1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间中直线、平面平行的向量刻画这一核心知识点，前承空间向量的方向向量与法向量概念，通过表格系统梳理线线平行（方向向量共线）、线面平行（方向向量与法向量垂直）、面面平行（法向量共线）的条件，搭建从向量工具到平行关系应用的学习支架。 该资料特色在于以诊断分析判断题强化概念辨析，培养数学思维的推理能力，探究点结合直三棱柱、正方体等实例，用向量语言表达几何关系，提升数学眼光的抽象能力。课中助力教师引导学生掌握向量方法，课后通过拓展题（如探究棱上点存在性）帮助学生查漏补缺，发展创新意识。

第2课时　空间中直线、平面的平行 【学习目标】 　　1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行. 　　2.能分析和解决一些立体几何中有关平行的问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具. ◆ 知识点　用空间向量描述空间线面的平行关系 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 平行 关系 对应线面 图形 满足条件 线线 平行 l1与l2 l1∥l2⇔　　　⇔∃λ∈R,使得u1=　　　　　  线面 平行 l1与α (l1⊄α) l1∥α⇔　　　⇔u1·n1=　　　  面面 平行 α与β α∥β⇔　　　　⇔∃λ∈R,使得n1=　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (　 ) (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. (　 ) (3)若两条不同直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2. (　 ) (4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. (　 ) ◆ 探究点一　空间向量与平行关系 例1 (1)[2025·深圳高二期中] 已知直线l的一个方向向量为a=(2,-3,1),平面α的一个法向量为n=(3,1,-3),则直线l与平面α的位置关系是 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.l与α相交 B.l⊥α C.l∥α D.l⊂α或l∥α (2)已知平面α的一个法向量为m=(2a,3,-2),平面β的一个法向量为n=(-2,b,1),若α∥β,则a+2b= (　 ) A.-1 B.1 C.2 D. (3)[2025·北京通州区高二期中] 已知向量a=(1,-2,4),b=(2,4x,y+1)分别是直线l1,l2的一个方向向量,若l1∥l2,则x+y=　　　　.  变式 已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(-2,2,4),则l∥m B.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α C.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t= ◆ 探究点二　利用空间向量证明平行关系 例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,点D,E分别为A1B1,AA1的中点,点F为CD的中点,AB=AC=AA1=2.求证:EF∥平面ABC. 变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明: (1)MN∥平面CC1D1D; (2)平面MNP∥平面CC1D1D. [素养小结] 证明线、面平行问题的方法: (1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示,且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. (2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. 拓展 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,四边形ABB1A1、四边形ACC1A1均为正方形,点E是棱CC1的中点.在棱A1B1(不含端点)上是否存在点F,使得EF∥平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间中直线、平面的平行 【课前预习】 知识点 u1∥u2　λu2　u1⊥n1　0　n1∥n2　λn2 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量的方向相同或相反. (2)由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. (3)因为b=-2a,所以l1∥l2. (4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　(2)A　(3)6　[解析] (1)因为a·n=(2,-3,1)·(3,1,-3)=6-3-3=0,所以a⊥n,则l⊂α或l∥α.故选D. (2)若α∥β,则m∥n,所以==(b≠0),解得a=2,b=-,故a+2b=2-3=-1.故选A. (3)因为l1∥l2,所以a∥b,故存在实数λ使得b=λa,则解得所以x+y=6. 变式　D　[解析] 对于A,易知向量a=(1,-1,2)与向量b=(-2,2,4)不平行,可得l与m不平行,故A错误;对于B,易知a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,所以l⊂α或l∥α,故B错误;对于C,易知两平面的法向量n1=(0,1,3),n2=(1,0,2)不平行,所以α与β不平行,故C错误;对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),则 解得所以u+t=,故D正确.故选D. 探究点二 例2　证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,且AC⊥AB,即A1C1⊥A1B1, 所以AA1,A1B1,A1C1两两垂直, 以点A1为原点,A1A,A1B1,A1C1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(2,0,2),A1(0,0,0),B1(0,2,0),故D(0,1,0),E(1,0,0),F,则=. 由题可知,平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0),∵·m=0,∴⊥m,∵EF⊄平面ABC,∴EF∥平面ABC. 变式　证明:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 方法一:设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1). 由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D, 所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量. 因为=(0,1,-1),所以·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D. 方法二:设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1). 因为=(0,1,-1),=(0,0,2),=(0,2,0),所以=-+, 又MN⊄平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D. (2)方法一:因为=(0,2,0),=(0,1,-1),=(2,0,0),所以 所以=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量, 又M∉平面CC1D1D,所以平面MNP与平面CC1D1D不重合,所以平面MNP∥平面CC1D1D. 方法二:由=(0,2,0),=(0,2,0),得=,所以∥,又MP⊄平面CC1D1D,DC⊂平面CC1D1D,所以MP∥平面CC1D1D. 由(1)知MN∥平面CC1D1D,又MN与MP相交于点M, 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 拓展　解:以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设AB=4,则AA1=AC=4,∴B(4,0,0),A1(0,0,4),C(0,4,0),E(0,4,2), ∴=(4,0,-4),=(-4,4,0). 假设在棱A1B1上存在点F(t,0,4)(0<t<4),使得EF∥平面A1BC, 易知=(t,-4,2). 设平面A1BC的法向量为m=(a,b,c), 则令a=1,得b=1,c=1, ∴m=(1,1,1)是平面A1BC的一个法向量. 由·m=t-4+2=0,解得t=2,∴F(2,0,4),∴F为棱A1B1的中点, 故在棱A1B1上存在点F,且=1,使得EF∥平面A1BC. 学科网（北京）股份有限公司 $