2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕直线的交点坐标与距离公式展开，涵盖相交直线交点求法、两点间距离公式及坐标法、对称问题应用。课前通过预习表格对比直线位置关系与方程组解的情况，结合诊断分析题巩固旧知，为新课学习搭建支架。 其亮点在于以探究点为载体，通过坐标法证明几何问题（如例3证明长方形中线段关系）和对称问题（如例4求原点对称点），培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）。素养小结提炼方法步骤，学生能提升逻辑推理与空间想象能力，教师可借助系统流程与丰富例题提高教学效率。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 1 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 2 探究点一 相交直线的交点 探究点二 求两点间的距离 探究点三 坐标法的应用 探究点四 对称问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义，能用解方 程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.探索并掌握平面上两点间的距离公式，会分析公式中相关量的 几何意义. 3.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离. 4 知识点一 两条直线的交点 1.已知同一平面内的两条直线 , ，则 直线与 的位置关系 直线与 的公共点 方程组 的解 的情况 ______ ______ 有唯一解 重合 ________ __________ ______ 无 ______ 相交 一个 无数个 有无数解 平行 无解 课 前 预 习 5 2.直线系方程 已知直线与 相交于点 ，则过点的直线（除 外）可表示为 . 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若点在直线上，则点 的坐标一定 满足直线 的方程．( ) √ （2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一 次方程组的解．( ) √ （3）若直线与直线的交点为 ，则 . ( ) √ 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）直线系方程 不能表示 直线 .( ) √ 课 前 预 习 8 知识点二 两点间的距离公式 ,两点间的距离公式为 _______________________. （1）当直线平行于轴时, _________; （2）当直线平行于轴时, _________; （3）特别地，原点与任一点间的距离 . 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）点，点之间的距离为 .( ) × [解析] 点，点之间的距离为 . （2）点，点之间的距离为 .( ) × [解析] 点，点之间的距离为 . 课 前 预 习 10 2.（1）已知平面上的两点,,直线的斜率为 ,则 可怎样表示? 解：, . （2）已知平面上的两点,,直线的斜率为 ,如何 用含的关系式表示， 两点间的距离? 解： . 课 前 预 习 11 探究点一 相交直线的交点 例1（1）分别判断下列直线是否相交.若相交，求出它们的交点；若 不相交，说明它们的位置关系. ①和 ； 解：解方程组得 故直线和相交，交点为 . ②和 ； 解：方程组有无数个解，这表明直线和 有无数 个公共点，故和 重合. 课 中 探 究 12 例1（1）分别判断下列直线是否相交.若相交，求出它们的交点；若 不相交，说明它们的位置关系. ③和 . 解：方程组无解，这表明直线和 没有公共点， 故 . 课 中 探 究 13 （2）求过直线和直线的交点 且与直线垂直的直线 的方程． 解：方法一：由解得 ． 直线与直线垂直且直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 直线的方程为 ，即 . 课 中 探 究 14 方法二：根据题意设直线的方程为 ， 即 ， 直线与直线垂直， 直线 的斜率存在且不为0， ，解得， 直线 的方程为 ，即 . 课 中 探 究 15 变式（1）（多选题）下列说法中正确的有( ) A.直线和的交点坐标为 B.直线和的交点坐标为 C.直线和 没有交点 D.直线，, 两两相交 √ √ √ 课 中 探 究 16 [解析] 对于A，直线， ，两直线重合， 有无数个交点，故A错误； 对于B，由解得 所以与的交点坐标为 ， 故B正确； 对于C，直线， ，两直线的斜率相等且 两直线不重合，故与平行，所以与 没有交点，故C正确； 对于D，直线，,，可知直线, , 的斜率分别为,1, ，斜率都不相等，故三条直线两两相交， 故D正确.故选 . 课 中 探 究 17 （2）若直线经过两直线 和 的交点，则 ___. 4 [解析] 由解得 则两直线 和的交点为 ，由题意得 , . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ （1）求两相交直线交点坐标的关键是解两直线方程组成的二元一次 方程组. （2）求过两条直线交点的直线方程的两种方法： ①先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程； ②利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解. 课 中 探 究 19 拓展 （多选题）[2026·青岛实验高级中学高二检测]若三条直线 ，， 不能围 成三角形，则 的值可以为( ) A.0 B. C.1 D.4 √ √ √ 课 中 探 究 20 [解析] ，，，， 若，， 不能围成三角形，则可分以下两种情况： ，， 交于同一点， 由解得即； ，， 中有两条直线平行，当时，，可得， 当 时，，可得. 综上，,1,.故选 . 课 中 探 究 21 探究点二 求两点间的距离 例2 已知四边形的四个顶点分别为， ， ， ，判断这个四边形的形状． 解：因为，，， ， 所以， ， 则四边形 为平行四边形． 又因为，所以 ， 所以平行四边形 为矩形. 因为，，所以 ， 所以矩形为正方形，故四边形 为正方形. 课 中 探 究 22 变式 已知的三个顶点分别是，， . （1）判断 的形状； 解：因为，， ， 所以 ， ， ， 所以， ， 所以 是等腰直角三角形. 课 中 探 究 23 变式 已知的三个顶点分别是，， . （2）求 的面积. 解：由（1）得 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ （1）判断四边形的形状时，若两组对边均平行，则是平行四边形， 进而再判断是否为矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，则是梯 形，进而再判断是否为等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行， 则为一般四边形． （2）利用两点间的距离公式求出线段的长度，再根据各边的长度判 断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类 讨论思想的应用． 课 中 探 究 25 拓展 [2026·安徽潜山高二质检] 函数 的最大值为_____. [解析] 表示点到点 的距 离与到点的距离之差. 易知当点为线段的延长线与 轴的交点时，距离之差取得最大值， 最大值为, 两点间的距离， 又，所以函数的最大值为 . 课 中 探 究 26 探究点三 坐标法的应用 例3 用坐标法证明：若四边形是长方形，则对直线 上任意 一点，等式 成立． 课 中 探 究 27 证明：以为坐标原点，边所在直线为轴， 边所 在直线为 轴，建立平面直角坐标系如图所示， 设,,则，，， ， 直线的方程为 . 设，则 ， ，所以 ， 所以 . 课 中 探 究 变式 如图，和是在直线 同侧的两个等边三角形.试 用坐标法证明： . 课 中 探 究 29 证明：如图所示，以点为坐标原点， 所在直 线为 轴建立平面直角坐标系． 设和的边长分别为和 ， 则，，， ， 所以 ， ， 所以，所以 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 （1）建立坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关代数运算； （3）把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 课 中 探 究 31 探究点四 对称问题 例4（1）原点关于直线 的对称点的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设原点关于直线的对称点为 ， 直线的斜率，直线与直线 垂 直，，即， 又线段的中点 在直线上，， 由①②解得,， 的坐标为 .故选D. √ 课 中 探 究 32 （2）直线关于点 对称的直线方程为___________ ____. [解析] 设直线关于点对称的直线为，在 上任 取一点，则点关于点对称的点的坐标为 ， 由题意可知点在直线 上，故 ，整理可得 ，故所求直线 方程为 . 课 中 探 究 33 变式 已知点与点关于直线 对称，则 的值为____． [解析] 因为，，所以的中点坐标为 . 因为点与点关于直线对称， 所以的中点 在直线上， 所以，即 . 课 中 探 究 34 ［素养小结］ 对称问题: 1.中心对称 （1）点关于点的对称．若点<m></m>与点<m></m>关于点<m></m>对称， 则由中点坐标公式得<m></m> （2）直线关于点的对称，其主要解题方法是：在已知直线上任取两 点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由 两点坐标求出直线方程． 课 中 探 究 35 2.轴对称 （1）若点关于直线对称的点为 ， 则 （2）直线关于直线对称 求直线关于直线 对称的 直线的方程的方法：转化为点关于直线对称，在上任取两点 和 ，求出，关于的对称点，再由两点坐标求出 的方程． 课 中 探 究 36 拓展 已知直线经过直线,的交点 ， 且，两点到直线 的距离相等. （1）求直线 的一般式方程； 解：由解得所以 . ①当直线与直线平行时，因为直线的斜率 ， 所以直线的方程为，即 ； ②当直线过线段的中点时，因为线段的中点坐标为，且 过点，所以直线垂直于轴，故直线的方程为 ，即 . 综上所述，直线的一般式方程为或 . 课 中 探 究 37 拓展 已知直线经过直线,的交点 ， 且，两点到直线 的距离相等. （2）若点，在直线的同侧，且为直线 上的一个动点，求 的最小值. 课 中 探 究 38 解：因为点，在直线的同侧，所以直线 的方 程为 ，如图. 设点关于直线的对称点为，连接 ， ， 则解得即点 . ，当且仅当，， 三点共线时等号成立，故 的最小值为 . 课 中 探 究 39 课后习题 40 1.直线和直线 的交点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由解得所以直线 和直线的交点坐标为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 2.[2026·河北开滦一中高二期中]直线 （ 为任意实数）过定点( ) A. B. C. D. [解析] 由 整理得 ,令解得 所以 直线（ 为任意实数）过定点 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 3.已知的顶点为，，，则 边上的中线 长为( ) A.4 B.5 C. D. [解析] 设边的中点为，因为，，所以 . 又,所以边上的中线长为 . 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 4.[2026·玉林一中高二月考]已知一束光线从点 发出后被直线 反射，若反射光线过点 ，则反射光线所在直线的 方程为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 设点关于直线的对称点为 ，则 解得因此反射光线所在直线过点 ， 又反射光线过点 ，所以反射光线所在直线的方程为 ，即 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知四边形的四个顶点为，，， ， 则四边形 的形状是( ) A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 [解析] 依题意得 ， ， ， ，所以 ，所以四边形是菱形. 又直线 的斜率，直线的斜率，所以 ， 则，所以四边形 是正方形.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 6.（多选题）等腰直角三角形的直角顶点为，若点 的坐 标为，则点 的坐标可能是( ) A. B. C. D. [解析] 设，根据题意可得 即 解得 或所以或.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 7.已知点，点在轴上，若，则点 的坐标为 ______________. 或 [解析] 设,因为点 ，所以 ,整理得,解得 或,所以点的坐标为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 8.直线经过原点，且经过两条直线, 的 交点，则直线 的方程为___________. [解析] 方法一：由解得 所以两条直线的交点为，所以直线的斜率为 ，则 直线的方程为，即 . 方法二：设直线的方程为, ，因 为直线经过原点，所以 ，解得 ，所以直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.（13分）判断下列各组直线的位置关系，若相交，则求出交点坐标. （1）， ； 解：设直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为， . 因为，，，，所以 . （2）， ； 解： 因为，，，所以与 相交. 由解得 所以交点坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 9.（13分）判断下列各组直线的位置关系，若相交，则求出交点坐标. （3）， ； 解： 由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在 轴上 的截距不相等，所以 . （4）， . 解： 因为，，所以与 重合. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 10.在中，已知, , ，则 边上的高所在直线的方程是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 设边上的高所在直线的斜率为，则 解得 ， 由得， 边上的高所在直线的 方程为，即 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知点,,在直线上，则 的 最小值为( ) A. B. C.3 D. [解析] 如图，设关于直线 的对称点为 ，则解得则 ， 所以 ，当且仅 当为与直线 的交点时等号成立.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 12.（多选题）已知直线， ， 把平面分成6个部分，则实数 的值可能为 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 当三条直线中有两条直线平行且另一条直线与这两条直线均 相交或者三条直线交于一点时，三条直线可把平面分成6个部分. 因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线, 一定相交， 由解得故与的交点坐标为. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 当 时，直线与轴垂直，其方程为，不经过点， 且不与或 平行，不满足要求. 当时，直线的斜率为，当直线与直线 平行时，，解 得，此时直线，， 把平面分成6个部分，满足要求； 当直线与直线平行时，，解得 ，此时 直线，，把平面分成6个部分，满足要求； 当直线过直线, 的交点时，，解得， 此时直线，， 把平面分成6个部分，满足要求. 综上，的值可能为，， .故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知两条直线和 的交点坐标 为，则过两点， 的直线方程为_____ ___________. [解析] 因为两条直线和 的交点 坐标为，所以且 ，所以 ，在直线 上，所以过两 点，的直线方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 14.（15分）已知直线 .求： （1）直线关于点对称的直线 的方程； 解：设为 上任意一点， 则关于点的对称点为，且 在直 线上，，整理得直线 的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 14.（15分）已知直线 .求： （2）直线关于直线的对称直线 的方程. 解：在直线上取一点 ， 则关于直线的对称点必在 上. 设，则解得 即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 设与的交点为，则由解得即 ，则 经过点 ， 直线的方程为，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.（多选题）已知点，点在轴上，点 在直线 上，则下列结论正确的是( ) A.的周长的最小值是 B.当的周长取得最小值时，直线的斜率是 C.当取得最小值时，的最小值是 D.当取得最小值时，的面积是 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 设点关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为 ， 则，.连接，交轴于点，交直线于点 .当 点,分别与点,重合时， 的周长取得最小值，且最小值为 ，A正确. 当 的周长取得最小值时，点的坐标为，则直线的斜率 是 ，B正确. 当取得最小值时，轴，则 ，从而 ，C错误. 当 取得最小值时，轴，则，当取得最小值时， ，则，此时，的面积是，D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.（15分）在中，，是边上异于， 的任意一 点，求证: . 证明：如图，以边的中点为原点， 边所在的直线 为轴，建立平面直角坐标系，则在 轴上. 设，，， ， 则 ， ， ， ， ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 $