1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间平行关系，以向量法为核心，分基础巩固、综合应用、探究提升三层设计，梯度合理，适配新授课知识内化与能力进阶，培养空间观念、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固（1-7题）|线线、线面、面面平行的向量判定|选择填空为主，直接应用向量平行条件，强化概念理解与坐标运算| |综合应用（8-13题）|结合正方体、三棱柱等几何体的平行关系|融入空间几何体背景，需转化线面平行为向量关系，提升空间观念| |探究提升（14-16题）|存在性问题与复杂线面平行证明|解答题形式，需构建向量模型论证，发展逻辑推理与创新意识|

第2课时　空间中直线、平面的平行 1.A　[解析] 因为直线l1的一个方向向量为n=(-2,1,3),直线l2的一个方向向量为m=(2,-1,t),l1∥l2,所以m∥n,设m=λn,则2=-2λ,-1=λ,t=3λ,解得λ=-1,t=-3.故选A. 2.D　[解析] 因为=(2,1,2),n=(0,-2,1),所以·n=0,所以AB∥α或AB⊂α.故选D. 3.B　[解析] 因为α∥β,所以a∥b,所以==,解得m=4.故选B. 4.B　[解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),所以=(1,0,1),=(-1,1,0).设=(a,b,c),则可得=(a,a,-a). 又=(-1,-1,1),所以-a=,所以∥,又PQ不过点B,所以PQ∥BD1.故选B. 5.C　[解析] 因为平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),且直线l∥平面α,所以u·n=0.对于A,若u=(-2,4,-6),则u·n=-28≠0,所以A不符合题意;对于B,若u=(0,0,1),则u·n=3≠0,所以B不符合题意;对于C,若u=(0,3,2),则u·n=-6+6=0,所以C符合题意;对于D,若u=(1,1,1),则u·n=2≠0,所以D不符合题意.故选C. 6.ACD　[解析] 对于A,n1=n2,则两个向量平行,故A正确;对于B,不存在实数λ使得n1=λn2,则两个向量不平行,故B错误;对于C,n1=-n2,则两个向量平行,故C正确;对于D,n1=-n2,则两个向量平行,故D正确.故选ACD. 7.-2　[解析] 因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以解得 8.平行　[解析] 因为底面ABCD是边长为2的正方形,DD1⊥平面ABCD,所以DD1,DA,DC两两垂直.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接BC1.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2A1B1=2,DD1=1,P为AB的中点,故D1(0,0,1),B(2,2,0),C1(0,1,1),P(2,1,0),则=(2,1,-1),=(-2,-1,1),所以=-,即D1P∥BC1,又D1P⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,故D1P∥平面BCC1B1. 9.证明:因为底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以AF=CD=2,所以四边形AFCD为平行四边形, 所以AD=CF=BF=BC,所以△BCF为正三角形,所以∠BAD=∠ABC=60°. 取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD. 以D为原点,DM所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图, 则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),所以=(0,0,2),=(,-1,0),=(,-1,0),=(0,0,2), 所以∥,∥,所以DD1∥CC1,DA∥CF. 因为DD1∥CC1,CC1⊂平面FCC1,DD1⊄平面FCC1, 所以DD1∥平面FCC1.因为DA∥CF,CF⊂平面FCC1,DA⊄平面FCC1,所以DA∥平面FCC1. 又DD1∩DA=D,DD1,DA⊂平面AA1D1D,所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 10.C　[解析] 若直线的方向向量a,b共线,则两直线平行或重合,又因为直线m,n是空间中两条不同的直线,所以直线m,n平行,即“a,b共线”是“直线m,n平行”的充分条件;若直线m,n平行,则a,b共线,即“a,b共线”是“直线m,n平行”的必要条件.综上,“a,b共线”是“直线m,n平行”的充要条件.故选C. 11.A　[解析] 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则x=2,y=-3,即m=(2,-3,1),则n=m,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α∥平面ABC.故选A. 12.ABC　[解析] 依题意,以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),G(0,1,0),M(2,1,2),E(2,1,0), F(1,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),所以=(-2,-1,-2),=(2,1,2),所以=-,即∥,故B1G∥DM,故A正确;=(0,1,-2),=(-1,0,-2),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=-2,y=2,所以n=(-2,2,1),所以n·=(-2)×(-2)+(-1)×2+(-2)×1=0,即n⊥,又B1G⊄平面A1EF,所以B1G∥平面A1EF,故B正确;=(2,1,2),=(2,2,0),设平面BDM的法向量为m=(x1,y1,z1),则即 令x1=2,则y1=-2,z1=-1,所以m=(2,-2,-1),所以n=-m,即n∥m,所以平面BDM∥平面A1EF,故C正确;因为=(-2,-1,-2),=(-1,0,-2),所以B1G和A1F不平行,故D错误.故选ABC. 13.　[解析] 因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+ BC2=AB2,所以AC⊥BC,则在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA,CB,CC1两两垂直,以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0,4),设D(x,y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4),则=(x,y,0),=(0,4,4),=(-3,0,4).设平面CDB1的法向量为m=(a,b,c),则即令b=-x,则m=(y,-x,x),若AC1∥平面CDB1,则·m=0,所以-3y+4x=0①.由D在AB上得=,即4x+3y=12②,由①②可得x=,y=2,即D为AB的中点,故=. 14.证明:方法一:如图①,取AD的中点N,连接MN,NF.在△DAB中,M是BD的中点,N是AD的中点,∴MN∥AB,MN=AB,又EF∥AB,EF=AB,∴MN∥EF且MN=EF,∴四边形MNFE为平行四边形,则EM∥FN, 又FN⊂平面ADF,EM⊄平面ADF,∴EM∥平面ADF. 方法二:以B为原点,分别以BD,BA,BE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系Bxyz. ∵AB=2,EB=,EF=1,BC=, ∴BD==3,∴D(3,0,0),A(0,2,0),E(0,0,),F(0,1,),M,∴=,=(3,-2,0),=(0,-1,). 设平面ADF的法向量是n=(x,y,z), 则取y=3,得n=(2,3,). 又·n=3-3=0,∴n⊥, 又EM⊄平面ADF,∴EM∥平面ADF. 15.(答案不唯一)　[解析] 因为平面B1GK∥平面DEF,B1G⊂平面B1GK,所以B1G∥平面DEF.由题知D(0,0,0),E(2,2,0),F(1,3,1),B1(3,3,3),所以=(2,2,0),=(1,3,1),设G(a,0,b),平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,2),又=(a-3,-3,b-3),所以n·=a-3+3+2(b-3)=a+2b-6=0,即a+2b=6.令a=3,则b=,故点G. 16.解:假设存在实数λ,使得MP∥BC1.如图,取BC的中点O,连接AO,可得AO⊥BC,又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1. 以O为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,3,0),M(1,0,),N(0,2,2),C1(-2,3,0),连接MB1,则=(-4,3,0),=(-2,-1,2),=(1,3,-). 因为=λ(0≤λ≤1),所以=+=+λ=(1-2λ,3-λ,-+2λ). 若MP∥BC1,则∥,则存在实数t,使得=t,即方程组无解,故不存在实数λ,使得MP∥BC1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间中直线、平面的平行 1.[2026·江门二中高二月考] 已知直线l1的一个方向向量为n=(-2,1,3),直线l2的一个方向向量为m=(2,-1,t),若l1∥l2,则t的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-3 B.1 C. D. 2.[2026·河南T20名校高二调研] 已知点A(1,0,-2),B(3,1,0),若平面α的一个法向量为n=(0,-2,1),则直线AB与平面α的位置关系是 (　 ) A.AB∥α B.AB⊥α C.AB⊂α D.AB∥α或AB⊂α 3.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,3),平面β的一个法向量为b=(2,m,6),若α∥β,则实数m的值为 (　 ) A.-4 B.4 C.-10 D.10 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,PQ不过点B,则直线PQ与BD1的位置关系是 (　 ) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 5.[2026·安徽A10联盟高二诊断] 已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),若直线l∥平面α,则直线l的一个方向向量u可以是 (　 ) A.(-2,4,-6) B.(0,0,1) C.(0,3,2) D.(1,1,1) 6.(多选题)若平面α,β平行,则下列两个向量可以分别是这两个平面的法向量的是 (　 ) A.n1=(1,2,0),n2=(2,4,0) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,0,1),n2=(-2,0,-2) D.n1=(0,1,0),n2=(0,-1,0) 7.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=　　　　.  8.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,DD1⊥平面ABCD,AB=2A1B1,DD1=1,P为AB的中点,则D1P与平面BCC1B1的位置关系为　　　　.  9.(13分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.试用向量的方法证明:平面AA1D1D∥平面FCC1. 10.已知空间中两条不同的直线m,n,其方向向量分别为a,b,则“a,b共线”是“直线m,n平行”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),=(1,0,-2),=(1,1,1),且平面α与平面ABC不重合,则 (　 ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α与平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 12.(多选题) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点, 则下列说法正确的是 (　 ) A.B1G∥DM B.B1G∥平面A1EF C.平面BDM∥平面A1EF D.B1G∥A1F 13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在棱AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则=　　　　.  14.(15分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,EF=1,BC=,且M是BD的中点.求证:EM∥平面ADF. 15.如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立空间直角坐标系,点E在BD上,且BE=BD,点F在CB1上,且CF=CB1,若平面ADD1A1上存在一点G,平面ABCD上存在一点K,使得平面B1GK∥平面DEF,则一个满足条件的点G的坐标为　　　　.  16.(15分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=3,M是AB的中点,N在AA1上,且AN=2NA1,点P在B1N上,且=λ(0≤λ≤1).是否存在实数λ,使得MP∥BC1?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $