3.2.1双曲线及其标准方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学设计 2026-2027学年  3.2.1双曲线及其标准方程- 高中数学人教A版选择性必修 第一册

——人教A版高中数学选择性必修第一册 3.2.1 教学设计

一、教材与学情分析

（一）教材分析

本节是选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”第2节“双曲线”的第1课时（教材第118页至第121页），是继椭圆之后运用坐标法研究圆锥曲线的又一范例。教材先借助信息技术探究两圆交点随动点运动形成的轨迹，引出双曲线的定义——平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹；再类比椭圆标准方程的推导过程，经历建系、设点、列式、化简，得到焦点分别在轴上、轴上的两个标准方程；最后通过例题示范定义法与待定系数法，并以声速时差定位问题体现双曲线的应用价值。

本节内容承上启下：上一节椭圆的定义与标准方程为双曲线的研究提供了类比源，本节建立的双曲线定义与标准方程，又为下一节研究双曲线的简单几何性质奠定基础。教学重点不在公式的机械记忆，而在经历“建系—设点—列式—化简—检验”的坐标法全过程，体会数形结合与类比推理的思想方法。

（二）学情分析

学生已在3.1节学习了椭圆的定义与标准方程，初步掌握了用坐标法研究曲线的基本步骤，具备一定的运算求解能力。但双曲线标准方程的推导需要两次平方去根号，运算量大、字母多，学生容易在移项与平方处出错；对定义中“距离的差的绝对值”理解不深，容易忽略“常数小于且不等于零”的限制；焦点在轴与轴上的两种标准方程也容易混淆，需要通过对比辨析强化。

二、教学目标

依据课程标准和学情，围绕数学学科核心素养设置本课教学目标：

1. 数学抽象：经历拉链实验与信息技术探究，抽象出双曲线的定义，能准确说出“距离的差的绝对值”“非零常数”“小于”等关键要素的含义。

2. 逻辑推理：类比椭圆标准方程的推导过程，经历“建系—设点—列式—化简”的完整推理得到双曲线的标准方程，体会类比思想与坐标法。

3. 数学运算：能根据焦点位置与已知条件，选用定义法或待定系数法求双曲线的标准方程，并能利用定义和标准方程解决简单的实际问题。

4. 直观想象：能根据标准方程判断焦点的位置，画出双曲线的草图，建立方程与图形之间的对应关系。

三、教学重难点

1. 教学重点：双曲线的定义；双曲线的两种标准方程及其结构特征。

2. 教学难点：双曲线标准方程的推导（两次平方去根号）；对常数的取值与轨迹形状关系的理解。

四、教学准备

多媒体课件（含两圆交点轨迹的信息技术演示动画）、拉链教具与细绳、坐标纸、双曲线定义示意图（图1）、标准方程推导流程卡、课堂练习卡。

五、教学过程

（一）环节一：情境导入（约4分钟）

【设计意图】从生活与科技中的双曲线切入，让学生感受“双曲线就在身边”，激发学习兴趣，明确本节任务。

师：同学们，发电厂大型冷却塔的纵截面轮廓、一些艺术造型的塔身都是双曲线形；在海上救援中，通过两个监听站接收信号的时差可以确定遇险船只的位置，其背后也是双曲线。上一节我们研究了椭圆——平面内与两个定点的距离的和等于常数的

点的轨迹。一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？这节课我们就来研究双曲线及其标准方程。

【教学细节】此处不急于给出定义，先让学生“看形”，感受双曲线的外形特征，再带着“和换成差，轨迹会变成什么”的悬念进入探究，与椭圆的研究方法自然衔接。

（二）环节二：双曲线的定义（约10分钟）

【设计意图】通过实验探究与信息技术演示，经历“现象观察—提出猜想—归纳定义”的过程，抽象出双曲线的定义，并辨析常数与焦距的大小关系对轨迹的影响。

师：（演示拉链实验）把拉链拉开一半，将两个固定端分别固定在两个定点上，笔尖放在拉链齿的合拢处，随着拉链缓缓拉开，笔尖画出的曲线就是双曲线的一支；交换两个固定端的位置，可以画出另一支。

师：（信息技术演示）以定点为圆心、线段的长为半径作圆，以定点为圆心、线段的长为半径作圆，当为定值时，观察两圆交点的轨迹，如图1所示。

图1  双曲线的定义示意

师：一般地，平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

【思考】设焦距为（），常数为（），师生共同讨论：当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为以或为端点的两条射线；当