1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系9题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线、平面位置关系，系统梳理空间中点、直线、平面的向量表示（含位置向量、方向向量、法向量），及线线、线面、面面平行与垂直关系的向量证明，构建从概念到应用的学习支架。 该资料以9类题型分类呈现，结合正方体、长方体等实例，通过具体问题培养学生空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习，有效查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系9题型分类 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量: 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式: 直线l的方向向量为a，且过点A，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．空间中平面的向量表示式： (1)平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 二、空间中直线、平面的平行 1．线线平行的向量表示： 设u1，u2分别是l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．线面平行的向量表示： 设u是l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．面面平行的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 三、空间中直线、平面的垂直 1．线线垂直的向量表示: 设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．线面垂直的向量表示: 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．面面垂直的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. （一） 直线的方向向量 理解直线方向向量的概念： (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． （3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 题型1：直线的方向向量 1．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 2．（2026高二·安徽阜阳·开学考试）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 4．（2026高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 5．（2026高二·全国·课堂例题）如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． （二） 平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 题型2：平面的法向量 6．（2026高二·河北沧州·阶段检测）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·山东济宁·阶段检测）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·河北雄安·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. （三） 证明线线平行 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 题型3：利用向量证明线线平行 13．（2026高二·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 14．（2026高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 15．（2026高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 16．（2026高二·全国·课后作业）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． （四） 证明线面平行 利用空间向量证明线面平行的方法： (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证线与面平行. (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行. (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行. 题型4：利用向量证明线面平行 17．（2026高二·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    18．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 19．（2026高二·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 20．（2026高二·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 21．（2026高二·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 22．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； （五） 证明面面平行 1、利用空间向量证明面面平行的方法： (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明. (2)通过证明两个平面的法向量平行证明. 2、证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 题型5：利用向量证明面面平行 23．（2026高二·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    24．（2026高二·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 25．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 26．（2026高二·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ （六） 证明线线垂直 1、利用向量方法证明线线垂直的常用方法： (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 2、证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 题型6：利用向量证明线线垂直 27．（2026高二·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：； 28．（2026高二·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 29．（2026高二·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 30．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 31．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. （七） 证明线面垂直 1、用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． ③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②求出平面的法向量． ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2、利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 题型7：利用向量证明线面垂直 32．（2026高二·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 33．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 34．（2026高二·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 35．（2026高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．    （八） 证明面面垂直 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 题型8：利用向量证明面面垂直 36．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 37．（2026高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 38．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 39．（2026高二·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 40．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 题型9：平行、垂直关系的应用 41．（2026高二·安徽阜阳·开学考试）在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 42．（2026高二·四川内江·阶段检测）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 43．（2026高三·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____.    44．（2026高二·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 1．（2026高二·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（2026高二·新疆·阶段检测）已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026高二·湖南·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2026高二·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2026·湖北黄石·模拟预测）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 7．（2026高二·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026高二·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 10．（2026高二·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 11．（2026高二·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 12．【多选】（2026高二·重庆·阶段检测）设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 13．【多选】（2026·广东东莞·模拟预测）如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（  ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026·广西贵港·模拟预测）正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 15．【多选】（2026高三·安徽·阶段检测）已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（   ） A．． B． C．该平行六面体的体积为 D．二面角的正弦值为 16．（2026高二·全国·专题练习）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026·广东肇庆·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 18．【多选】（2026·福建·模拟预测）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 19．（2026高三·江苏常州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明：    (1)； (2)平面； (3)平面平面. 20．