1.1.2 空间向量的数量积运算（知识梳理+5大题型+思维导图+分层作业）--2026年新高二数学人教A版选择性必修一暑假预习讲义

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算（暑假预习讲义） 目录 第一步：边学边练（知识梳理+题型探究） 知识点1：空间两个向量的夹角 【题型1】空间向量夹角的运算 知识点2：空间向量的数量积 【题型2】空间向量的数量积运算 【题型3】空间向量的模长运算 【题型4】空间向量垂直关系的运算 知识点3：投影向量 【题型5】空间投影向量的运算 第二步：记（思维导图助力掌握知识框架） 第三步：练（课时分层作业） 知识梳理+题型探究 知识点1：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为。 (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 【题型1】空间向量夹角的运算 1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．（第02讲空间向量的数量积运算（思维导图 2知识点 6大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 4．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 知识点2：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 【题型2】空间向量的数量积运算 5．（25-26高二下·江苏·期末）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 7．（2026高二·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 8．（2026高二·全国·专题练习）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【题型3】空间向量的模长运算 9．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 12．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【题型4】空间向量垂直关系的运算 13．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点3：投影向量 1、向量的投影 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， 向量称为向量在向量上的投影向量． 2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 【题型5】空间向量投影向量的运算 15．（25-26高二下·福建漳州·期中）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 思维导图 课时分层作业 【练基础】 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 3．（25-26高二下·江苏·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 4．（2026高二下·全国·专题练习）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 6．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 7．（25-26高二下·江苏·期末）在平行六面体中，，则__________. 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【提能力】 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 10．（25-26高二上·天津·阶段检测）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·四川南充·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算（暑假预习讲义） 目录 第一步：边学边练（知识梳理+题型探究） 知识点1：空间两个向量的夹角 【题型1】空间向量夹角的运算 知识点2：空间向量的数量积 【题型2】空间向量的数量积运算 【题型3】空间向量的模长运算 【题型4】空间向量垂直关系的运算 知识点3：投影向量 【题型5】空间投影向量的运算 第二步：记（思维导图助力掌握知识框架） 第三步：练（课时分层作业） 知识梳理+题型探究 知识点1：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 【题型1】空间向量夹角的运算 1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 2．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 3．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 4．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 知识点2：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 【题型2】空间向量的数量积运算 5．（25-26高二下·江苏·期末）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】 . 6．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 7．（2026高二·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】依题意可知, . 故选：B 8．（2026高二·全国·专题练习）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 【题型3】空间向量的模长运算 9．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 10．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，， . 故选：A. 11．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 12．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 所以 ， 故. 【题型4】空间向量垂直关系的运算 13．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 知识点3：投影向量 1、向量的投影 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， 向量称为向量在向量上的投影向量． 2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 【题型5】空间向量投影向量的运算 15．（25-26高二下·福建漳州·期中）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 16．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 17．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 思维导图 课时分层作业 【练基础】 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】依题意可知, . 故选：B 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以. 故选：D 3．（25-26高二下·江苏·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 4．（2026高二下·全国·专题练习）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 5．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 7．（25-26高二下·江苏·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 【提能力】 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，且， 因为，以为一个空间基底， 可得，， 又因为，可得， 即，即， 解得或（舍去），即的值为. 故选：D. 10．（25-26高二上·天津·阶段检测）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 11．（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 12．（25-26高二下·四川南充·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $