0,3),所以|HP|+|HQ|=|HP'|+|HQ|≥|P'Q|==,当且仅当H为P'Q与直线x-y+1=0的交点时等号成立.故选D. 12.BCD　[解析] 当三条直线中有两条直线平行且另一条直线与这两条直线均相交或者三条直线交于一点时,三条直线可把平面分成6个部分.因为直线l1的斜率为3,直线l2的斜率为-,所以直线l1,l2一定相交,由解得故l1与l2的交点坐标为(1,2).当a=0时,直线l3与x轴垂直,其方程为x=3,l3不经过点(1,2),且不与l1或l2平行,不满足要求.当a≠0时,直线l3的斜率为,当直线l1与直线l3平行时,=3,解得a=,此时直线l1,l2,l3把平面分成6个部分,满足要求;当直线l2与直线l3平行时,=-,解得a=-2,此时直线l1,l2,l3把平面分成6个部分,满足要求;当直线l3过直线l1,l2的交点(1,2)时,1-2a-3=0,解得a=-1,此时直线l1,l2,l3把平面分成6个部分,满足要求.综上,a的值可能为,-2,-1.故选BCD. 13.2x+3y+1=0　[解析] 因为两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点坐标为(2,3),所以2a1+3b1+1=0且2a2+3b2+1=0,所以Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)在直线2x+3y+1=0上,所以过两点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程为2x+3y+1=0. 14.解:(1)设P(x,y)为l'上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y),且P'在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得直线l'的方程为2x-3y-9=0. (2)在直线m上取一点M(2,0), 则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在m'上. 设M'(a,b),则解得即M'. 设m与l的交点为N,则由解得即N(4,3),则m'经过点N(4,3), ∴直线m'的方程为=,即9x-46y+102=0. 15.ABD　[解析] 设点P关于y轴的对称点为P1,点P关于直线l的对称点为P2,则P1(-3,5),P2(9,-1).连接P1P2,交y轴于点M,交直线l于点N.当点A,B分别与点M,N重合时,△PAB的周长取得最小值,且最小值为|P1P2|==6,A正确.当△PAB的周长取得最小值时,点B的坐标为(5,1),则直线PB的斜率是=-2,B正确.当|PA|取得最小值时,PA⊥y轴,则A(0,5),从而|AB|+|PB|=|AB|+|P2B|≥|AP2|=3,C错误.当|PA|取得最小值时,PA⊥y轴,则A(0,5),当|PB|取得最小值时,PB⊥l,则B(6,2),此时,△PAB的面积是×3×3=,D正确.故选ABD. 16.证明:如图,以BC边的中点O为原点,BC边所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A在y轴上. 设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b), 则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2, |AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2, ∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2, ∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|, 即AB2=AD2+BD·DC. 学科网（北京）股份有限公司 $