3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过课前预习的诊断分析题衔接椭圆等旧知，课中探究分轨迹问题、方程求解、定义应用、实际应用四个层次，构建从概念到实践的学习支架。 其亮点在于以数学思维为核心，通过定义辨析题（如不同条件下轨迹判断）培养推理能力，结合拱桥截面等实际案例引导用数学眼光观察现实，素养小结系统归纳方法，助力学生用数学语言表达规律，提升解题与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

3.2 双曲线 1 3.2.1 双曲线及其标准方程 2 探究点一 与双曲线有关的轨迹问题 探究点二 双曲线的标准方程 探究点三 双曲线定义的应用 探究点四 双曲线的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双 曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程. 3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程，能说出标准 方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一 些相关问题. 4 知识点一 双曲线的定义 1.双曲线的定义:平面内与两个定点, 的距离的____________等于 非零常数（___________）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双 曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的______. 差的绝对值 小于 焦距 2.双曲线上动点的集合表示： ____________________________ _______________,焦距常用____表示. ， 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知两定点，，满足条件 的 动点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] , ，但条件中没有绝对值，故动点 的轨迹是双曲线的一支. 课 前 预 习 6 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）已知两定点，，满足条件 的 动点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] ,， 动点 的轨迹是两条射线. 课 前 预 习 7 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）已知两定点，，满足条件 的 动点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] ，, 动点 的轨迹不存在. 课 前 预 习 8 2.说出教材P118探究中左右两图分别涉及的点、线、变量以及不变量. 解：左图中点，,，，线段,,，，变化的是点 , 线段,,不变的是点,,线段和， . 右图中点，,，，线段,,，，变化的是点 ,线段,,不变的是点,,线段差， . 课 前 预 习 9 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 _ ______________________ _ ______________________ 焦点坐标 ____________ ____________ , , 课 前 预 习 10 ,, 的关 系 _____________ 续表 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则 的取 值范围是 .( ) √ [解析] 依题意有解得 . 课 前 预 习 12 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）在双曲线的标准方程中,,,的关系是 .( ) × [解析] 在双曲线的标准方程中，,,的关系是 . （3）双曲线的焦点在 轴上.( ) × [解析] 根据双曲线的标准方程的特点,可知双曲线 的焦点在 轴上. 课 前 预 习 13 探究点一 与双曲线有关的轨迹问题 例1（1）（多选题）已知， ，则下列说法中错误的 是( ) A.平面内到， 两点的距离相等的点的轨迹是直线 B.平面内到， 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.平面内到， 两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支 D.平面内到， 两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆 √ √ [解析] 设所求动点为，由题意可得 . 对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段 的垂直平分线，A中说法正确； 课 中 探 究 14 对于B选项，，所以点 的轨迹为线段 ，B中说法错误； 对于C选项，由题意可知，，所以点的轨迹是以， 为焦点的双曲线的一支，C中说法正确； 对于D选项，设 ，则 ，可得，所以满足条件的点 不存在，D中说法错误.故选 . 课 中 探 究 15 （2）[2026·吉林油田高级中学高二期中]与圆 及圆 都外切的圆的圆心在( ) A.双曲线的一支上 B.一个椭圆上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 [解析] 设动圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为 ，半径为1，圆，即圆 的圆心为，半径为2. 依题意得， ，则，所以点 的轨迹是双曲线的一支.故选A. √ 课 中 探 究 16 变式 已知点 的坐标满足， 则动点 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 [解析] 设点，点，方程的几何意义是点 到两定点，的距离之差为，即， 动点 的轨迹是双曲线的一支.故选D. √ 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： （1）列出等量关系，化简得到方程； （2）寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程. 2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意： （1）双曲线的焦点所在的坐标轴； （2）检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支. 课 中 探 究 18 探究点二 双曲线的标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1），经过点 ； 解：当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为，把点 的坐标代入，得 ，不符合题意； 当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为，把点的坐标代入，得 ， 所以所求双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 19 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （2）经过点， ； 解：设双曲线的方程为 ，因为双曲线经过点， ，所以解得 所以所求双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 20 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （3）与双曲线有相同的焦点且过点 . 解：依题意，设所求双曲线的方程为 . 因为两双曲线有相同的焦点，所以 ，又点在双曲线 上，所以 . 由①②可得 ，故所求双曲线的方程为 . 课 中 探 究 21 变式 [2026·河南九师联盟高二质检] 求适合下列条件的双曲线的标 准方程. （1）焦点为，，且经过点 ； 解：因为双曲线的焦点为， ，所以焦点在轴上，且 . 设双曲线的标准方程为 因为双曲线经过点，所以 ， 又，所以 所以双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 22 变式 [2026·河南九师联盟高二质检] 求适合下列条件的双曲线的标 准方程. （2）焦点在轴上，经过点， . 解：因为焦点在 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 ， 又双曲线经过点， ，所以解得 所以双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 双曲线标准方程的两种求法： （1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的<m></m>，<m></m>，<m></m>，再写出双曲 线的标准方程. （2）待定系数法：首先设出双曲线的标准方程为<m></m>或 <m></m>，然后根据条件求出待定的系数，代入方 程即可. 特别地，若双曲线的焦点的位置不明确，则应注意分类讨论，也可 以设双曲线方程为<m></m>，注意标明条件<m></m>. 课 中 探 究 24 探究点三 双曲线定义的应用 例3（1）[2026·四川绵阳中学高二检测]已知为双曲线 上 一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则 的 值为( ) A.4 B.7 C. D.11 [解析] 由双曲线的定义可知 ，即，解得或 （舍去）.故选D. √ 课 中 探 究 25 （2）[2026·北京师大附中高二期中] 双曲线 的 左、右焦点分别为，，已知点在双曲线 上，且满足 ，，则 ___. 2 [解析] 如图，由题可得 可得 又 ，所以， 所以 ，即， 故，可得 . 课 中 探 究 26 变式（1）已知双曲线上一点到左焦点 的距离为10， 则的中点到坐标原点 的距离为( ) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 [解析] 设双曲线的右焦点为，连接，，易知是 的中位线，， ， ，或， 或 ，故选A. √ 课 中 探 究 27 （2）设，分别是双曲线 的左、右焦点， 过作轴的垂线与交于，两点，若 为正三角形，则 的面积为( ) A. B.4 C. D.3 [解析] 设，为正三角形， ， 又双曲线， 根据双曲线的定义得 ，，即等边三角形的边长为4， 故 的面积为 .故选A. √ 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 双曲线定义的两种应用 （1）求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐 标，则根据两点间的距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的 距离，则根据<m></m>求解，注意对所求结果进行必要的 验证<m></m>负数应该舍去，且所求距离应该不小于<m></m>. 课 中 探 究 29 （2）双曲线中的焦点三角形问题 在双曲线上的点与其两个焦点，连接而成的焦点三角形 中，令，， ，因为 ，所 以有 ①定义： ； ②余弦定理： ； ③面积公式： . 一般地，在 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决. 课 中 探 究 30 探究点四 双曲线的实际应用 例4 如图所示，地在地的正东方向4千米处， 地在地的北偏东 方向2千米处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点到的距离比到 的距离远 2千米.现要在曲线上选一处 建一座码头，向 ，两地转运货物.经测算，从到，两地修建公路的费用都是 万元/千米，求修建这两条公路的最低总费用. 课 中 探 究 31 解：以的中点为原点，的方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则 ，， . 连接， ， 点 的轨迹是双曲线 的右支． ，当且仅当，， 三点共线时等号成立， 修建这两条公路的最低总费用为 万元. 课 中 探 究 32 变式 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的 一部分，当拱顶 到水面的距离为4米时，水面宽 为 米，则当水面宽度为米时，拱顶 到水面的距 离为( ) A.4米 B. 米 C.米 D. 米 √ [解析] 根据题意得， ，故，解得 ，所以双曲线的方程为. 课 中 探 究 33 当水面宽度为 米时，取，则，所以拱顶 到水面的距离为 米.故选D. 课 中 探 究 34 ［素养小结］ 利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方 法：在实际问题中寻找几何量之间的关系，得到几何关系式，验证 满足双曲线的定义. 检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在，判断是双曲线的一支 还是两支. 课 中 探 究 35 课后习题 36 1.双曲线 的焦距为( ) A.6 B.3 C.2 D.1 [解析] ，故焦距为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.焦点分别为，，且经过点 的双曲线的标准方程为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由双曲线的定义知，，所以 . 又，所以 ，因此所求双曲线的标准方程为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 因为方程表示焦点在 轴上的双曲线，所以解得， 所以实数的取值范围为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 4.点的坐标满足 ，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设，，因为点 的坐标满足 ,所以，故点到定点 与到定点的距离的差为8， 则点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 又，，所以 ，故的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 5.[2026·江西赣州高二期中]已知,分别是双曲线 的 左、右焦点，是上一点，且，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 [解析] 由题意得解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 6.（多选题）[2025·温州十校高二期中]在平面直角坐标系中，已知点 ,，点 是平面内的一个动点，则下列说法正确的是( ) A.若，则点 的轨迹是双曲线 B.若，则点 的轨迹是椭圆 C.若，则点 的轨迹是一条直线 D.若，则点 的轨迹是圆 √ √ √ [解析] 因为,，所以 . 对于A，因为，所以点是以， 为焦点的双曲线，故A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 对于B，因为，所以点 的轨迹为线段，故B错误； 对于C，设，则 ，，因为 ，所以，整理得，所以点 的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D，因为，即 ，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 7.[2026·衡水二中高二调研] 已知双曲线 的焦点分别为 ，，则 ___. 8 [解析] 由题知，双曲线的焦点分别为， ，所以双曲线的焦点在轴上，，且，所以 ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 8.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点 在双 曲线上，且，则 ___. 9 [解析] 由双曲线的方程可知，则 ，所以. 因为点在双曲线 上，所以，又，所以 ，解得或. 当 时，，不符合题意，舍去；当 时，，符合题意. 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）,，焦点在 轴上； 解：由，，得 ，又双曲线的焦点在轴上，所以所求双曲线的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9.（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程. （2）与双曲线有公共焦点,且过点 ； 解：双曲线的焦点为 ,设所求双曲线的标准方程为,则 . 将点的坐标代入双曲线的方程,可得 , 由①②可得,,故所求双曲线的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 9.（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程. （3）过两点, . 解：设所求双曲线的方程为 ，由点, 在双曲线上，得解得 所以所求双曲线的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 10.若，分别是双曲线的左、右焦点，点 在该双曲 线上，且是等腰三角形，则 的周长为( ) A.17 B.16或12 C.20 D.16或20 √ [解析] 双曲线的标准方程为，所以 ，，. 因为点在该双曲线上，且 是等腰三角形，所以或. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 不妨设点 在双曲线的右支上，当 时，根据双曲线的定义有，所以 的周长为； 当 时，根据双曲线的定义有，所以 的周长为 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 11.设双曲线与椭圆有公共焦点，.若双曲线 经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则 的余 弦值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设双曲线的方程为 ，由题得,，所以，则双曲线方程为，不妨设 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得 解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 又 ，所以根据余弦定理，得 . 故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 12.（多选题）已知双曲线 的左、右顶点分 别是，，左、右焦点分别是，，是双曲线上异于， 的任意一点，给出下列结论，其中正确的是( ) A. B.直线，的斜率之积等于定值 C.使得为等腰三角形的点 有且仅有四个 D.若，则 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 由题意，点是双曲线上异于， 的任意一点，设. 对于A，由双曲线的定义知， ，所以A正确. 对于B，由， ，可得，又 ，所以，可得，所以B正确. 对于C，若 在第一象限，则当，时， 为等腰三角形，当，时， 也为等腰三角形， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 故点在第一象限且使得为等腰三角形的点 有两个．同理 可得，点在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点 也各有两个.因此使得为等腰三角形的点 共有八个，所以C错误． 对于D，由，得 ，从而，所以D正确．故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2025·台州高二期中] 已知双曲线的方程为 ，如图，点 的坐标为，是圆上的点，点 在双曲线 的右支上，则 的最小值为_________. [解析] 取，则点， 分别是双曲线的左、右焦点， 由双曲线的定义，得 ， ， 又是圆 上的点，圆的圆心为 ，半径为1，故 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 从而，当点，在线段 上时取等号，即的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 14.（15分）已知点与点，是动点，且直线与 的斜率之积等于 . （1）求动点 的轨迹方程; 解：设点的坐标为 . 由题意得，化简得 ， 故动点的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14.（15分）已知点与点，是动点，且直线与 的斜率之积等于 . （2）若点为原点，在第二象限，当时，求点 的坐标. 解： ， , 又由（1）知 , 由①②得 又点在第二象限， 点的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15.从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形， 如图②所示，篮球的外形形状为圆 ，将篮球表面的粘合线看成坐标 轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆 的周长 八等分，，视所在直线为 轴，则双曲线 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 如图，依题意，设双曲线的方程为，因为，所以 ，由题意知圆 的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，所以双曲线与圆 在第 一象限内的交点为， 故 ，解得，所以双曲线的方程为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.（15分）已知椭圆 与双曲线 的一个交点为，且有公共的焦点， ，若 ，求证： . 证明：如图所示，设， ， . 根据双曲线的定义得 ， ， ，即， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 另一方面，根据椭圆的定义得 ， ， ，即 ， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $