3.2.1 双曲线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 【情境1】回顾椭圆的定义：平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹. 双曲线概念的探究 一 【新知学习 合作探究】 提问：那么，到两定点距离的差等于常数的点的轨迹又是什么呢？ 一 【情境2】 分析双曲线的形成过程，分组讨论，类比椭圆，合作探究. 双曲线概念的探究 一 总结规律： 双曲线概念的探究 双曲线定义 二 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距(记为2c) 注意： （1）定义中的“绝对值”三字不能省掉，明确两支曲线； （2）条件0＜2a＜2c. 双曲线标准方程的推导 三 【探究1】类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 写点的集合 建系设点 以 所在直线为x轴，以线段 的垂直平分线为y轴，建系.设 . 双曲线就是集合 . 双曲线标准方程的推导 列式 化简 证明 说明： 曲线上任意一点的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点都在曲线上，这个方程叫做双曲线的标准方程. 三 双曲线标准方程的推导 类比椭圆焦点在y轴上的标准方程，焦点在y轴上双曲线的标准方程是什么？ 只要将方程中的x，y互换即可，即 . 总结：双曲线的两种标准方程形式的比较： （1）方程用“－”连接； （2）分母是a2，b2，(a＞0，b＞0)，但a，b大小不定； （3）c2=a2+b2； （4）如果x2的系数是正的，焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，焦点在y轴上. 三 例1.已知双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：根据双曲线的焦点在 x 轴上， 设它的标准方程为：=1(a＞0，b＞0). ∵2a = 6，c=5 ∴a = 3， c = 5 ∴b2 = 52－32 =16 所以所求双曲线的标准方程为=1. 【辨析概念 例题互动】 例2.已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s. 且声速为340 m/s.求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：先根据题意判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上. 【辨析概念 例题互动】 解：如图所示，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合. 设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)， 则|PA|－|PB|=340×2=680， 即2a=680，a=340. 又|AB|=800， 所以2c=800，c=400，b2=c2－a2=44400. 因为|PA|－ |PB|=340×2=680＞0， 所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x＞340. 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为=1(x＞340). 【辨析概念 例题互动】 O y x 提示：再增设一个观测点C，利用B，C(或A，C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 提问：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢? 【辨析概念 例题互动】 【辨析概念 例题互动】 【探究2】如图，点A，B的坐标分别为(－5，0)， (5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？ M O B A y x 分析：若设点M(x，y)， 则直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此，可以求出x，y之间的关系，即得到点m的轨迹方程. 结论：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个正常数，这个动点的轨迹就是去掉两个顶点的双曲线. 【归纳小结 提高认识】 标准方程 图形 关系 焦点位置 在 轴上 在 轴上 焦点坐标 O y x x y O 教材 P127 习题3.2 第1题，第2题、第5题、第9题. 【布置作业 检测目标】 Lavf58.29.100 常数（小于）， 点的轨迹为双曲线； 常数（等于），点的轨迹为两条射线； 常数（大于），点的轨迹为不存在； ，点的轨迹为线段的垂直平分线； $$