第1章 空间向量与立体几何 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量的概念运算及在立体几何中的应用，通过知识网络将空间向量的线性运算、数量积、坐标表示与平行垂直关系、空间角距离等核心内容串联，构建完整知识体系。 其亮点在于“素养提升”板块分题型设计例题与变式训练，如用空间向量证明垂直（例4）、求空间角（例5）等，结合高考真题培养数学思维与模型观念。分层练习让不同学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

本章总结提升 1 题型一 空间向量的概念及运算 题型二 用空间向量证明空间位置关系 题型三 用空间向量求空间角和距离 题型四 空间中的综合问题 2 知 识 网 络 3 题型一 空间向量的概念及运算 ［类型总述］（1）空间向量的有关概念;（2）空间向量的加减运算、 数乘运算;（3）空间向量的数量积运算. 素 养 提 升 4 例1 （多选题）下列关于空间向量的说法中正确的有( ) A.将空间所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一 个球面 B.若非零向量,,满足,，则 C.与一个平面的一个法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D.空间向量可以比较大小，空间向量的模也可以比较大小 √ √ √ 素 养 提 升 5 [解析] 对于A，由单位向量的定义知单位向量是模为1的向量，所以 将空间所有的单位向量平移到同一个起点，它们的终点构成一个球 面，故A正确； 对于B，若非零向量,,满足,，则 ，故B正确； 对于C，由平面的法向量的定义可知，与一个平面的一个法向量共线 的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数，可以 比较大小，故D错误.故选 . 素 养 提 升 6 例2（1）给出下列说法：①如果向量, 与任何向量都不能构成空间 的一个基底，那么,的关系是不共线；②如果,,, 为空间中不 同的四点，且向量,,不能构成空间的一个基底，那么点, , ,一定共面；③若{,,}是空间的一个基底，则{,, }也 是空间的一个基底.其中正确的说法是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [解析] 如果向量， 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么 ， 的关系是共线，所以①中说法不正确. 易知②③中说法正确.故选C. √ 素 养 提 升 7 （2）[2026·毕节高二检测]我国古代数学名著《九章算术》中，将底 面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，已知 四棱锥是“阳马”， 平面，且 ，若 ，，，则 ( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 8 [解析] .故选C. 素 养 提 升 9 例3（1）如图，在正方体 中，为的中点，则 ( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 10 [解析] 由题意知, , ，且 ， 所以 .故选C. 素 养 提 升 11 （2）[2026·汕头高二阶段考]已知正四棱锥 的所有棱长均 为1，为底面内一点，且 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 12 [解析] 由，得 . 由，且,,,四点共面，得 ， 解得，所以 ，所以 .故选B. 素 养 提 升 题型二 用空间向量证明空间位置关系 ［类型总述］（1）证明垂直关系;（2）证明平行关系. 例4 [2026·福州外国语学校高二月考] 如图，在四 棱锥中， 底面， ， ，，，为 上一点，且 . 素 养 提 升 14 （1）求证： 平面 ； 证明：因为 底面，, 平面 ， 所以, ， 又，所以,, 两两垂直， 素 养 提 升 15 如图，以为原点，，， 的方向分别为 轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ， ， 所以， ， ， 素 养 提 升 16 因为，所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以，，即 ， ， 又，， 平面 ，所以 平面 . 素 养 提 升 例4 [2026·福州外国语学校高二月考] 如图，在四 棱锥中， 底面， ， ，，，为 上一点，且 . （2）求证：平面 . 素 养 提 升 18 证明： 由（1）可得 ，则 ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则即 令，得， ， 则平面的一个法向量为 . 因为，所以 ， 又 平面，所以平面 . 素 养 提 升 19 变式 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中，， ， 平面，， ， . （1）求证： . 证明：在底面内过作， 交于 ， 则，， . 素 养 提 升 20 以为原点，，， 所在直线分别 为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，则， ， . 设，则 ， ， ,， . 素 养 提 升 21 变式 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中， ， ， 平面，，， . （2）设，若平面，求 的值. 素 养 提 升 22 解：由（1）可知， ， ， ， . ， 设平面的法向量为 ， ，则 素 养 提 升 23 则即令 ， 则 . 平面， ， ， 又，，故 的值为 . 素 养 提 升 题型三 用空间向量求空间角和距离 ［类型总述］（1）求空间角;（2）求距离. 例5 在正方体中，为的中点，则直线 与 所成的角为( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 25 [解析] 方法一：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则,,,,所以 ， ,所以， , 又直线与所成的角为锐角，所以直线与所成的角为 ， 故选D. 素 养 提 升 方法二：如图，连接，易知,所以与 所成的角即 为与所成的角. 连接,，易知 为等边三角形，且为的中点， 故，所以直线与所成的角为 ，故选D. 素 养 提 升 变式 如图，在正四棱柱 中，，， 点，分别是， 的中点. （1）求直线与直线 所成角的正弦值； 素 养 提 升 28 解：在正四棱柱中， 因为 平面 ，且 ， 所以，，两两垂直，以为原点， , ,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐 标系，如图所示， 则,,,, ， 所以 . 因为点是的中点，所以 ，所以 ， 素 养 提 升 29 因为, ，所以 , ， 故直线与直线所成角的正弦值为 . 素 养 提 升 变式 如图，在正四棱柱 中，，， 点，分别是， 的中点. （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 素 养 提 升 31 解：由（1）知， ，所以 ，， . 设平面的法向量为 ， 则即 令，则,， 所以平面 的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， 素 养 提 升 32 则即 令，则,， 所以平面 的一个法向量为 . 因为, ， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 素 养 提 升 例6 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图，四棱锥 中， 底面 ， ，， . （1）若，证明：平面 ； 素 养 提 升 34 证明： 平面， 平面 ， . 又，,, 平面 ， 平面， 平面 ， . 在中，， . ，，，四点共面， ， 又 平面， 平面 ， 平面 . 素 养 提 升 35 例6 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图，四棱锥 中， 底面 ， ，， . （2）若，且二面角 的正弦 值为,求 . 素 养 提 升 36 解：方法一：以为原点，以，所在 直线分别为, 轴，以过点且与平面 垂直的直线为 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系. 设, 则,,, , . 素 养 提 升 37 , , 设平面的法向量为 ， 则即 不妨令 ,则,, 故 . , , 素 养 提 升 设平面的法向量为 , 则即不妨令, 则, ，故 . 二面角的正弦值为, 平面与平面 夹角的余弦值为 ， ,，可得, . 素 养 提 升 方法二：如图所示，过点作于， 过点作于 ，连接 . 平面， 平面 ， 平面 平面 ， 又平面 平面，， 平面 . 又 平面， ， 又，， 平面，得 ， 根据二面角的定义可知，即为二面角 的平面角，即 ， 素 养 提 升 40 又为锐角， . 设，则 ， 由等面积法可得， ， 则， 又 为等腰直角三角形，， 故，解得 ，即 . 素 养 提 升 变式 [2026·池州高二期中] 如图，在直三棱柱 中，，，， 分别为 ,, 的中点. （1）证明：平面 ； 证明：在直三棱柱中，易得， 因为 ，分别为，的中点，所以，所以 ， 又因为 平面， 平面，所以平面 . 素 养 提 升 42 变式 [2026·池州高二期中] 如图，在直三棱柱 中， ，，，分别为,, 的中点. （2）若，求直线到平面 的距离. 素 养 提 升 43 解：因为三棱柱 为直三 棱柱，且 ， 所以，，两两垂直，以 为原 点，,,所在直线分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为 ，所以 ,,, ， 可得, . 设平面的法向量为 ， 素 养 提 升 44 则取 ，则 ,，所以 ， 因为，所以点 到平面 的距离 . 由（1）知， 因为 平面， 平面 ， 所以平面 ， 素 养 提 升 所以直线到平面 的距离即为点 到平面的距离，故直线 到平 面的距离为 . 素 养 提 升 题型四 空间中的综合问题 ［类型总述］（1）探索性问题；（2）折叠问题；（3）与球的综合. 例7 在如图所示的正四棱锥 中， ，，为侧棱 上的点，且 . （1）求证： . 素 养 提 升 47 证明：连接，交于点，连接 ，如图. 因为四棱锥 是正四棱锥， 所以 平面 ， 又 平面，所以 . 在正方形中， ， 又,， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面,所以 . 素 养 提 升 48 例7 在如图所示的正四棱锥 中， ，，为侧棱 上的点，且 . （2）求平面与平面 夹角的正弦值. 素 养 提 升 49 解：易知,,两两垂直，以为原点， , ,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 如图， 易知 ， ， 所以 , ,,, ， 素 养 提 升 50 则， ， ， ， . 因为 ，所以 ，故 . 设平面的法向量为 ， 素 养 提 升 则即 令，则, ， 故为平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 ， 则即令 ，则 ， 素 养 提 升 故为平面 的一个法向量， 所以， . 设平面与平面的夹角为 ， 则, ， 所以平面与平面夹角的正弦值为 . 素 养 提 升 例7 在如图所示的正四棱锥 中， ，，为侧棱 上的点，且 . （3）侧棱上是否存在一点，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理 由. 素 养 提 升 54 解：假设上存在点，使得平面 . 设， ， 因为， ，所以 因为平面，所以 ， 即，解得 ， 所以，所以,故侧棱 上存在一点 ，使得平面，且 . . 素 养 提 升 55 例8 [2025· 全国二卷] 如图，在四边形中， ， ,为的中点，点在上，, ， .将四边形沿翻折至四边形 ，使得面 与面所成的二面角为 . 素 养 提 升 56 （1）证明：平面 . 证明：由题意知， 又 平面, 平面， 所以 平面 ， 同理可得平面, 又, , 平面 ， 所以平面平面 ， 又 平面,所以平面 . 素 养 提 升 57 例8 [2025· 全国二卷] 如图，在四边形 中，， ,为 的中点，点在上， , ，.将四边形 沿 （2）求面与面 所成的二面角的正弦值. 翻折至四边形，使得面与面 所成的二面角为 . 素 养 提 升 58 解：方法一：由题意知 且 ，可知即为面 与面 所成二面角的平面角，故 . 不妨设，在平面内，过点作的垂线，垂足为 ，易 得 平面，，, . 过点作的平行线，交于点，易得,,两两垂直，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 素 养 提 升 59 则，, , ,, ，可得 , ， 设平面的法向量为 ， 则取 , 则 . 素 养 提 升 , ，设平面 的法向量为 ，则 取 ,则,, . 设面与面所成的二面角为 ， 则，故 ， 即面与面 所成的二面角的正弦 值为 . 素 养 提 升 方法二：因为面与面所成的二面角为 , 且 ，所以 . 设，则,，由余弦定理得 ，故 ，所以 . 因为，，，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 . 素 养 提 升 62 设，连接,设， 取的中点 ，连接，，如图， 则即为面与面 所成二面角的平面角， 易知,,，所以 ， 所以， 即面与面 所成的二面角的正弦值为 . 素 养 提 升 例9 [2025· 全国一卷] 如图所示的四棱锥 中， 平面， , . （1）证明：平面 平面 . 证明：因为 平面， 平面，所以 ， 又，， 平面， 平面 ，所 以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 素 养 提 升 64 例9 [2025· 全国一卷] 如图所示的四棱锥中， 平面 ，, . （2）若，,,,,, 四点在同一个 球面上，设该球的球心为 . （i）证明：在平面 上； 素 养 提 升 65 证明： 因为 平面， 平面 ，所以 ， 由（1）得，， 则以 为坐标原点，,，所在直线 分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由图可知, ，，，， . 素 养 提 升 66 方法一：连接，设 的外接圆的 圆心为， 易知的中垂线的方程为 ， 的中垂线的方程为 ，联立 可得. 因为 , ，所以 , 此时与重合，所以在平面 上. 素 养 提 升 67 方法二：设球心，球的半径为 , 则 所以 素 养 提 升 解得所以,所以在平面 上. 素 养 提 升 （ii）求直线与直线 所成的角的余弦值. 解：易知, ， 设直线与直线所成的角为 ， 则 ， 故直线与直线所成的角的余弦值为 . 素 养 提 升 70 $