滚动习题（一） 范围1.1～1.2(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）
2026-09-10
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算、数量积及应用，课堂导入通过联系平面向量知识，对比空间向量的特殊性，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。
其亮点在于以正方体、三棱柱等几何体为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查向量分解、共线共面等核心问题，体现用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理运算。解析注重逻辑推导，培养学生空间观念与运算能力，助力教师高效教学，提升学生解决立体几何问题的能力。
内容正文：
滚动习题（一） 范围1.1～1.2
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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.下列关于空间向量的说法正确的是( )
A.零向量是任意直线的方向向量
B.方向相同的两个向量是相等向量
C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
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[解析] 对于A选项，在直线上取非零向量，把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量，A错误；
对于B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；
对于C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误；
对于D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.故选D.
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2.已知正方体的中心为 ，则下列各结论中正确的
是( )
A.与 是一对相反向量
B.与 是一对相反向量
C.与 是一对相反向量
D.与 是一对相反向量
√
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[解析] ,,, ，所以 ，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.故选C.
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3.如图所示，在三棱柱中，，若点 为棱
的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据空间向量的线性运算法则，可得 .故选D.
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4.已知空间四边形的每条边和对角线的长都为1,,分别是 ,
的中点,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ,所以 ,故选B.
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5.[2026·四川南充高级中学高二月考]在三棱锥中， 是平面
内一点，且，则 ( )
A. B.1 C.2 D.3
[解析] 因为 ，所以，
因为是平面 内一点，所以，解得 .故选B.
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6.如图，设动点 在棱长为1的正方体
的体对角线 上（不含端点）， ，
当为直角时， 的值是( )
A.2 B.1 C. D.
√
[解析] 由题设知 ，故 ，
故 ，
同理， ，
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因为 为直角，所以，故，即 ，解得（舍）或 ，故选D.
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二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.[2026·重庆万州二中高二月考]下列说法错误的是( )
A.若向量与向量共线，则
B.在平行六面体中，向量与向量 相等
C.，为空间中两个不共线的单位向量，若 ，
，则
D.若,, 为空间中不共面的三个向量，则存在不全为0的有序实数组
，使得
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[解析] 对于A，向量与向量共线，若与 共线，则，故A中说法错误；
对于B，在平行六面体 中，四边形为平行四边形，所以 ，故B中说法正确；
对于C，当时， ，此时 ，当与不垂直时， ，此时 ，故C中说法错误；
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对于D，若，则，此时,, 共面，矛盾，故，同理可得， ，故D中说法错误.故选 .
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8.平行六面体的底面 是正方形，,
, , ，则下列说法
正确的是( )
A.
B.
C.四边形的面积为
D.若，则点在平面 内
√
√
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，故B错误；
[解析] 如图，因为 ，所以
，即 ，故A正确;
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因为，所以 ，四边形为矩形，其面积 ，故C正确；
，因为，所以,,, 四点共面，即在平面内，故D正确.故选 .
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三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知空间的一个基底为{,,},, ，
且满足，则 ____.
[解析] 由题意知，存在实数 ，使得 ，则 .
又 {,,}为空间的一个基底，则 解得则 .
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10.在平行六面体中，设， ，
，，，分别是，，的中点，则
用向量，， 可表示为____________.
[解析] 如图，由题意可知
，
且 ，
所以 .
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11.两条异面直线，所成的角为 ，在直线上取点， ，在直
线上取点，，使得，且.已知 ，
，，则 __.
[解析] 如图，两条异面直线， 所成的角为.
，， ,
，，
又 ， ，，, 或 ，
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，解得或 （舍去）.
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四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）[2026·无锡高二阶段练] 已知,, 是空间中不共面的向
量，,, .
（1）若,,三点共线，求, 的值；
解：因为,,三点共线，所以 ，由题可知 ， ，
所以解得故， .
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12.（13分）[2026·无锡高二阶段练] 已知,, 是空间中不共面的向
量，,, .
（2）若,,,四点共面，求 的值.
解：因为,,,四点共面，所以 ，则 ，所以 得 .
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13.（15分）[2026·山东滕州二中高二月考] 如图，在空间四边形
中，，分别为， 的中点，点为的重心，
设 ，， .
（1）试用向量，，表示向量 ；
解： .
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13.（15分）[2026·山东滕州二中高二月考] 如图，在空间四边形
中，，分别为，的中点，点为 的重心，设
，， .
（2）若，，
，求 的值.
解：由题意知， ，
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所以 .
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14.（15分）如图，在平行六面体中，，， 分别
在，，上，且，， ．
（1）求证： ；
证明：在平行六面体 中，，， ，，， ，
又， , ，
又，不重合， .
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14.（15分）如图，在平行六面体中，
，，分别在 ，，上，且，
， ．
（2）若底面和侧面 都是正方形，且二面角
的大小为 ，，是的中点，求 的长度．
解：由题意可知， ，平面 平面， 为二面角的平面角，即 ，
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，， 则，即 ．
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