1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何同步练习分层科学，从基础运算到综合应用再到拓展挑战，梯度合理，有效巩固知识，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|空间向量坐标运算、垂直、距离、夹角|选择填空为主，巩固基本概念与运算，如向量垂直求参数| |提能力|综合应用、共面问题、正方体几何计算|解答题结合多选题，如单位向量求解与几何证明| |迎挑战|参数范围、面积计算、复杂几何问题|含探究性问题，如三角形面积与高，培养创新意识|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·福建·阶段检测）已知，，，则等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先求得，然后求得. 【详解】， 所以. 故选：A 2．（25-26高二上·甘肃·阶段检验）已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即，解得． 3．（24-25高二上·天津·阶段检测）设，，，则的中点M到点C的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间两点间距离公式计算． 【详解】由已知中点为，. 故选：C． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知向量，，若与夹角为，则的值为（    ） A． B． C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量坐标求得，，由空间向量的夹角公式和向量的数量积运算得，即可求出的值. 【详解】解：因为，，且与夹角为， 则，， 所以， 可知，解得：. 故选：A. 5．（25-26高二·全国·单元测试）已知点A(1,-2,11)，B(4,2,3)，C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形 【答案】A 【分析】由题设可得，，应用空间向量数量积的坐标表示可得，即可确定三角形ABC的形状． 【详解】由已知，，， 所以，即， 所以．即三角形为直角三角形． 故选：A． 6．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若、、三点共线，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据求解即可. 【详解】∵，， 由题意得，则， ∴、，∴， 故选:A． 7．（25-26高二上·云南·阶段检测）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 8．（25-26高二下·四川·开学考试）已知，则______. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故答案为： 9．（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则=___，向量与的夹角为___. 【答案】 3 【分析】根据空间向量的数量积坐标公式以及向量夹角公式即可求出． 【详解】∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)，∴||=3，||=， =0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos<>=.又∵<>∈[0，π]，∴<>=. 故答案为：3；． 10．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若 ，＝(，，－3)，且BP平面ABC，则实数________． 【答案】 【分析】由题意，可得，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，可得， 利用向量的数量积的运算公式，可得 解得，，，∴. 11．（25-26高二上·河北·期末）已知，，向量与的夹角为． （1）求：； （2）若，求实数的值． 【答案】（Ⅰ） ;  （Ⅱ）. 【详解】试题分析：（1）根据平面向量数量积的定义和模长公式，计算即可；（2）根据两向量垂直，数量积为，列出方程可求出的值. 试题解析：（1）， 又，     ∴                                        （2）∵，∴， 即，                             即，得              提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·内蒙古·期中）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 13．（25-26高二上·浙江·期中）在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是__________. 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式求出，利用二次函数求最小值. 【详解】，， 当时，最小，的最小值为2. 故答案为：2. 14．（25-26高二上·安徽·期中）已知向量 (1)求与同向的单位向量； (2)当时，若向量与垂直，求实数k的值； (3)若向量与向量，共面，求实数x的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量运算的坐标表示直角利用公式求解； （2）根据向量垂直，数量积为零建立方程，解出即可； （3）利用共面向量的坐标表示建立方程组，解出即可. 【详解】（1）因为 所以， 则与同向的单位向量为. （2）因为， 解得，则， 又，而， 则，解得， 故实数k的值为 （3）若向量与向量，共面， 则，即 ， 则，解得， 则实数x的值为 15．（25-26高二上·福建·阶段检测）如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 【答案】(1) 因正方体的棱长为1， 所以，而是线段的中点，因此. 由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以. 在直角三角形中，是其斜边上的中线，故. 由勾股定理得，. 因此，， 故是直角三角形，其中，故. (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值； （3）根据空间坐标系中两点距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，. ，. 设直线与所成角，则. （3）. 迎挑战 拓思维 · 求突破 16．（24-25高二上·陕西·阶段检测）（多选）已知在空间直角坐标系中，，，则（    ） A．若向量的夹角是锐角，则的取值范围是 B．若向量的夹角是钝角，则的取值范围是 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BC 【分析】根据两向量夹角余弦值的正负判断两向量夹角的情况，注意排除两向量共线即可判断A、B；利用向量坐标求出向量的模长，结合已知条件列出关于的方程，根据方程是否有解即可判断C、D. 【详解】对于A，，，向量，的夹角是锐角， 则且，不共线， 又， 整理有且 ， 因为，， 所以，即，解得； 若，即，解得， 所以若，，综上所述，若向量的夹角是锐角， 则的取值范围是：，故A错误； 对于B，若向量的夹角是钝角，则且，不共线， 即且 ，根据A中结果，有且， 所以若向量的夹角是钝角，则的取值范围是，故B正确； 对于C，，，因为， 所以有，整理有， ，所以存在，使得，故C正确； 对于D，，因为，即, 整理有，，， 所以不存在，使得，故D错误. 故选：BC 17．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知空间三点，，. (1)已知点，且，求的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示可求得答案； （2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解. 【详解】（1）解：因为，，又，所以，解得. （2）解：，，，，， ，，所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5). （1）求△ABC的面积. （2）求△ABC中AB边上的高. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出向量和，利用夹角公式求出向量和的夹角的余弦值，进而求出其正弦值，再根据三角形的面积公式可求得结果； （2）由（1）的面积可求得结果. 【详解】（1）由已知，得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)， ∴，， 1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， ∴ ， ∴， ∴S△ABC＝ ＝. （2）设AB边上的高为CD. 则 ， 即△ABC中AB边上的高为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·福建·阶段检测）已知，，，则等于（    ） A． B． C． D．5 2．（25-26高二上·甘肃·阶段检验）已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·天津·阶段检测）设，，，则的中点M到点C的距离（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知向量，，若与夹角为，则的值为（    ） A． B． C．－1 D．1 5．（25-26高二·全国·单元测试）已知点A(1,-2,11)，B(4,2,3)，C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形 6．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若、、三点共线，则（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26高二上·云南·阶段检测）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 8．（25-26高二下·四川·开学考试）已知，则______. 9．（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则=___，向量与的夹角为___. 10．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若 ，＝(，，－3)，且BP平面ABC，则实数________． 11．（25-26高二上·河北·期末）已知，，向量与的夹角为． （1）求：； （2）若，求实数的值． 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·内蒙古·期中）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 13．（25-26高二上·浙江·期中）在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是__________. 14．（25-26高二上·安徽·期中）已知向量 (1)求与同向的单位向量； (2)当时，若向量与垂直，求实数k的值； (3)若向量与向量，共面，求实数x的值. 15．（25-26高二上·福建·阶段检测）如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 迎挑战 拓思维 · 求突破 16．（24-25高二上·陕西·阶段检测）（多选）已知在空间直角坐标系中，，，则（    ） A．若向量的夹角是锐角，则的取值范围是 B．若向量的夹角是钝角，则的取值范围是 C．存在，使得 D．存在，使得 17．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知空间三点，，. (1)已知点，且，求的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5). （1）求△ABC的面积. （2）求△ABC中AB边上的高. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $