1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，通过类比平面向量引入空间向量概念，系统梳理零向量、单位向量等特殊向量定义，以及加减、数乘运算规则，构建从二维到三维的知识学习支架。 资料设计亮点在于融合诊断分析与探究案例，通过正方体、四面体等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理共线共面问题，课中辅助教师引导概念辨析，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用能力。

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 【学习目标】 　　1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念. 　　2.结合立体几何与空间向量的特征,知道共面向量的概念. 　　3.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算. 　　4.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算. ◆ 知识点一　空间向量及有关概念 1.在空间,把具有　　　　和　　　　的量叫作空间向量,空间向量的大小叫作空间向量的　　　　或　　　　.  空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的　　　　表示空间向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为　　　　或　　　　.  2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫作　　　　,记为0  单位向量 　　　　的向量叫作单位向量  相反向量 与向量a长度　　　而方向　　　　的向量,叫作a的相反向量,记为　　　　  共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线　　　　　　　　,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.  规定:零向量与任意向量　　　　,即对于任意向量a,都有0　　　a  相等向量 方向　　　　且模　　　　的向量叫作相等向量.在空间,　　　　且　　　　的有向线段表示同一向量或相等向量  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)零向量是没有方向的. (　 ) (2)两个有共同起点且相等的空间向量,其终点必相同. (　 ) (3)空间中方向相反的两个向量是相反向量. (　 ) (4)空间内所有单位向量都是相等的. (　 ) ◆ 知识点二　空间向量的线性运算 1.空间向量的自由性 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个　　　　的运算就可以转化为　　　　的运算.  2.空间向量的线性运算 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量　　　　的运算  　　　　　法则  　　　　　法则  (1)加法交换律: a+b=　　　　　;  (2)加法结合律: (a+b)+c= 　　　　　  减法 减去一个向量相当于加上这个向量的　　　  　　　　　法则  a-b=　　　　  数乘 实数λ与向量a的积是一个　　　,这种运算叫作向量的　　　　,记作　　　  (1)|λa|=　.  (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=　　　　  (1)对向量加法的分配律: λ(a+b)=　　　　　;  (2)对实数加法的分配律: (λ+μ)a=　　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)-+=++. (　 ) (2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. (　 ) (3)若λ∈R,则λ(a+b)=λa+λb. (　 ) 2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗? ◆ 知识点三　空间向量共线与共面的充要条件 1.空间两向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使　　　　.  2.空间直线的确定 (1)直线的方向向量的定义 在直线l上取　　　　　,把与向量a　　　　的非零向量称为直线l的方向向量.   (2)空间直线的确定 空间直线可以由其上一点和它的　　　　　确定.   3.共面向量的定义 (1)向量与直线平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l　　　或　　　　,那么称向量a平行于直线l.  (2)向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线OA　　　　　　　或　　　　　　　,那么称向量a平行于平面α.  (3)共面向量 平行于同一个平面的向量,叫作　　　　　　.  4.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于向量p,a,b,若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则向量p与a,b共面. (　 ) (2)若向量p与向量a,b共面,则存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. (　 ) (3)若=x+y,则P,M,A,B共面.(　 ) (4)若P,M,A,B共面,则=x+y.(　 ) ◆ 探究点一　空间向量的有关概念及应用　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是 (　 ) A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有= D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p (2)(多选题)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个顶点分别为起点和终点的向量中,下列说法正确的是 (　 ) A.单位向量有8个 B.与相等的向量(不含)有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 变式 给出下列命题: ①将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个圆; ②在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,必有=-; ③空间中任意两个方向相反的单位向量的模必相等. 其中真命题的序号是　　　　.  [素养小结] 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: (1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向. (2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量. ◆ 探究点二　空间向量的线性运算 例2 (1)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的有(　 ) A.(-)+ B.(+)+ C.++ D.(+)+ (2)[2025·无锡高二期中] 如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量,,表示,. 变式 (1)若A,B,C,D为空间中不同的四个点,则下列各式中运算结果不一定为零向量的是(　 ) A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- (2)如图,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中. ①化简:--+++=　　　　;  ②化简:++++=　　　　.  [素养小结] 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果. ◆ 探究点三　空间向量的共线、共面问题 角度1　空间向量的共线 例3 (1)若空间中不同的四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则 (　 ) A.点P一定在直线AB上 B.点P一定不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上 D.以上答案都不对 (2)设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=FC1,判断与是否共线. [素养小结] (1)证明空间向量共线的方法:证明空间向量a,b共线的关键是利用已知条件找到实数λ,使a=λb(b≠0)成立,在做题时要运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb(b≠0),从而得出a∥b. (2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明P,A,B三点共线. ①存在实数λ,使=λ成立. ②对空间中一点O,有=x+y(x+y=1). 角度2　空间向量的共面问题 例4 已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,点M满足=++. (1),,三个向量是否共面? (2)点M是否在平面ABC内? 变式 [教材P5例1改编] 如图,已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,求证:E,F,G,H四点共面. [素养小结] (1)证明空间三向量共面的方法:证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb(x,y∈R),则向量p,a,b共面. (2)证明空间四点共面的思路:对于空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论来证明P,M,A,B四点共面. ①存在实数x,y,使=x+y成立; ②对空间中一点O,存在实数x,y,使=+x+y成立; ③对空间中一点O,有=x+y+z(x+y+z=1). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 【课前预习】 知识点一 1.大小　方向　长度　模　长度　|a|　|| 2.零向量　模为1　相等　相反　-a　互相平行或重合 平行　∥　相同　相等　同向　等长 诊断分析 (1) ×　(2) √　(3)×　(4) ×　[解析] (1)零向量也是有方向的,只是方向是任意的. (2)相等向量,如果起点相同,那么终点必相同. (3)相反向量不仅要求方向相反,而且要求模必须相等. (4) 空间内所有单位向量的长度都相等,但其方向不一定相同. 知识点二 1.空间向量　平面向量 2.和　三角形　平行四边形　b+a　a+(b+c)　相反向量 三角形　a+(-b)　向量　数乘运算　λa　|λ||a|　相同 相反　0　λa+λb　λa+μa 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)√ 2.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同. 平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用. 知识点三 1.a=λb 2.(1)非零向量a　平行　(2)方向向量 3.(1)平行　重合　(2)平行于平面α　在平面α内 (3)共面向量 4.p=xa+yb 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则p与a,b一定共面. (2)当a,b共线,而p与a,b不共线时,不存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. (3)若=x+y,则与,共面,又因为,,有公共点M,所以P,M,A,B共面. (4)当,共线,而与,不共线时,=x+y不成立. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)CD　(2)ABC　[解析] (1)对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但B中向量a与b的方向不一定相同,故B错误;对于C,根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量的方向相同,模也相等,则=,故C正确;对于D,由相等向量的定义可知m=n=p,故D正确.故选CD. (2)由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量(不含)有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量有,,,,,,,,共8个,故D错误.故选ABC. 变式　②③　[解析] 对于①,根据空间向量的定义,将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个球面,故①为假命题;对于②,根据正五棱柱的性质,得==-,故②为真命题;对于③, 空间中任意两个方向相反的单位向量的模都等于1,故③为真命题.故填②③. 探究点二 例2　(1)ABD　[解析] 对于A,(-)+=+=,故A符合题意;对于B,(+)+=+=,故B符合题意;对于C,++=(+)+=(+)+=+=,故C不符合题意;对于D,(+)+=+=,故D符合题意.故选ABD. (2)解:因为M是BC的中点,所以=(+), 所以=+. 因为MN=ON,所以==+, 所以=-=-++. 因为AP=AN,所以===-++, 所以=+=+=++. 变式　(1)A　(2)①　②　[解析] (1)对于A,+2+2+=(+)+(+)+(+)=+,故A中结果不一定为零向量;对于B,2+2+3+3+=2(+)+3(+)+=3+3=0,故B中结果为零向量;对于C,++=++=+=0,故C中结果为零向量;对于D,-+-=(-)+(-)=+=0,故D中结果为零向量.故选A. (2)①--+++=+++++=++0=+=. ②++++=++++=++=0+=. 探究点三 例3　(1)A　(2)C　[解析] (1)因为m+n=1,所以m=1-n,又=m+n,故=(1-n)+n,所以-=n(-),所以=n,则点P一定在直线AB上.故选A. (2)方法一:因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在实数μ,使得=μ,由已知得=4e1+8e2+4e3,=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,故4μe1+8μe2+4μe3=2e1+(1+λ)e2+2e3,由于e1,e2,e3不共面,故解得故选C. 方法二:因为A,C,D三点共线,所以∥,由已知得=4e1+8e2+4e3,=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,又向量e1,e2,e3不共面,故向量表达式中e1,e2,e3的系数对应成比例,即==,解得λ=3.故选C. 变式　解:由空间向量的线性运算法则,可得=++=++=-++=+==-, 即=-,所以与共线. 例4　解:(1)由题意知++=3, ∴-=(-)+(-),∴=+=--,∴向量,,共面. (2)由(1)知向量,,共面, ∵它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线, ∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内. 变式　证明:如图,连接PE,PF,PG,PH并延长,分别交AB,BC,CD,DA于点M,N,Q,R, 则M,N,Q,R分别为AB,BC,CD,DA的中点,作四边形MNQR,则该四边形为平行四边形,连接MQ,EG,EF,EH. 易知=,=,=,=, 所以=-=-==(+)=(-)+(-) =+=+,所以与,共面, 又因为它们有公共点E, 所以E,F,G,H四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $