第1章 1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从平面直角坐标系类比延伸至空间直角坐标系，系统构建点与向量的坐标表示方法，进而梳理空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算，以及平行垂直的坐标条件和夹角距离公式，形成从基础到应用的学习支架。 该资料以吴文俊先生观点引入激发探究欲，通过思考问题引导类比平面向量坐标运算（数学思维），结合直三棱柱、正方体等几何模型实例（数学眼光），借助判断、例题及感悟提升环节帮助学生用坐标语言解决几何问题（数学语言）。课中辅助教师引导知识构建，课后助力学生巩固概念、查漏补缺。

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 课标要求　1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．　2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　3.掌握空间向量运算的坐标表示及空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，……对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”我们应如何理解吴文俊先生的这段话？如何刻画点在直线上、平面内、空间内的位置？本节课我们就来研究这个问题． 思考1　我们知道平面直角坐标系包括坐标原点、两条互相垂直的坐标轴、单位长度三个要素，那么空间直角坐标系包括哪些要素？ 提示：坐标原点、三条互相垂直的坐标轴、单位长度． 思考2　在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 提示：是的． 思考3　有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标运算吗？ 提示：已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)等． 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz.O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．点的坐标 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． 　　　　　　　　　　　　　　　 (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式．(　　) (3)点P(－2，0，3)位于Ozx平面内．(　　) (4)空间直角坐标系中，点(2，，3)到坐标平面Oxy的距离为3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．点A(1，2，－1)在坐标平面Oyz内的射影的坐标是(　　) A．(1，0，－1) B．(0，2，－1) C．(1，2，0) D．(－1，2，0) 解析：选B.点A(1，2，－1)在坐标平面Oyz内的射影的坐标，即过点A作平面Oyz的垂线所得垂足的坐标为(0，2，－1). 3．(对接教材例1) 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为________；1的坐标为________；1的坐标为________． 解析：由题意可设＝i，＝j，＝k，＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)，＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)，＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4). 答案：(4，0，0)　(0，4，4)　(－4，4，4) 4．在空间直角坐标系Oxyz中，若点P(a，b，2a)关于坐标平面Ozx对称的点为Q(2－a，－b，b＋5)，则点P的坐标为________． 解析：由题意知，在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a，b，2a)关于坐标平面Ozx的对称点为Q(a，－b，2a)，又Q(2－a，－b，b＋5)， 所以解得所以点P的坐标为(1，－3，2). 答案：(1，－3，2) 【感悟提升】　(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法：作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间直角坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则． 知识点二　空间向量运算的坐标表示 1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 　(1)若a＝(－1，2，－1)，b＝(1，3，－2)，则(a＋b)·(a－2b)＝(　　) A．－29 B．－22 C．22 D．29 (2)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，1)，B(3，2，2)，点D满足＝2，则点D的坐标是________． 【解析】　(1)由a＝(－1，2，－1)，b＝(1，3，－2)，得a＋b＝(0，5，－3)，a－2b＝(－3，－4，3)， 所以(a＋b)·(a－2b)＝0×(－3)＋5×(－4)＋(－3)×3＝－29. (2)设D(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－1)，＝(2，2，1)，因为＝2， 所以解得 则D(5，4，3). 【答案】　(1)A　(2)(5，4，3) 【感悟提升】　空间向量坐标运算的解题方法 (1)直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算． (2)由条件求向量的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 　1.已知向量a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则4a－3b＝(　　) A．(2，－4，2) B．(10，－20，10) C．(－10，20，－2) D．(2，1，－3) 解析：选B.由题可得b＝a＋b－a＝(－2，4，－2)，4a－3b＝(4，－8，4)－(－6，12，－6)＝(10，－20，10). 2．(2026·北京期中)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(0，2，－1)，B(1，0，1)，C(－1，4，－3)，则·＝________． 