第2章 2.3.2 两点间的距离公式-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦两点间距离公式及坐标法应用，通过问题链导入，从数轴两点距离过渡到平面内特殊（平行坐标轴）与一般情况，结合勾股定理推导公式，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是问题驱动探究与核心素养融合，如通过典例一题多解（判断三角形形状）培养逻辑推理，坐标法证明几何问题发展数学表达，小结表格化梳理任务与方法，助力学生系统掌握知识，教师可高效落实教学目标。

2.3.2　两点间的距离公式 　 第二章 直线和圆的方程 单元学习七　直线的交点坐标与距离公式 任务一　两点间的距离公式 1 任务二　两点间距离公式的应用 2 任务三　坐标法在平面几何中的应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数学 运算的核心素养． 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题，提升逻辑推理、数 学运算的核心素养． 任务一　两点间的距离公式 返回 (阅读教材P72－73，完成探究问题1、2) 问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|． 问题导思 问题2.已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？ 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图所示，在Rt △P1QP2中， |P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2| ＝ ． 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝． 1.两点间的距离公式 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝． 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|． (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|． 新知构建 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成｜P1P2｜＝的形式？ 提示：可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分. 微思考 (1)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则＝ A．2　　 B．3　　 C．　　 D． 典例 1 √ ｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝2.故选A. (2)已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则BC边上中线的长为______． 2 设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得所以D(4，－2)，所以｜AD｜＝＝＝2. 规律方法 计算两点间距离的方法 1.对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝ ． 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 对点练1.(1)在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是 A．2　　 B．3　　 C．　　 D． √ 由中点坐标公式可得，BC边的中点D(，6).由两点间的距离公式得｜AD｜＝＝.故选C. (2)已知点A(2，1)，B(3，－4)，在y轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则|PA|的值为____． 设所求点为P(0，y)，则｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝.由｜PA｜＝｜PB｜得y2－2y＋5＝y2＋8y＋25，解得y＝－2，所以所求点P(0，－2)，｜PA｜＝＝. 返回 任务二　两点间距离公式的应用 返回 角度1　利用两点间的距离公式求参数 (链教材P74练习T2)已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值. 解：因为点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5， 所以＝5，即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝. 典例 2 规律方法 若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．　　 对点练2.已知A，B，C三点，且＝，则a的值为 A．　　 B．－　　 C．－　　 D．－ √ ＝，则＝，解得a＝－.故选D. 角度2　判断三角形的形状 (一题多解)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解：法一：因为｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， 又｜BC｜＝＝2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜， 所以△ABC是等腰直角三角形. 典例 3 法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB. 又｜AC｜＝＝2， ｜AB｜＝＝2， 所以｜AC｜＝｜AB｜. 所以△ABC是等腰直角三角形. 规律方法 　　判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断． 对点练3.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)， B(1，2)，C(3，－4)． (1)试判断△ABC的形状； 解：根据两点间的距离公式，得 ｜AB｜＝＝， ｜BC｜＝＝2， ｜CA｜＝＝5. 因为()2＋(2)2＝(5)2，即｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜CA｜2， 所以△ABC是直角三角形. (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长. 解：因为B(1，2)，C(3，－4)，所以BC的中点D(2，－1)， 所以BC边上中线的长｜AD｜＝＝2. 返回 任务三　坐标法在平面几何中的应用 返回 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点．求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|． 证明：如图所示，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 典例 4 设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)， －b＜m＜b． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0 －a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， 所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， 所以|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|． 规律方法 利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将对称中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 对点练4.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：． 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示. 设正方形边长为a，则A(0，a)，C，设点P的坐标为 . kAP＝－，lPQ：y＝①， lCQ：y＝x－a②. 联立①②可得Q(或利用三角形全等求得点Q坐标). 因为＝，＝， 所以＝. 返回 课堂小结 任务再现 1.两点间的距离公式及应用.2.利用坐标法解决平面几何问题 方法提炼 待定系数法、坐标法 易错警示 依据距离公式求参数易漏解；坐标系建立不适当 随堂评价 返回 1.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于 A．　　 B．4　　 C．5　　 D． √ ｜MN｜＝＝5.故选C. 2.已知A，B，C，则△ABC是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 √ 因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故选A. 3.已知等腰三角形ABC的顶点是A(3，0)，|BC|＝4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为______． 2 ｜BD｜＝ ｜BC｜＝2，｜AD｜＝ ＝2 ，所以在Rt△ADB中，｜AB｜＝ ＝2 . 4.已知点A(－2，－2)，B(a，2)且｜AB｜＝5，则a的值为　　　　. 1或－5 因为｜AB｜＝5，所以＝5，所以a＝1或a＝－5. 返回 课时分层评价 返回 1.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则＝ A．　　 B．1 C．　　 D．2 √ 由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A(0，).令y＝0，得x＝1，设B.所以＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是 A．3x－y－8＝0　　 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0　　 D．3x＋y＋2＝0 √ 设P(x，y)，则＝，即3x＋y＋4＝0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为 A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B(－1，).由两点间的距离公式，得｜AB｜＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知点A，B，C，D，则以A，B，C，D为顶点的四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 √ 由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，＝＝8＝＝，即lAD∥lBC，＝，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)对于，下列说法正确的是 A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 √ √ √ 由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标可以是 A．(－4，5)　　 B．(－1，2)　　 C．(－3，4)　　 D．(1，－5) √ √ 设所求点的坐标为(x0，y0)，则x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得所以所求点的坐标为(－1，2)或(－3，4).故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________________． (－1，0)或(9，0) 设点P的坐标为(a，0)，则｜PA｜＝＝13，即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是________． 3＋6 由两点间的距离公式及题意得｜AB｜＝＝3， ｜BC｜＝＝3，｜CA｜＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝3＋6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值为 ____． 由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝≥＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系．证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B(b，c)，C(a，0)，由题意得A(－a，0)． |AB|2＋|BC|2－(2a)2＝ 2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是 A．－　　 B．　　 C．－　　 D． √ 因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以｜AB｜ ＝ ＝＝ ＝，所以当a＝时，｜AB｜取得最小值.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则2＋2的值为 A．5　　 B． C．　　 D．与m的取值有关 √ 直线x＋my－m＝0过定点A，直线mx－y－m＋3＝0过定点B，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故＋＝＝12＋22＝5.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝　　. 10 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b).所以｜PA｜2＝9a2＋b2，｜PB｜2＝a2＋9b2，｜PC｜2＝a2＋b2，于是｜PA｜2＋｜PB｜2＝10(a2＋b2)＝10｜PC｜2，即＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2最小，并求此最小值. 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为正三角形ABC的边长为a， 所以B(－，0)，C(，0)，A(0，a). 设P(x，y)，由两点间的距离公式， 得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋(y－a)2＋(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3(y－a)2＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为(0，a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得y＝＋的最小值为 A．4 B．2 C．＋ D．3＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y＝f(x)＝＋＝＋，则f(x)可看作x轴上一点P到点A与点B的距离之和，即＋，如图所示.则可知当A，P，B三点共线时，＋取得最小值，即(＋)min＝＝＝4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(2025·江苏连云港高二期中)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值. 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB 为平行四边形，则＋＋ ＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋ ｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18. 因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 直 线 和 圆 的 方 程 返回 $