1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦用空间向量研究距离问题，涵盖点到直线、点到平面、线面距及面面距，通过课前预习的诊断分析与知识点回顾，衔接空间向量基本概念，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点是课中探究结合正方体、三棱锥等实例，通过建系与向量运算培养数学思维，课后习题分层设计发展应用意识。学生能掌握向量法解决立体几何问题，教师可借助系统流程与多样例题提升教学效率。

1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 1 第1课时 用空间向量研究距离问题 2 探究点一 点到直线的距离 探究点二 点到平面的距离 探究点三 线面距和面面距 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.借助直线的方向向量和平面的法向量，能计算点到直线的距离、 点到平面的距离，并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平 行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题，体会向量方法与综 合几何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的 作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具. 4 知识点 用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离 如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点， 是直线 外一点，设，则向量在直线上的投影向量 . 在中，由勾股定理，得_ ______________ ______________. 课 前 预 习 5 2.点到平面的距离 如图，已知平面 的法向量为，是平面 内的定点，是平面 外一点.过点作平面 的垂线，交平面 于点,则是直线 的方向 向量，且点到平面 的距离就是在直线上的投影向量 的长度. 因此_ ______ ______. 课 前 预 习 6 3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题; （2）通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之 间的距离和夹角等问题; （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）平面 外一点到平面 的距离,就是点与平面 内一点 所 成向量 的长度.( ) × （2）若直线平面 ，则直线到平面 的距离就是直线 上的点 到平面 的距离.( ) √ （3）若平面平面 ，则两平面 ， 间的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的 距离.( ) √ 课 前 预 习 8 探究点一 点到直线的距离 例1 在空间直角坐标系中，直线经过点 ，且一个方向向 量为，则点到直线 的距离为( ) A. B. C.3 D. [解析] 由题意可得与同向的单位向量 ,设 ,则,,所以点到直线 的距离 .故选D. √ 课 中 探 究 9 变式 [2026·厦门六中高二月考] 如图，在三棱 锥中，平面 平面 ， ，为的中点， 是边长为1的 等边三角形，点在棱上， . （1）证明： ； 证明：由，为的中点，得 ， 又平面 平面，平面 平面， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面，所以 . 课 中 探 究 10 变式 [2026·厦门六中高二月考] 如图，在三棱 锥中，平面 平面 ， ，为的中点， 是边长为1的 等边三角形，点在棱上， . （2）当时，求点到直线 的距离. 解：取的中点，连接， 由为等边三角形，得 ， 过作，与交于点，则 ， 课 中 探 究 11 所以直线,,两两垂直，以点为原点， , ,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 如图，则,,， 连接 ，所以, ， 所以, ，可得, ， 所以点到直线的距离为 , . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 用向量法求点到直线的距离的一般步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量 的长度； （4）利用勾股定理求解. 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 课 中 探 究 13 探究点二 点到平面的距离 例2 ［教材P35练习第2题改编］如图，在棱长为2 的正方体中，为棱 的中 点，为棱 的中点. （1）求点到直线 的距离； 课 中 探 究 14 解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 连接 . 因为正方体的棱长为2，且为棱的中点， 为棱 的中点， 所以,， ， 所以, ，所以 . 又 ， 所以点到直线的距离为 . 课 中 探 究 15 例2 ［教材P35练习第2题改编］如图，在棱长为2的正方体 中，为棱的中点，为棱 的中点. （2）求点到平面 的距离. 课 中 探 究 16 解：连接，由（1）得， ，则 ,, . 设平面的法向量为 ， 则即取 ，则 ,,所以是平面 的一个法向量， 所以到平面的距离为 . 课 中 探 究 17 变式 [2026·成都高二期中] 如图，在直三棱柱 中， ，，，点，分别为棱， 的 中点. （1）证明： ； 课 中 探 究 18 证明：如图，以为原点，，， 所在 直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系 ， 则，，， ， ， ， 故， ， 所以， ， 因为 ， 所以，则 . 课 中 探 究 19 变式 [2026·成都高二期中] 如图，在直三棱柱 中，， ， ，点，分别为棱， 的中点. （2）求点到平面 的距离. 课 中 探 究 20 解：设平面的法向量为 ， 因为， ， 所以令 ，则 ， ， 所以平面的一个法向量为 ， 又因为，所以点到平面 的距离 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 用向量法求点到平面的距离的步骤: （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系； （2）求点的坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标； （4）利用公式即可求得点到平面的距离. 课 中 探 究 22 拓展 如图，在三棱锥中， 与 均是以 为斜边的等腰直角三角形， ，，，分别是， 的中点， 线段上一动点满足 ，是否 存在， 使得点到平面的距离为 ？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 课 中 探 究 23 解：如图，取的中点，连接， ，在等腰 直角三角形中，可得， . 同理可得， ， 在中， ， 由勾股定理可知， ，即， ，，两两垂直，以为原点，分别以 ，，所在 的直线为，，轴建立空间直角坐标系 ， ，，，， ， 课 中 探 究 24 ， ， ， . 设平面的法向量为 ， 则取 ，则 . 连接，由得 ， 课 中 探 究 故 ， 由点到平面的距离 ， 解得或， 存在 ，且或 ，使 得到平面的距离为 . 课 中 探 究 探究点三 线面距和面面距 例3 如图，在四棱锥中，底面 是 边长为2的正方形， 底面，， 为的中点，为 的中点. （1）证明：直线平面 ； 证明：因为四棱锥中， 底面， , 底面，且底面 是正方形， 所以,, 两两垂直，以为原点，,,所 在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 课 中 探 究 27 则由题意可得，， ，， ， 所以，， ， 设平面的法向量为 ， 则 取可得平面 的一个法向量为 ， 因为， 平面， 所以直线平面 . 课 中 探 究 28 例3 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的正方形， 底面，，为的中点，为 的中点. （2）求直线到平面 的距离. 课 中 探 究 29 解：由于平面，所以直线 到平面 的距离等于点到平面 的距离. 又,,所以 ， 又平面的一个法向量为 ， 所以点到平面的距离 ， 故直线到平面的距离为 . 课 中 探 究 30 变式 设正方体 的棱长为2. （1）求直线到平面 的距离； 课 中 探 究 31 解：以为原点，，，所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，， ， ， 所以,, , 所以,即 , 又 平面, 平面,所以平面 ,所以直 线到平面的距离等于点到平面 的距离. 设平面的法向量为 , 课 中 探 究 32 则令,则 , 又 , 所以点到平面的距离 ， 即直线到平面的距离为 . 课 中 探 究 变式 设正方体 的棱长为2. （2）求平面与平面 的距离. 课 中 探 究 34 解：由（1）知平面,同理可得 平面,又,, 平面 , 所以平面平面,即平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离. 由（1）知，点到平面的距离 ， 所以平面与平面的距离为 . 课 中 探 究 35 ［素养小结］ （1）求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用 求点到平面的距离的方法求解即可. （2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用 求点到平面的距离的方法求解即可. 课 中 探 究 36 课后习题 37 1.已知直线的一个方向向量为，且过点 ， 则点到直线 的距离为( ) A.1 B.2 C. D.6 [解析] 由题可知，，所以点到直线 的距离为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 2.[2026·大连高二期中]两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量为 ，则两平面间的距 离是( ) A. B. C. D. [解析] 两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ， ，且两平面的一个法向量为， 两平面间 的距离 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 3.[2026·成都外国语学校高二月考]如图，在长方体 中，，，为的中点，则点到平面 的 距离为( ) A.1 B. C. D.2 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 以为原点，分别以,,所在直线为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,,, ,可得 ，， . 设 平面的法向量为 ，则 令，得, ，所 以，则点到平面 的距离 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 4.已知,,,，则异面直线与 之间的距离是（注：对于异面直线,，在直线,上分别取点， ， 使，，则称为异面直线,的公垂线， 的长度 为异面直线与 的距离）( ) A. B. C. D.2 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 由已知得,，设是 , 的公垂线的方向向量，则取 ，得 ， 又，所以异面直线与 之间的距离 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.如图，在直三棱柱 中， ，是棱 的中点，且 ，则直线到平面 的距离为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 以为原点，，， 所在直线分别 为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则，， ， ，，所以 ， ，. 设平面 的法向量为，则 即 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 令，则 . 因为 ， 所以， 又 平面，所以 平面. 设直线到平面的距离为 ， 因为，所以 ， 所以直线到平面的距离为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.（多选题）如图，在棱长为2的正方体 中，是棱 上一动点， 则到平面 的距离可能是( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 如图，以为原点，，， 所 在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐 标系，则，， ，故 ， ， 设，平面 的法向量为 ，则 取 ，则. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 连接，因为，所以 到平面 的距离. 因为 ，所以.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知平面 ，平面 的一个法向量为，平面 内 一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面 的 距离为_ __. [解析] 因为平面 ，所以直线到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离. 连接，由，，得点 到平面 的距离 ，即直线到平面 的距离为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 8.[2026·广东四校高二期中] 已知四棱锥 的底面为正方形， 平面，，点是的中点，则点 到直线 的距离是_ ___. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 连接，以为原点，，， 所在直线 分别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则,, ，所以 ,， 故 ,,,故， 所以点 到直线 的距离是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 9.（13分）在直三棱柱中， ， ， ，建立如图所示的空间直角坐 标系 . （1）求直线的单位方向向量，并求点到直线 的距离； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解：由题可知，， ，所以 ，故，所以直线 的单位方 向向量为，即或 . 又，所以，所以点到直线 的 距离 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 9.（13分）在直三棱柱中， ， ， ，建立如图所示的空间直角坐标 系 . （2）求平面的一个法向量，并求点到平面 的距离. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：设平面的法向量为 ， 由可得 令，可得 ， 故平面的一个法向量为 . 又，故 ， 所以点到平面的距离 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 10.[2026·安徽淮南二中高二期中]在四棱锥 中， ，， ，则这个四棱锥 的高 等于( ) A.26 B.13 C.2 D.1 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 设平面的法向量为 ，则 令，得 ，所以这个四棱 锥的高 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 11.[2026·贵阳一中高二月考]已知正方体 的棱长为2， 点为棱的中点，则该正方体的内切球截平面 所得截面面 积为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 设为正方体的中心，则 为正方体内切球 的球心，易知内切球的半径. 以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建 立空间直角坐标系，如图， 连接，则,, , ,则, ，. 设平面的法向量为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 则即令 ，则 ，，所以， 则到平面 的距离 ，所以截面圆的半径 ，所以截面面积 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中， 为 侧面的中心，，分别为， 的中点，则( ) A. 平面 B.平面与平面 相交 C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 如图，以为原点建立空间直角坐标系 ， 则,,,, , ,，, , 设平面的法向量为 ，易得 , ，则 令，则 , ，则. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 设平面 的法向量为， 由, ， 得 令，则，则 . 对于A，，且，与 不共线， 与平面 不垂直，故A错误； 对于B，，与不共线， 平面 与平面 相交， 故B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，连接 ，则, ，则点 到直线的距离为 ，故C正确； 对于D，连接，则，所以点 到平面的距离为 ，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，正方体的棱长为4， ， ，，分别为，，， 的中点， 则平面与平面 的距离为__. [解析] 如图所示，建立空间直角坐标系 ，则 ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 平面， 平面， 平面 . 同理可得平面. 又，， 平面， 平面平面. 设是平面 的法向量， 则 解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 取，则， ，得. 平面与平面的距离就是点 到平面的距离. ， 平面 与平面的距离 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，且 ，动点，分别在棱和线段 上运动（不含端点），且 . （1）证明：平面 . 证明：方法一：由 平面得， ，因 为四边形为正方形，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 如图①，以为原点，，， 所在直线分别 为，， 轴建立空间直角坐标系， 不妨设， 则 ，， 所以 ， 又平面的一个法向量为 ， 所以， 因为 平面，所以平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 方法二：如图②，作交于，连接 ， 因为，所以 ， 因为，，所以 ， 所以，所以 ， 又因为，所以，所以， ， 又 平面， 平面， 平面， 平面 ，所以平面，平面 ， 又,所以平面平面 ， 又因为 平面，所以平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 方法三：如图③，作交于，作 交于 ， 因为，，，所以 . 在与中， ， ， ， 所以，所以 ， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为 平面， 平面，所以平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 14.（15分）如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，且 ，动点，分别在棱和线段 上 运动（不含端点），且 . （2）当时，求点到平面 的距离. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 解：当 时，同（1）中方法一建立空间直 角坐标系，可得，， ， ，所以， ， . 设平面的法向量为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 则即令 ，则 ，，即平面 的一个法向量为 ，所以点到平面 的距离 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知正方体的棱长为1，点，分别是 ， 的中点，在正方体内部且满足 ，则 下列说法正确的是( ) A.点到直线的距离是 B.点到直线的距离为 C.平面与平面间的距离为 D.点到平面的距离为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 [解析] 如图，以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角 坐标系，则,,, ， ,,, . 对于A， ,，故点到直线 的 距离 ，故A正确. 对于B，因为 ，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 又，则 ，所以 点到直线 的距离 ，故B错误. 对于C，, , .设平面 的法向量为 ，则所以 令，得,，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以点到平面的距离 . 因为， 平面， 平面 ，所以平面，同理可得 平 面，又，, 平面 ，故平面平面 ，所以平面 与平面间的距离等于点到平面 的距离，即为，故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D， ，， ，设平面 的法向量为 ，则 即 取，则，所以平面 的一 个法向量为，则点到平面 的 距离，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图①所示，在中，,,, 分别为,的中点.将沿向平面 上方翻折至如图② 所示的位置，使得，得到四棱锥，记 的中点 为，动点在线段 上. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 （1）证明： 平面 ； 证明：因为折叠前为的中点，，所以 ， 折叠后 ，所以，所以. 因为折叠前,分别为, 的中点，所以， 又因为折叠前，所以 ， 所以折叠后，, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 以为坐标原点，，，所在直线分别为 ， ，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 , ,,, 又为 的中点，所以,所以， , . 设平面的法向量为 ， 所以即令，则 ,， 所以，所以，所以 ，所以 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 （2）求动点到 的距离的取值范围. 解：设,则,， 因为动点 在线段上，所以设, ， ，即 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 所以,连接，所以 , . 设点到的距离为，则 , ，即 ,. 令, ，则, ， 根据二次函数的性质可知，所以， 由此可知动点到 的距离的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $