专题2.3 直线的交点坐标与距离公式专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 考点预览 考点一 两条直线的交点坐标 考点二 两点间的距离公式 考点三 点到直线的距离公式 考点四 两条平行直线间的距离公式 考点五 距离公式的综合应用 一、知识填空 1．两条直线的交点坐标 （1）求两条直线的交点，就是求由它们的方程组成的 的解。 （2）若方程组有唯一解，则两直线 ；若无解，则两直线 ；若有无数个解，则两直线 。 2．两点间的距离公式 （1）已知 ，，则 。 （2）点 到原点 的距离 。 3．点到直线的距离公式 （1）点 到直线 的距离 。 （2）使用该公式时，直线方程必须化为 形式。 4．两条平行直线间的距离公式 （1）两条平行直线 与 间的距离 。 （2）使用前须先把两直线方程化为 、 系数 的形式。 5．坐标法解题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量。 （2）进行有关代数运算，最后把运算结果“翻译”成 关系。 二、考点专练 考点一 两条直线的交点坐标 方法与技巧： 1. 识别信号：判断两条直线的位置关系，或求两条直线的交点坐标。 1. 操作流程：联立两直线方程解方程组，消元求出 、；也可由解的个数判断位置关系。 1. 技巧·口诀：“联立解方程组，解的个数定位置”。 1. 易错点：判断位置关系时要注意系数成比例的各种情形（是否重合），不能只看斜率。 【例题精讲】 1．直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．判断直线 与 的位置关系。 【变式训练】 1．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．直线 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 【巩固练习】 1．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 5．若直线 与 平行，则 （　　） A． B． C．-2 D．2 6．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．若直线 与 的交点在 轴上，则 （　　） A．-6 B．6 C． D． 8．若直线 与 相交，则 满足的条件是（　　） A． B． C． D． 考点二 两点间的距离公式 方法与技巧： 1. 识别信号：已知两点的坐标，求两点间的距离；或已知距离求点的坐标。 1. 操作流程：直接套用 ；若求点的坐标，则平方后解方程。 1. 技巧·口诀：“横差竖差平方和，开方就是两点距”。 1. 易错点：由距离求点坐标时，平方去根号可能产生两解，不要漏解或增解。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D． 2．已知 ，，求 。 【变式训练】 1．点 到原点 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D． 3．点 到原点 的距离 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D．7 2．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D．6 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．点 到原点 的距离为（　　） A．10 B．8 C．6 D．14 5．已知 ，，则 （　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知 ，，且 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 7．已知 ，，则 （　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8．已知 的顶点为 ，，，则该三角形是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 考点三 点到直线的距离公式 方法与技巧： 1. 识别信号：求点（或动点）到直线的距离。 1. 操作流程：先把直线化为一般式 ，再代入 。 1. 技巧·口诀：“代入取绝对值，分母系数平方和开方”。 1. 易错点：直线必须先化为一般式；分子要加绝对值，结果非负。 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．求点 到直线 的距离。 【变式训练】 1．点 到直线 的距离为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 2．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 3．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 3．原点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 4．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 5．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 6．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 7．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 8．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 考点四 两条平行直线间的距离公式 方法与技巧： 1. 识别信号：求两条平行直线之间的距离。 1. 操作流程：先把两直线化为 、 系数对应相同的一般式，再用 。 1. 技巧·口诀：“系数先对齐，常数差比模”。 1. 易错点：若两直线 、 的系数不成比例，须先同乘一个数化成一致，再代公式。 【例题精讲】 1．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A．1 B．5 C． D． 2．求两条平行直线 与 间的距离。 【变式训练】 1．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 2．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A．1 B．5 C． D． 3．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 2．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 4．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 5．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A．1 B．5 C． D． 6．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 7．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 8．直线 与直线 平行，且两直线间的距离为 ，则 的方程可能为（　　） A． B． C． D． 考点五 距离公式的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：距离公式与对称、最值（点到直线距离最大或最小）等综合问题。 1. 操作流程：先用距离或对称把问题转化，再求最值；线段最短、面积最大等常借助对称点或垂线段。 1. 技巧·口诀：“对称转化，垂线最短”。 1. 易错点：求最值时要判断等号成立的条件是否在定义域内；对称点坐标要算准。 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．已知点 ，直线 ，求点 到直线 的距离。 【变式训练】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．原点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 3．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．原点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 3．点 关于直线 的对称点到原点 的距离为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．7 5．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 6．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 7．若点 到点 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 8．已知点 ，，直线 ，则 、 两点到直线 的距离的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 三、达标检测 1．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D． 3．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 4．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 5．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．7 7．原点 到直线 的距离为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 8．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 9．已知 ，，且 ，则 。 10．点 到直线 的距离为 。 11．求两条平行直线 与 之间的距离。 12．已知直线 过点 ，且点 、 到 的距离相等，求直线 的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 考点预览 考点一 两条直线的交点坐标 考点二 两点间的距离公式 考点三 点到直线的距离公式 考点四 两条平行直线间的距离公式 考点五 距离公式的综合应用 一、知识填空 1．两条直线的交点坐标 （1）求两条直线的交点，就是求由它们的方程组成的 的解。 （2）若方程组有唯一解，则两直线 ；若无解，则两直线 ；若有无数个解，则两直线 。 2．两点间的距离公式 （1）已知 ，，则 。 （2）点 到原点 的距离 。 3．点到直线的距离公式 （1）点 到直线 的距离 。 （2）使用该公式时，直线方程必须化为 形式。 4．两条平行直线间的距离公式 （1）两条平行直线 与 间的距离 。 （2）使用前须先把两直线方程化为 、 系数 的形式。 5．坐标法解题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量。 （2）进行有关代数运算，最后把运算结果“翻译”成 关系。 自检自纠： 1．（1）方程组 （2）相交；平行；重合 2．（1） （2） 3．（1） （2）一般式 4．（1） （2）对应相同 5．（2）几何 二、考点专练 考点一 两条直线的交点坐标 方法与技巧： 1. 识别信号：判断两条直线的位置关系，或求两条直线的交点坐标。 1. 操作流程：联立两直线方程解方程组，消元求出 、；也可由解的个数判断位置关系。 1. 技巧·口诀：“联立解方程组，解的个数定位置”。 1. 易错点：判断位置关系时要注意系数成比例的各种情形（是否重合），不能只看斜率。 【例题精讲】 1．直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两式相加得 ，故 ，代入得 ，交点为 。故选 A。 2．判断直线 与 的位置关系。 【答案】平行 【详解】由 知，两直线 、 系数成比例而常数项不成比例，故两直线平行。 【变式训练】 1．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 代入得 ，即 ，，交点为 。故选 A。 2．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 代入得 ，即 ，，，交点为 。故选 A。 3．直线 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 【答案】A 【详解】由 知两直线平行。故选 A。 【巩固练习】 1．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两式相加得 ，，，交点为 。故选 A。 2．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，，交点为 。故选 A。 3．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两式相加得 ，，代入得 ，交点为 。故选 A。 4．直线 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 【答案】A 【详解】由 知两直线平行。故选 A。 5．若直线 与 平行，则 （　　） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【详解】两直线平行，则 ，即 ，解得 。故选 A。 6．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两式相加得 ，，代入 得 ，交点为 。故选 A。 7．若直线 与 的交点在 轴上，则 （　　） A．-6 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】交点在 轴上，令 代入 得 ，再代入 得 ，解得 。故选 A。 8．若直线 与 相交，则 满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两直线相交，则 ，即 ，故 。故选 A。 考点二 两点间的距离公式 方法与技巧： 1. 识别信号：已知两点的坐标，求两点间的距离；或已知距离求点的坐标。 1. 操作流程：直接套用 ；若求点的坐标，则平方后解方程。 1. 技巧·口诀：“横差竖差平方和，开方就是两点距”。 1. 易错点：由距离求点坐标时，平方去根号可能产生两解，不要漏解或增解。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，求 。 【答案】 【详解】。 【变式训练】 1．点 到原点 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两点间距离公式得 。故选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．点 到原点 的距离 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D．7 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．点 到原点 的距离为（　　） A．10 B．8 C．6 D．14 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知 ，，则 （　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．已知 ，，且 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】由 得 ，故 或 ，解得 或 。故选 A。 7．已知 ，，则 （　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．已知 的顶点为 ，，，则该三角形是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】，，，由 知 为直角三角形。故选 A。 考点三 点到直线的距离公式 方法与技巧： 1. 识别信号：求点（或动点）到直线的距离。 1. 操作流程：先把直线化为一般式 ，再代入 。 1. 技巧·口诀：“代入取绝对值，分母系数平方和开方”。 1. 易错点：直线必须先化为一般式；分子要加绝对值，结果非负。 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．求点 到直线 的距离。 【答案】 【详解】。 【变式训练】 1．点 到直线 的距离为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把直线化为 ，则 。故选 A。 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．原点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把直线化为 ，则 。故选 A。 5．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】由 得 或 ，解得 或 。故选 A。 8．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】由 得 ，解得 或 。故选 A。 考点四 两条平行直线间的距离公式 方法与技巧： 1. 识别信号：求两条平行直线之间的距离。 1. 操作流程：先把两直线化为 、 系数对应相同的一般式，再用 。 1. 技巧·口诀：“系数先对齐，常数差比模”。 1. 易错点：若两直线 、 的系数不成比例，须先同乘一个数化成一致，再代公式。 【例题精讲】 1．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】两直线系数一致，。故选 A。 2．求两条平行直线 与 间的距离。 【答案】 【详解】把第二条化为 ，则 。 【变式训练】 1．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第二条化为 ，则 。故选 A。 【巩固练习】 1．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第二条化为 ，则 。故选 A。 4．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第二条化为 ，则 。故选 A。 8．直线 与直线 平行，且两直线间的距离为 ，则 的方程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 ， 或 ，故 的方程为 或 。故选 A。 考点五 距离公式的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：距离公式与对称、最值（点到直线距离最大或最小）等综合问题。 1. 操作流程：先用距离或对称把问题转化，再求最值；线段最短、面积最大等常借助对称点或垂线段。 1. 技巧·口诀：“对称转化，垂线最短”。 1. 易错点：求最值时要判断等号成立的条件是否在定义域内；对称点坐标要算准。 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知点 ，直线 ，求点 到直线 的距离。 【答案】 【详解】。 【变式训练】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．原点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．原点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．点 关于直线 的对称点到原点 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 关于 的对称点为 ，到原点的距离为 。故选 A。 4．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第二条化为 ，则 。故选 A。 6．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．若点 到点 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】由 得 ，解得 或 。故选 A。 8．已知点 ，，直线 ，则 、 两点到直线 的距离的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 三、达标检测 1．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两式相加得 ，，则 ，交点为 。故选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．原点 到直线 的距离为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．两条平行直线 与 间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第一条化为 ，则 。故选 A。 9．已知 ，，且 ，则 。 【答案】 或 【详解】由 得 ，故 或 ，解得 或 。 10．点 到直线 的距离为 。 【答案】 【详解】。 11．求两条平行直线 与 之间的距离。 【答案】 【详解】两直线系数一致，。 12．已知直线 过点 ，且点 、 到 的距离相等，求直线 的方程。 【答案】 或 【详解】若 ，由 得 ，即 ；若 过 的中点 ，由 得 ，即 。故 的方程为 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $