1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系1.3.2 空间向量运算的坐标表示 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从空间向量基本定理切入构建空间直角坐标系，系统梳理空间点与向量的坐标表示方法，通过类比平面向量掌握线性运算、模、距离及平行垂直夹角的坐标公式，设置诊断分析、探究点及素养小结作为学习支架。 该资料亮点在于类比迁移平面向量知识培养推理能力，结合正四棱锥、长方体等几何体实例发展空间观念与模型意识，诊断分析与变式训练强化理解，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【学习目标】 　　1.在空间向量基本定理的基础上,了解空间直角坐标系. 　　2.结合简单几何体,能写出有关点和向量的坐标. 　　3.类比平面向量,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 　　4.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式. 　　5.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示. ◆ 知识点一　空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 定义:如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作　　　　.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫作　　　　,i,j,k都叫作　　　　,通过每两条坐标轴的平面叫作　　　　,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.  2.空间直角坐标系的画法 (1)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=　　　　　　　　,∠yOz=　　　　.   (2)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向　　　　　　,则称这个坐标系为右手直角坐标系.  ◆ 知识点二　空间向量的坐标 1.空间中点的坐标 如图,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=　　　　　　.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫作点A在空间直角坐标系中的坐标,记作　　　　　　,其中x叫作点A的横坐标,y叫作点A的纵坐标,z叫作点A的竖坐标.   2.空间中向量的坐标 如图,在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组　　　　叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示点. (　 ) (2)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的y轴上. (　 ) (3)点(0,0,3)在空间直角坐标系中的Oxy平面上. (　 ) (4)已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中与x轴、y轴、z轴的正方向同向的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标一定是(-1,1,-1).(　 ) ◆ 知识点三　空间向量运算的坐标表示 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 加法 a+b=　　　　　　　　　　　　　  减法 a-b=　　　　　　　　　　　　　  数乘 λa=　　　　　　　　　　,λ∈R  数量积 a·b=　　　　　　　　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),则a+b=(-3,1, -2). (　 ) (2)已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为(16,0,-19). (　 ) ◆ 知识点四　空间向量运算的坐标表示的应用 若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 共线 a∥b⇔　　　　⇔　　　　　　　　　　(λ∈R)  垂直 a⊥b⇔　　　　⇔　　　　　　　　　　  向量长度 |a|=　　　　=　  向量夹角公式 cos<a,b>=　　　　=　 　　　　　　  空间两点间 的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O为原点,则=-=　　　　　　　　　　,P1P2=|　　　　|=　　　　　　　　　　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点B的坐标相同. (　 ) (2)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)且b≠0,若a∥b,则==. (　 ) (3)若四边形ABCD是平行四边形,则与的坐标相同. (　 ) (4)已知非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a⊥b,则x1x2+y1y2+z1z2=0. (　 ) ◆ 探究点一　求空间点的坐标 例1 已知在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点. (1)如图①,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标; (2)如图②,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标. 变式 (1)(多选题)在棱长为1的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列各点在正方体内或正方体表面上的是 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1,0,1) B. C. D. (2)[2026·厦门大学附中高二月考] 空间一点P在Oxy平面上的射影为M(2,4,0),在Ozx平面上的射影为N(2,0,7),则点P关于x轴对称的点的坐标为　　　　.  [素养小结] (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点M的坐标的方法:作MM'垂直于平面Oxy,垂足为M',求M'的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再求点M在z轴上射影的竖坐标z,即为点M的竖坐标z,于是得到点M的坐标(x,y,z). (3)在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标满足“关于谁谁不变,其余的相反”的原则.如关于x轴的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于Oxy平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数. ◆ 探究点二　空间向量的坐标 例2 如图,在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5. (1)写出点B'的坐标,并将用单位正交基底{i,j,k}表示; (2)求的坐标. 变式 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,写出和的坐标. [素养小结] 用坐标表示空间向量的步骤: ◆ 探究点三　空间向量的坐标运算 例3 (1)在空间直角坐标系中,已知=(-1,2,0),=(-1,0,3),=(0,1,λ),若A,B,C,D四点共面,则λ的值为 (　 ) A.- B.- C.1 D.2 (2)已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2),则(a-b)·(a+2b)=　　　　.  变式 (1)(多选题)已知向量=(2,0,-1),=(0,1,1),则 (　 ) A.||=5 B.与同方向的单位向量为 C.·=1 D.在上的投影向量的模为 (2)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求: ①,,的坐标; ②+2,+-2的坐标. ◆ 探究点四　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 例4 [2026·贵州铜仁一中高二期中] 已知a=(2,2,2),a+b=(6,-3,2). (1)求向量b的坐标; (2)设向量c=(2,m,n),c∥(b-a),求|c|; (3)若(ka+b)⊥(a+2b),求k的值. 变式 (1)[2026·张家口二中高二期中] 设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a-b|= (　 ) A.2 B.3 C.4 D.3 (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是侧棱CC1上的任意一点,在线段A1C1上是否存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE?请说明理由. [素养小结] 利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤: (1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系. (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素. (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量,再研究平行、垂直关系. (4)根据运算结果解释相关问题. ◆ 探究点五　利用空间向量的坐标运算求夹角及长度 例5 [2026·浙江北仑中学高二月考] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点. (1)求EF与C1G所成角的余弦值; (2)求FH的长. 变式1 [2026·江苏锡东高级中学高二月考] 已知空间向量a=(1,1,λ),b=(-2,2-λ2,λ-6),若a,b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为　　　　.  变式2 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB,D,E,F分别是棱AB,B1C1,AC的中点,求DE,EF的长. 拓展 斗拱是中国建筑上特有的构件,是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分,用于支撑上部突出的屋檐,如图①,其简化结构如图②,其中OB,OC,OD是两两互相垂直的线段,OA为斗拱,满足OB=OC=OD,且∠AOB,∠AOC和∠AOD都为钝角.若cos<,>=-,cos<,>=-,则cos<,>= (　 ) A.- B.- C.- D.- 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【课前预习】 知识点一 1.坐标轴　原点　坐标向量　坐标平面 2.(1)135°(或45°)　90°　(2)z轴的正方向 知识点二 1.xi+yj+zk　A(x,y,z)　2.(x,y,z)　a=(x,y,z) 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)空间中的点和向量都可以用有序实数组(x,y,z)表示,(x,y,z)具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分. (2)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的Ozx平面上. (3)点(0,0,3)在空间直角坐标系中的z轴上. (4)由=-i+j-k只能确定向量=(-1,1,-1),而向量的起点A的坐标未知,故终点B的坐标不确定. 知识点三 (a1+b1,a2+b2,a3+b3)　(a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3)　a1b1+a2b2+a3b3 诊断分析 (1)√　(2)√　[解析] (1)因为向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),所以a+b=(-3,1,-2). (2)∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),∴2a-3b+4c=2(3,5,1)-3(2,2,3)+4(4,-1,-3)=(16,0,-19). 知识点四 a=λb　a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3　a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0　　　 　(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 　 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标. (2)虽然b≠0,但当x2,y2,z2中有一个为0时,由a∥b无法得到==. (3)若四边形ABCD是平行四边形,则=,故与的坐标相同. (4)根据向量的数量积坐标运算法则,易知说法正确. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量. 连接OB,因为点B在Oxy平面内,且底面正方形的中心为O,边长为2,所以=i+j,所以向量的坐标为(1,1,0),即点B的坐标为(1,1,0), 同理可得点A的坐标为(1,-1,0),点C的坐标为(-1,1,0),点D的坐标为(-1,-1,0). 因为点P在z轴的正半轴上,正四棱锥P-ABCD的高为2,所以=2k,所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2). 连接OF,因为F为侧棱PB的中点,所以=(+)=(i+j+2k)=i+j+k,所以向量的坐标为,即点F的坐标为, 同理可得点E的坐标为. 综上可知,A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E,F. (2)设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量. 因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,所以OA=,又因为点A在x轴的正半轴上,所以=i,即点A的坐标为(,0,0),同理可得点B的坐标为(0,,0),点C的坐标为(-,0,0),点D的坐标为(0,-,0). 因为点P在z轴的正半轴上,正四棱锥P-ABCD的高为2,所以=2k,所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2). 连接OE,因为E为侧棱PA的中点,所以=(+)=(i+2k)=i+k, 所以向量的坐标为,即点E的坐标为,同理可得点F的坐标为. 综上可知,A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0),P(0,0,2),E,F. 变式　(1)ACD　(2)(2,-4,-7)　[解析] (1)由已知可得,若P(x,y,z)为正方体内或正方体表面上的一个点,则0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1.分析四个选项,A,C,D中点的坐标均符合上述条件,只有B中点的坐标不符合上述条件.故选ACD. (2)由题意可得,点M与点P的横、纵坐标相同,点N与点P的横、竖坐标相同,则点P的坐标为(2,4,7),所以点P关于x轴对称的点的坐标为(2,-4,-7). 探究点二 例2　解:(1)因为OA=6,OC=8,OO'=5, 所以点B'的坐标为(6,8,5),从而=6i+8j+5k. (2)因为C'在坐标平面Oyz内,OC=8,OO'=5,所以点C'的坐标为(0,8,5),所以=0i+8j+5k=(0,8,5). 变式　解:由题意知{,,}为单位正交基底, 因为E,F分别是D1D,BD的中点,所以=,==+,所以=-=+-,所以=. 因为CG=CD,所以=, 又因为H为C1G的中点,所以==(+)=+,所以=. 探究点三 例3　(1)B　(2)2　[解析] (1)因为A,B,C,D四点共面,所以与,共面,又向量,不共线,故存在唯一实数对(x,y),使得=x+y,所以(-1,2,0)=(-x,0,3x)+(0,y,λy)=(-x,y,3x+λy),所以解得故选B. (2)由题意可得(a-b)·(a+2b)=(1,1,-3)·(7,4,3)=7+4-9=2. 变式　(1)BD　[解析] 对于A,因为=(2,0,-1),所以||==,故A错误;对于B,因为==,所以与同方向的单位向量为,故B正确;对于C,·=(2,0,-1)·(0,1,1)=-1,故C错误;对于D,因为=(0,1,1),所以=(0,-1,-1),又=(2,0,-1),故在上的投影向量的模为==,故D正确.故选BD. (2)解:①由题意可知A(0,0,0),B(1,0,0),C'(1,2,3),D'(0,2,3), 所以=(1,2,3)-(0,0,0)=(1,2,3), =(0,2,3)-(1,0,0)=(-1,2,3), =(0,2,3)-(0,0,0)=(0,2,3). (2)+2=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),+-2=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0). 探究点四 例4　解:(1)由a=(2,2,2),a+b=(6,-3,2),得b=(a+b)-a=(4,-5,0). (2)由(1)得b-a=(2,-7,-2),又c=(2,m,n),c∥(b-a),所以m=-7,n=-2,所以c=(2,-7,-2), 所以|c|==. (3)由(1)知,|a|2=12,|b|2=41,a·b=-2, 由(ka+b)⊥(a+2b), 得(ka+b)·(a+2b)=ka2+2ka·b+a·b+2b2=12k-4k-2+82=8k+80=0,所以k=-10. 变式　(1)B　[解析] 因为a⊥c,所以a·c=2x-4+2=0,解得x=1.因为b∥c,所以==,解得y=-2,所以a=(1,1,1),b=(1,-2,1),所以2a-b=(1,4,1),所以|2a-b|==3.故选B. (2)解:假设在线段A1C1上存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE.如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 依题意可设AB=BC=a,AA1=b,EC=t,则D1(0,0,b),A(a,0,0),E(0,a,t), 设P(x,a-x,b),则=(x,a-x,0),=(-a,a,t). 由·=x×(-a)+(a-x)×a+0×t=0,得x=,即P, 此时P为A1C1的中点, ∴在线段A1C1上存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE. 探究点五 例5　解:(1)如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz, 则E(0,0,1),F(1,1,0),C1(0,2,2),G,所以=(1,1,-1),=, 所以||=,||=, ·=(1,1,-1)·=2-=, 所以cos<,>===×=,所以EF与C1G所成角的余弦值为. (2)因为H是C1G的中点,所以H, 又因为F(1,1,0),所以=,所以||===,即FH=. 变式1　(0,2)∪(2,+∞)　[解析] 因为a=(1,1,λ),b=(-2,2-λ2,λ-6)且a,b的夹角为钝角,所以a·b<0且a与b不共线(反向).由a·b<0,得-2+2-λ2+λ(λ-6)<0,解得λ>0.当a与b共线时,b=ta,则解得此时b=-2a,a与b反向共线. 综上可得,实数λ的取值范围为(0,2)∪(2,+∞). 变式2　解:以点C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. ∵C1C=CB=CA=2,∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2), 由中点坐标公式可得D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), ∴DE=||==, EF=||==. 拓展　D　[解析] 因为OB,OC,OD两两垂直,所以将它们整体旋转一下,如图,以O为原点,OB,OC,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设OB=OC=OD=1,可得O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),所以=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).设点A(a,b,c),可得=(a,b,c),则||==t,由cos<,>===-,可得a=-t,由cos<,>===-,可得b=-t,所以c=-=-t,即=,所以cos<,>===-.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $