1.1.1 空间向量及其线性运算(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，从平面向量概念与运算入手，通过类比推广构建空间向量概念体系，系统梳理线性运算（加、减、数乘）法则及运算律，进而探究共线、共面向量的充要条件及应用，形成从概念到运算再到应用的完整学习支架。 资料以滑翔伞运动受力情境导入，激发学习兴趣，培养数学抽象与直观想象素养。通过问题链引导类比迁移，结合长方体、平行六面体等模型设计例题与分层训练，强化逻辑推理与数学运算能力。课中助力教师引导学生构建知识网络，课后提供规律方法总结与多样化习题，帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

1.1.1　空间向量及其线性运算 课标要求 情境导入 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解（课标变化：了解→理解）空间向量的概念（数学抽象、直观想象）. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程（逻辑推理、直观想象、数学运算）. 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及应用（逻辑推理、数学运算）. 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 知识点一　空间向量的有关概念 问题　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示：平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量；能. 1.空间向量的概念与表示 （1）概念：在空间，具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量；空间向量的　大小　叫做空间向量的长度或　模　； （2） 2.几个特殊的空间向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为　0　的向量 0 单位向量 模为　1　的向量 ｜a｜＝1或｜｜＝1 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量叫做a的相反向量 －a 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量 a＝b或＝ 共线向量或平 行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或∥ 提醒：平面向量是一种特殊的空间向量. 1.（2026·常州月考）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 B.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等，方向相同或相反 C.若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞ D.相等向量的方向必相同 解析：D　A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，｜a｜＝｜b｜只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小，故选D. 2.〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝ C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 解析：BC　A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，其终点构成一个球面.故选B、C. 3.如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中. （1）试写出与相等的所有向量； （2）试写出的相反向量. 解：（1）与向量相等的所有向量（除它自身之外）有，及. （2）向量的相反向量为，，，. 规律方法 　　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 知识点二　空间向量的线性运算 问题　平面向量的线性运算是指哪些运算？空间向量也满足上述运算吗？ 提示：加、减及数乘运算；满足. 加法、减法 数乘 几何形式 代数形式 ＝　＋　＝a＋b， ＝　－　＝a－b 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c 结合律：λ（μ a）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μ a，λ（a＋b）＝λa＋λb 【微思考】 （1）空间向量线性运算的结果还是向量吗？ 提示：是向量. （2）由数乘λa＝0，可否得出λ＝0？ 提示：不能.λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）＋. 解：（1）∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c. （2）∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. （3）∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋（a＋c＋b）＝a＋b＋c. 又＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， ∴＋＝（a＋b＋c）＋（a＋c） ＝a＋b＋c. 规律方法 空间向量线性运算的技巧 （1）数形结合：要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； （2）巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； （3）巧用平移：运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 训练1　（1）化简－＋所得的结果是（　C　） A. B. C.0 D. 解析：－＋＝＋－＝－＝0. （2）如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝　－1　. 解析：∵＝－＋＝－＋（＋）＝－＋（＋）＝－＋＋（－）＝－＋＋，又＝＋x＋y，∴x＝，y＝－，故x＋y＝－1. 知识点三　共线向量、共面向量 问题　（1）平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. （2）空间中任意三个向量是否共面？ 提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 1.共线向量 （1）两个空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　； 提醒：（1）0与空间任意向量a都是共线向量；（2）向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一；（3）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上. （2）直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的　方向向量　，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的　方向向量　表示. 2.共面向量 （1）定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l　平行或重合　，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于　同一个平面　的向量，叫做共面向量； （2）向量共面的充要条件：如果两个向量a，b　不共线　，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使　p＝xa＋yb　. 提醒：（1）共面向量不一定在同一平面内，共面向量所在直线可能相交、平行或异面；（2）向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立. （1）〔一题多解〕如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋＝＋＋.　① 又∵＝＋＋＋＝－＋－－，　② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线. 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－＝（＋）－＝（＋）－（＋）＝（－）＝（－）＝. ∴∥，即与共线. （2）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点.试证：与，共面. 解：证明：如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，则＝＋＋，　① ＝＋＋.　② 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有＝－，＝－.　③ 将③代入②中，并与①相加， 得2＝＋， 所以＝＋， 即与，共面. 规律方法 1.判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两个向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示. 2.向量共面的判定方法 充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面. 训练2　（1）设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是（　　） A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 解析：A　∵＋＝＋，∴＝.∴∥且｜｜＝｜｜.∴四边形ABCD为平行四边形. （2）已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面. 解：设p＝xm＋yn， 即3a＋2b＋c＝x（a－b＋c）＋y（a＋b－c）＝（x＋y）a＋（－x＋y）b＋（x－y）c. 因为a，b，c不共面，所以 而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面. 提能点　共线、共面向量的应用 角度1　三点共线问题 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线. 证明：设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝（－）＝（＋－）＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝，又EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线. 规律方法 证明空间三点P，A，B共线的方法 （1）＝λ（λ∈R）； （2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）； （3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）. 