第1章 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题

学习目标	1.理解两条异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两条异面直线所成的角，提升直观想象、数学运算的核心素养． 2.理解直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的核心素养． 3.理解二面角的大小与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求平面与平面的夹角，提升直观想象、数学运算的核心素养．

任务一　异面直线所成的角

(阅读教材P36－37，完成探究问题1)

问题1.同学们在分组讨论异面直线所成的角时，有同学认为异面直线l1，l2所成的角θ就是其方向向量u，v的夹角〈u，v〉；有同学认为异面直线l1，l2所成的角θ与其方向向量u，v的夹角〈u，v〉没有任何关系．你认为谁的观点正确．

提示：都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系．

两条异面直线所成的角

若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|．

［微思考］　求两异面直线所成的角θ时，为什么不能用cos θ＝cos〈u，v〉？

提示：因为两异面直线所成角θ的范围是(0，］，而两个向量夹角〈u，v〉的范围是［0，π］，事实上，当〈u，v〉是锐角时，θ＝〈u，v〉，cos θ＝cos〈u，v〉；当〈u，v〉是钝角时，θ＝π－〈u，v〉，cos θ＝－cos〈u，v〉．

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝120°，F为CD的中点，PB＝2，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求cos〈，〉；

(2)求异面直线PD，BF所成角θ的余弦值．

解：(1)因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝120°，F为CD的中点，

所以DF＝1，BF．

又PB＝2，则B．

所以，0)，

cos〈

．

(2)cos θ．

用向量法求异面直线所成的角的两种途径

　　在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则可分别为a，b的方向向量，则cos θ．运用向量法常有两种途径：

1.基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos 〈a，b〉求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基向量表示出来，再求有关的量．

2.坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．　　

对点练1.(一题多解)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P-BC-A的大小为120°，求直线PB和AC所成角的余弦值．

解：法一：如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA．

因为△ABC和△PBC均为等边三角形，

所以AO⊥BC，PO⊥BC，

所以BC⊥平面PAO，

从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P-BC-A的平面角，

即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示．

设AB＝2，则A(．