解析：因为点A(0，2，－1)，B(1，0，1)，C(－1，4，－3)， 所以＝(1，－2，2)，＝(－1，2，－2)， 则·＝1×(－1)＋(－2)×2＋2×(－2)＝－9. 答案：－9 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 共线 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 当b1≠0，b2≠0，且b3≠0时，a∥b⇔＝＝ 垂直 当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 　已知空间向量m＝(x，y，1)，n＝(x，－2，2x). (1)若m∥n，求x＋y的值； (2)若m⊥n，求y的最小值及此时x的值． 【解】　(1)因为m∥n，所以存在实数λ，使得m＝λn， 当x＝0时，m＝(0，y，1)，n＝(0，－2，0)，所以λ不存在，所以x≠0； 当x≠0时，可得＝＝，解得x＝，y＝－2，所以x＋y＝－. (2)因为m⊥n，所以m·n＝x2－2y＋2x＝0，即y＝x2＋x＝(x＋1)2－， 所以当x＝－1时，y的最小值为－. 【感悟提升】　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数的值，利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 　1.下列各组向量中不平行的是(　　) A．a＝(1，1，－2)，b＝(2，2，－4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(1，1，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(2，3，5) 解析：选D.对于A，b＝2a，两向量平行； 对于B，d＝－3c，两向量平行； 对于C，零向量与任何向量都平行； 对于D，不存在实数k使得g＝kh，两向量不平行． 2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，2，－2)，c＝(6，1，λ)，若(a－b)⊥c，则λ的值为________． 解析：因为a＝(2，－1，3)，b＝(－1，2，－2)，所以a－b＝(3，－3，5)，由(a－b)⊥c得(a－b)·c＝0，又c＝(6，1，λ)，所以3×6＋(－3)×1＋5λ＝0，解得λ＝－3. 答案：－3 知识点四　夹角、距离的计算 1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝_ 夹角 cos 〈a，b〉＝ ＝ 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2＝||＝_． 　(对接教材例3) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 【解】　 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则E(0，0，1)，F(1，1，0)，C1(0，2，2)，G(0，，0). (1)因为H是C1G的中点，所以H(0，，1)， 所以＝(－1，，1)， ||＝＝， 即FH＝. (2)因为＝(1，1，－1)，所以||＝， 因为＝(0，－，－2)， 所以||＝， 且·＝(1，1，－1)·(0，－，－2)＝0－＋2＝， 设EF与C1G所成的角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈，〉| ＝＝＝. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 母题探究　在本例中，求△EFH的面积S. 解：由本例解析可知，＝(1，1，－1)，||＝，＝(－1，，1)，||＝，·＝(1，1，－1)·(－1，，1)＝－1＋－1＝－， 所以cos 〈，〉＝＝＝－，所以cos ∠EFH＝， 所以sin ∠EFH＝＝＝，故△EFH的面积S＝||||·sin∠EFH＝×××＝. 【感悟提升】　向量夹角与模的计算方法 建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解． 注意　异面直线所成角的范围与向量夹角的范围不同． 　如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2. (1)求M，N两点之间的距离； (2)求直线PA与MN所成的角． 解：(1)由题意，以A为原点，DA，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)， 则＝(－1，0，1)，故M，N两点之间的距离||＝＝. (2)由(1)知，＝(0，0，2)，＝(－1，0，1)， 所以cos 〈，〉＝ ＝＝， 故直线PA与MN所成的角为45°. 1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点A(4，－6，－1)关于Oxy平面对称的点的坐标为(　　) A．(－4，－6，－1) B．(－4，6，－1) C．(4，－6，1) D．(4，6，1) 解析：选C.由题意，在空间直角坐标系Oxyz中，与点A(4，－6，－1)关于Oxy平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为(4，－6，1). 2．(教材P23T5改编)若向量a＝(2，2，3)，b＝(－1，2，1)，c＝(0，1，1)，则a·(b＋2c)＝(　　) A．5 B．7 C．10 D．15 解析：选D.由b＝(－1，2，1)，c＝(0，1，1)，得b＋2c＝(－1，4，3)，而a＝(2，2，3)， 所以a·(b＋2c)＝2×(－1)＋2×4＋3×3＝15. 3．已知向量a＝(2，2m－3，8)，b＝(4，2m＋1，16)，且a∥b，则m＝__________． 解析：因为向量a＝(2，2m－3，8)，b＝(4，2m＋1，16)，若a∥b，则存在实数k，使得a＝kb＝(4k，(2m＋1)k，16k)， 可得解得 答案： 4．(教材P22T5改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出各个顶点的坐标； (2)求直线A1B与AC1所成角的余弦值． 解：(1)由题意，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1). (2)由(1)知，＝(1，0，－1)，＝(0，1，1)， 所以||＝，||＝，·＝－1， 记直线A1B与AC1所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝，故直线A1B与AC1所成的角的余弦值为. 1．已学习：空间直角坐标系的概念、空间点及空间向量的坐标、空间向量运算的坐标表示及应用． 2．须贯通：空间向量的坐标运算实际上比平面向量坐标运算增加了一个竖坐标，可看作平面向量坐标运算的推广． 3．应注意：厘清空间点的坐标和向量的坐标的概念；讨论向量夹角易忽略向量共线的情况；求异面直线所成的角易忽略范围． 学科网（北京）股份有限公司 $