角度2　四点共面问题 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z.你能证明点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1吗？ 证明：①充分性 ∵＝x＋y＋z， 可变形为＝（1－y－z）＋y＋z， ∴－＝y（－）＋z（－）， ∴＝y＋z， ∴点P与A，B，C共面. ②必要性 ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对（m，n），使＝m＋n， ∴－＝m（－）＋n（－）， ∴＝（1－m－n）＋m＋n， 又∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. 规律方法 四点共面的证明方法 （1）先证三向量共面，即＝x＋y，又三向量过同一点P，则P，A，B，C四点共面； （2）若对空间任意一点O，有＝＋x＋y，则P，A，B，C四点共面； （3）若对空间任意一点O，有＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），则P，A，B，C四点共面； （4）若∥（或∥或∥），则P，A，B，C四点共面. 训练3　（1）已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋＋，则m＝（　　） A.－1 B.2 C.－2 D.－3 解析：C　由＝－＝m＋＋，得＝m＋2＋，∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，∴m＋2＋1＝1，∴m＝－2. （2）（链接教材P5例1）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∵M为DD1的中点，∴＝c－a. 又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝（b＋c）. ∴＝－＝（b＋c）－a＝（b－a）＋（c－a）＝＋. ∴，，为共面向量. 又三向量过同一点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 1.下列命题中正确的是（　　） A.若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行 B.若向量a，b，c共面，则它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面 D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 解析：C　对于A，若a∥b，b∥c，当b＝0时a与c所在直线可能不平行，故A不正确；对于B，向量a，b，c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，故B不正确；对于C，根据向量共面定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确；对于D，若a∥b且b≠0，则存在唯一的实数λ，使a＝λb，故D不正确.故选C. 2.已知x，y，z是不共面的空间向量，若p＝3x－2y－4z与q＝（m＋1）x＋8y＋nz（m，n是实数）是共线向量，则m＋n＝（　　） A.16 B.－13 C.3 D.－3 解析：C　因为x，y，z是不共面的空间向量且p与q共线，则有q＝λp，则解得m＝－13，n＝16，所以m＋n＝3.故选C. 3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝（　　） A. B.3 C.3 D.2 解析：B　－＋＝－（－）＝－＝＋＝＋2＝3. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝　－　. 解析：如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－. （时间：60分钟　满分：101分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列命题中为真命题的是（　　） A.两个相等的向量，起点与终点一定相同 B.在四边形中，一定有＋＝ C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.空间任意三个向量a，b，2a－b一定是共面向量 解析：D　两个相等的向量，起点与终点可能不同，A错误；满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形不满足，B错误；两个不相等的空间向量，其模可以相等，C错误；由共面向量定理可知，D正确.故选D. 2.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是（　　） A.＋ B.＋ C.＋－ D.＋－ 解析：B　＋＝，故A错误；＋＝，故B正确；＋－＝＋，故C错误；＋－＝＋＝，故D错误.故选B. 3.下列条件中，能说明空间中不重合的三点A，B，C共线的是（　　） A.＋＝ B.－＝ C.｜｜＝｜｜ D.＝ 解析：D　对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A不满足题意；若－＝，则＋＝，而＋＝，则＝，即B，C两点重合，选项B不满足题意；｜｜＝｜｜，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项C不满足题意；＝，则A，B，C三点共线，选项D满足题意. 4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则＝（　　） A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 解析：A　因为M是A1C1的中点，所以＝＋－＝－＋＝－＋＝－＋（＋）＝－＋＝－a＋b＋c.故选A. 5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：A　＝－x＋＝－x＋（－）＝－x－.又∵P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴－x－＝1，解得x＝. 6.〔多选〕已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有（　　） A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 解析：ABC　作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'如图，可得－＝＋＝，故A正确；＋＋＝＋＋＝，故B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，故D不正确. 7.〔多选〕下列条件中，点P与A，B，C三点一定共面的是（　　） A.＝＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＋＋＋＝0 解析：AB　由＝＋得点A，B，C共线，故P，A，B，C共面；对于B，＋＋＝1，故P，A，B，C共面；对于C、D，显然不满足，故C、D错误.故选A、B. 8.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝　1　. 解析：＝＋＋＝（e1＋ke2）＋（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝7e1＋（k＋6）e2.设＝λ，则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2），∴解得k＝1. 9.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－＝　0　. 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝，故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0. 10.（10分）（2026·金华月考）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形. 证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴＝，＝， 则＝－＝－＝＝（－）＝（－） ＝（－）＝， ∴∥且｜｜＝｜｜≠｜｜. 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：B　因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（－），所以2＝＋＋，所以＝＋＋，所以x＝，2y＝，3z＝，解得x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝＋＋＝. 12.〔多选〕若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则下列结论正确的有（　　） A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.O，A，B，P四点共面 D.P，A，B三点共线 解析：ACD　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）＋n，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面.故选A、C、D. 13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面及其内部的点，若点P满足＝m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是　　. 解析：因为点P满足＝m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，所以A，M，N，P四点共面，又因为点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上及其围成的三角形内部的点.所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°＝. 14.（13分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线. 证明：连接GB，GD，GC1（图略）， 因为＝＋＋＝＋＋. 又G为△BC1D的重心，所以＋＋＝0， 又＝＋， ＝＋， ＝＋， 所以3＝＋＋， 即＝（＋＋）＝， 所以∥，即A1，G，C三点共线. 15.（15分）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m. （1）试用向量，，表示； （2）G，B，P，D四点共面，求m的值. 解：（1）如图，连接BG. 因为＝－，＝， 所以＝－. 因为＝＋， 所以＝＋－＝－＋＋. 因为＝，所以＝， 所以＝（－＋＋）＝－＋＋. 又因为＝－， 所以＝－＋＋. （2）因为＝m， 所以＝m＝－＋＋. 因为＝－＋＝－＋， 所以＝（1－）＋（－1）·＋. 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－＝0，m＝，即m的值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $