滚动习题（二） 范围1.3～1.4(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖向量垂直、投影向量、平面法向量、距离与角度计算等核心知识点，通过1.3向量运算过渡到1.4空间向量应用，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点是题型多样且解析详尽，注重逻辑推理（数学思维），通过建立坐标系、计算法向量培养空间观念（数学眼光），用向量语言精准表达几何关系（数学语言）。如正方体中异面直线垂直判断、点到平面距离计算实例，助力学生巩固知识提升能力，教师可直接用于习题课教学提高效率。

滚动习题（二） 范围1.3~1.4 1 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.设向量，，且，则 等于( ) A. B.1 C. D.2 [解析] ，，且 ， ，解得 .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.空间向量在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. [解析] 空间向量在 上的投影向量为 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 3.已知平面 过点，它的一个法向量为， 为平 面 内一点，则点 的坐标不可能是( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 [解析] 由题意可知.对于A， ，因为 ，所以点在平面 内，故点 的坐标 可能为； 对于B， ，因为，所以 点在平面 内，故点 的坐标可能为； 对于C， ，因为，所以 点不在平面 内，故点的坐标不可能为； 对于D， ，因为，所以 点在平面 内，故点 的坐标可能为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4.如图，在正方体中，， 分别是，的中点，则直线与 的位 置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.异面不垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 [解析] 以为原点，，， 所在直线分别 为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 设正方体 的棱长为2，则 ，，， ， ， ， ，， 又 平面， 平面， 平面， 且， 直线与 异面垂直.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 5.[2026·浙江强基联盟高二期中]如图，在直三棱 柱中， ， ，，分别是棱， 上 的点，且，，则点 到平面 的距离为( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 [解析] 由题意知，，， 两两垂直，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ，， ，， ， ，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 设平面的法向量为 ， 则即 令，得，，故 . 设点到平面的距离为，则 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[2026·山东百师联盟高二联考]如图，在四棱锥 中，平面 平面，为正三角形，四边形 为梯形， ，，，，，则直线 与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 [解析] 如图，取的中点，的中点 ，连接 ，，因为为正三角形，所以 ， 又平面 平面，平面 平面 ， 平面，所以 平面. 因为，分别为，的中点，所以 ， 又，所以. 以为原点，，， 所在直线分别为，，轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则 ，，，， 故 ，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 设平面 的 法向量为，则 即 令，得平面 的一个法 向量为,,2. 设直线与平面 所成的角为 ，又， 所以 , .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 7.平面 经过三点，， ，向量 是平面 的一个法向量，则下列选项中正确的是 ( ) A.直线的一个方向向量为 B.线段 的长度为3 C. D.向量与向量夹角的余弦值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 [解析] 因为，，所以，则 ， 故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段 的长度为，故B错误； 向量是平面 的一个法向量，， ，则 解得则，故C正确； ， ，则向量与向量夹角的余弦值 为 ，故D正确.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[2026·邯郸五校高二期中]如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 为等边三角形，平 面 平面 ，则下列说法正确的是( ) A.若直线是平面与平面的交线，则 B.直线与所成角的余弦值为 C.平面与平面的夹角的余弦值为 D.点到平面的距离为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 [解析] 对于A，因为底面是菱形，所以 ， 又 平面， 平面，所以 平面 .因为平面 平面， 平面 ， 所以，故A正确. 对于B，设的中点为 ，连接,，，因为为等边三角 形，所以 ，又平面 平面，平面 平 面， 平面 ，所以 平面. 因为底面 是边长为2的菱形， ，所以三角形是 等边三角形，所以， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 以 为原点，,,所在直线分别为, , 轴建立空间直角坐标系， 如图，则, ， , ，, 所以, ，所以 , ，故B正确. 对于C，设平面的法向量为 ，由上述分析知 , ，由得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令 ，则 ，所以.设平面 的法向量为 ，由上述分析知 , ，由得 令 ，则,，所以 . 所以, ，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D，由上述分析知，平面 的一个法向量为 ，所以点到平面 的距离为，故D正确. 故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分） 9.已知，分别是平面 ， 的一个法向量， 且 ，则 ____. [解析] 因为,分别是平面 ， 的一个法向量，且 ，所以 ，故存在实数 ，使得，即 ，故 解得故 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 10.若空间中有三点，，，则到直线 的距离为____，点到平面 的距离为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 [解析] 由题意得,，所以到直线 的距 离为. 设平面的法向量为 ，则 即令，得,，所以 ， 又，所以到平面的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.如图，在直三棱柱 中，侧棱长为2， ， ，点是的中点， 是侧面（包含边界）上的动点，要使 平 面，则线段 的长的最大值为_ __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 [解析] 以为原点，所在直线为轴， 所在直线 为轴，所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 设，， ，由题意得 ，，， ， 则，， 平面 ， 解得 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 又，，， ， 线段的长的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题（本大题共3小题,共43分） 12.（13分）[2026·西安新城区高二期中] 如图，在正 四棱柱中，点在 上，且 ， . （1）证明： 平面 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 证明：以为原点，，， 所在直线分别为 ,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， 又，, 平面， 平面 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 12.（13分）[2026·西安新城区高二期中] 如图，在正四 棱柱中，点在 上，且 ， . （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 解：由（1）知， ， 设平面的法向量为 ， 则令，则 ， ， . 由（1）知平面的一个法向量为 ， , ， 平面与平面夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 13.（15分）如图，在正方体中，,, 分别 为, 的中点. （1）求异面直线与 所成角的正弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 解：由题意，以为原点，分别以,, 所 在直线为,, 轴建立空间直角坐标系，如图， 则,,, ，则 , . 设异面直线与所成的角为 ， 则 ， 可得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 13.（15分）如图，在正方体中，,, 分别 为, 的中点. （2）求点到直线 的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 解：由（1）可知, ， 则直线 的一个单位方向向量 ， 所以点到直线的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 14.（15分）如图，在正四棱锥中， 为顶点在底面内的射影，为侧棱 的中点， 且 . （1）证明：平面 平面 ； 证明：在正四棱锥中，由为顶点 在底面内的射影， 得，且是正方形 的中心， 因为,,, 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 14.（15分）如图，在正四棱锥中， 为顶点 在底面内的射影，为侧棱的中点，且 . （2）求直线与平面 所成角的大小； 解：由（1）知，直线,, 两两垂直，设 ， 以点为原点，直线,,分别为,, 轴建立空间 直角坐标系， 则,,,, ， 所以,, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 设平面的法向量为 ， 则令，得 . 设直线与平面所成的角为 ， 则，所以 ， 所以直线与平面所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.（15分）如图，在正四棱锥中，为顶点 在底面内的 射影，为侧棱的中点，且 . （3）若，求三棱锥 的外接球的体积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 解：由（2）设三棱锥 的外接球球心为 ，则 ， 即 ，解得 , ,，所以三棱锥的外接球球心为 ， 则外接球的半径 ， 所以三棱锥 的外接球的体积 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 $