（2026高二·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 21．（2026高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 22．（2026高二·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系9题型分类 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量: 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式: 直线l的方向向量为a，且过点A，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．空间中平面的向量表示式： (1)平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 二、空间中直线、平面的平行 1．线线平行的向量表示： 设u1，u2分别是l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．线面平行的向量表示： 设u是l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．面面平行的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 三、空间中直线、平面的垂直 1．线线垂直的向量表示: 设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．线面垂直的向量表示: 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．面面垂直的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. （一） 直线的方向向量 理解直线方向向量的概念： (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． （3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 题型1：直线的方向向量 1．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 2．（2026高二·安徽阜阳·开学考试）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直线的方向向量和向量的坐标运算求解. 【详解】依题意，直线l的一个方向向量为. 故选： 3．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 4．（2026高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 5．（2026高二·全国·课堂例题）如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标再求向量坐标，最后结合方向向量的定义可求； （2）先求出点的坐标再求向量坐标，最后结合方向向量的定义可求； 【详解】（1）由已知可得，长方体顶点A，B，，的坐标分别为 ，，，． 因为向量，所以直线的一个方向向量为． （2）因为向量，所以直线的一个方向向量为． （二） 平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 题型2：平面的法向量 6．（2026高二·河北沧州·阶段检测）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平面ABC的一个法向量，进而得出单位法向量． 【详解】因为 所以， 令平面ABC的一个法向量为 可得，即，令，则，所以 故平面ABC的单位法向量是，即或． 故选：B． 7．（2026高二·山东济宁·阶段检测）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求法向量使用待定系数法计算可得. 【详解】解：由题意，得，， 设为平面的法向量， 则，化简得，∴. 令x=1，有 故选：B. 8．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 9．（2026高二·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 10．（2026高三·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 11．（2026高二·河北雄安·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点为平面内任意一点，有，由题意可得，可得x，y，z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案. 【详解】设点为平面内任意一点，有， 所以，可得. 对于选项A：，故在平面内，故A错误； 对于选项B：，故在平面内，故B错误； 对于选项C：，故不在平面内，故C正确； 对于选项D：，故在平面内，故D错误； 故选：C 12．（2026高二·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【答案】14 【分析】根据法向量得出线线垂直结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为：14. （三） 证明线线平行 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 题型3：利用向量证明线线平行 13．（2026高二·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 14．（2026高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【答案】 以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得. 【详解】略 15．（2026高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明（1）和（2）. 【详解】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． （1）由，，， 得且， 所以且． （2），由于，显然，故． 16．（2026高二·全国·课后作业）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) ， ， ； (3)存在，，理由如下： 由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为， 设，由，得，存在． 【分析】建立空间直角坐标系， （1）求出，利用可得，再求体积即可； （2）求出坐标，可得答案； （3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ， 此时； （2）略 （3）略 （四） 证明线面平行 利用空间向量证明线面平行的方法： (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证线与面平行. (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行. (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行. 题型4：利用向量证明线面平行 17．（2026高二·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【详解】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 18．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 19．（2026高二·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 20．（2026高二·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量几何意义列方程，解之即可求得的值. 【详解】由直线平面，可得，则 则，解得 故选：D. 21．（2026高二·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3) 由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线平面. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）略 22．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. （五） 证明面面平行 1、利用空间向量证明面面平行的方法： (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明. (2)通过证明两个平面的法向量平行证明. 2、证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 题型5：利用向量证明面面平行 23．（2026高二·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】略 24．（2026高二·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）略 （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 25．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】 以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】略 26．（2026高二·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【答案】 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. （六） 证明线线垂直 1、利用向量方法证明线线垂直的常用方法： (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 2、证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 题型6：利用向量证明线线垂直 27．（2026高二·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：； 【答案】证明见解析. 【分析】先证明两两互相垂直，然后建立直角坐标系，用向量法证明即可. 【详解】连接FC，∵面，面，∴ 又，面，， ∴平面 即平面，∴ ∴以为坐标原点，以、、方向分别为，，轴正向建立空间直角坐标系， 则，，， ∴，， ∴，∴. 28．（2026高二·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 29．（2026高二·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 30．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 31．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) 建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. (2)存在点使得平面， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）略 （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. （七） 证明线面垂直 1、用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． ③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②求出平面的法向量． ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2、利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 题型7：利用向量证明线面垂直 32．（2026高二·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 33．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 34．（2026高二·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1) 因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. (2) 由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 35．（2026高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．    【答案】存在，，理由见解析 【分析】以为原点建系，利用坐标根据即可求出. 【详解】存在，理由如下： 由题意可知，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，    则, 因点P，Q分别是棱BB1，DD1的中点，则， 则， 设，则， 若平面，则， 得， 故存在点，使得平面. （八） 证明面面垂直 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 题型8：利用向量证明面面垂直 36．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【答案】证明见解析 【分析】建系，分别求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直. 【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1， 则， 所以， 设平面ECA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 设平面DEA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 因为，所以， 所以平面DEA⊥平面ECA. 37．（2026高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量表示可得； （2）利用空间向量表示，再结合面面垂直的判定定理可证明. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 38．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 39．（2026高二·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1) 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． (2) 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 40．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. (2)或2 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 题型9：平行、垂直关系的应用 41．（2026高二·安徽阜阳·开学考试）在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】A 【分析】以为原点建系，设平面α交侧棱PD于点M，根据共面定理得出，再根据坐标计算得出点的坐标，再根据对角线互相垂直求出面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面α交侧棱PD于点M， 令，则，则， 由，，则， 所以，， 由题意，M，E，B，F四点共面， 所以存在实数，使得 ， 则，解得， 所以. 则，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为. 42．（2026高二·四川内江·阶段检测）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，利用可得，继而即可求解. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 43．（2026高三·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____.    【答案】/ 【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分析边界直线并计算区域的面积最大值. 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，   , 线段EF满足，     设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，    所以区域的面积最大值是. 故答案为： 44．（2026高二·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的坐标，根据平面得出，根据空间向量求模公式代入求最值. 【详解】以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，，，， 设，， 由，，得， 由，，， ， ，，， 所以平面， 平面，所以， ，， ，即， ， ， ，， . 1．（2026高二·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2．（2026高二·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】问题转化为求的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 3．（2026高二·新疆·阶段检测）已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由即可得解. 【详解】因为，所以. 故选:C. 4．（2026高二·湖南·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量的定义计算即可. 【详解】由方向向量得，又因为， 所以. 故选：A. 5．【多选】（2026高二·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 6．【多选】（2026·湖北黄石·模拟预测）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 7．（2026高二·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 8．（2026高二·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（2026高二·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 10．（2026高二·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据三点共线得出空间向量平行，应用平行坐标关系计算求解. 【详解】因为三点共线， 所以，且， 所以， 则. 故选：B. 11．（2026高二·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 12．【多选】（2026高二·重庆·阶段检测）设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 【答案】ABD 【分析】根据向量的运算得到，根据题意即可判断A；根据，可得到可判断B；通过举反例可判断C；证明点均在平面内可判断D. 【详解】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确； 对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行， 故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误； 对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 13．【多选】（2026·广东东莞·模拟预测）如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图建立空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，所以MN与平面ABC不平行，故A错误； 对于B，如图连接交于点，连接， 根据正方形的性质可知是的中点 又是的中点，所以，又平面，平面， 所以平面ABC，故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系： 则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，所以MN与平面ABC不平行，故C错误； 对于D，如图建立空间直角坐标系： 则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，又平面， 所以平面ABC，故D正确. 14．【多选】（2026·广西贵港·模拟预测）正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断ABC；求出四边形面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，而直线， 因此，又平面，平面， 则平面，A正确； 对于B，，， 因此，B正确； 对于C，，， 因此不垂直，直线与平面不垂直，C错误； 对于D，， 等腰梯形的高， 因此四边形的面积，D正确. 15．【多选】（2026高三·安徽·阶段检测）已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（   ） A．． B． C．该平行六面体的体积为 D．二面角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】由即可判断A；由即可判断B；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断C；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值. 【详解】由题可得， 因为，所以， 所以即，A正确； 因为 所以不垂直，B错误； 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为， C正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，D正确. 16．（2026高二·全国·专题练习）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出相应点的坐标，设, 根据平行，可求得的坐标，进一步求出来结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为平面，所以可设，则， 由于，所以，，解得，， 所以，. 故选：A 17．【多选】（2026·广东肇庆·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 【答案】ACD 【分析】A注意到当点与点重合时，，据此可判断；B取中点，连接与，由平面平面，平面与平面有一个公共点，可判断；C注意到，据此可判断；D以分别为轴建立空间直角坐标系，设2]，通过方程是否有解可判断. 【详解】A，如图1，当点与点重合时，平面平面，所以平面，正确； B，如图2，取中点，连接与，易证明平面平面， 此时，平面与平面有一个公共点，且显然与平面不重合， 所以不存在点使得平面与平面平行，错误； C，如图3，因为平面平面，所以， 所以对任意给定的点，存在与点重合的点，使得，正确； D，如图4，以分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，设2]， 则，假设，则，即， 所以，因为， 所以对于任意，存在使得成立， 即对任意给定的点，存在点，使得，正确. 18．【多选】（2026·福建·模拟预测）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明并结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则，，，， 对于A，可得，， 则，得到，故A正确； 对于B，由题意得，，，， 则，，， 可得，得到， 可得，得到， 而平面，得到平面，故B正确； 对于C，由题意得，， 若，则，得到， 而不存在使方程组成立，即不成立，故C错误； 对于D，由题意得，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得到， 可得，得到平面，故D正确. 19．（2026高三·江苏常州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明：    (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1) 证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. (2) 证明：因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. (3) 证明：由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．（2026高二·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 21．（2026高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）略 （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 22．（2026高二·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】(1) 在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. (2) 直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $