第一章空间向量与立体几何 章末复习课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，涵盖空间向量的概念、运算、三大定理及向量法在平行垂直、距离、角等问题中的应用，通过知识框架将知识点串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-定理应用-题型突破”的复习策略，如通过正方体中向量线性表示、法向量求解等实例，培养学生的空间观念和运算能力。分层设计的例题与变式训练满足不同学生需求，助力教师高效开展复习教学，提升学生知识应用与问题解决能力。

章末复习 第一章 空间向量与立体几何 复习回顾 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 三大定理 向量法解立体几何 线性运算 数量积 坐标表示 概念 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直 空间角 空间距离 一、空间向量的运算 题型一、空间向量的运算 1、如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PD 的中点。将向量用 、、线性表示，其结果等于_______ + 2、如图，空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点（题图标注 G、E、F、H 各边中点）。用 线性表示： (1) (2) 第1题图 第2题图 3、已知向量 (2,1,1)，(-1,1,-2)，(2,,4) 求 (2)求 (3)求 (4), 求的值 解：=2×(−1)+1×1+1×(−2)=−2+1−2=−3 (2)∣∣== ∣∣== (4)若，则存在实数k，使得：(2,,4)=k⋅(−1,1,−2) 解得=−2 4、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则 A B C D A1 B1 C1 D1 5、已知是空间中两个互相垂直的单位向量，==且，则实数k=________ 6、已知向量(1,2,0)，(1,0,)，则在上的投影向量是___________ (，0，) 7、如图在四棱锥中底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角均为60°，M是PC中点，求。 解：记 则 PA 与 AB、AD 夹角均为 60° 题型二、共线/共面定理 ①对空间任意两个向量 a,b (b=0)：a∥b⟺ 存在唯一实数 λ，使 a=λb。 ②推论（三点共线）：空间中 A,B,C 三点共线 ⟺ 存在实数 t，使 =t+(1−t) ③若两个向量 a,b 不共线，则向量 p​ 与 a,b 共面⟺ 存在唯一有序实数对 (x,y)，使 p​=xa+yb。 ④推论（四点共面）：空间中 A,B,C,P 四点共面 ⟺ 存在实数 x,y,z 使=x+y+z 且x+y+z=1 （其中 O 为空间任意一点）等价说法：P,A,B,C 共面 ⟺ =x+y 例1：已知空间向量不共面，,,,若A、C、D三点共线则等于_____________ 2、已知O为空间中任意一点 (1)若A、B、D三点共线，=+则实数x=____________ (2)若A、B、C、D四点共面=+则实数y=____________ 3、已知空间向量=(2,0,2) =(2,1,0) =(0,2,0) 则下列说法正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B． 若，则A、B、C、E四点共面 C．四边形是矩形 B 二、空间向量证平行垂直 设直线 l,m 方向向量 u,v，平面 α,β 法向量 n1​,n2​ 线线平行：u∥v 线线垂直：u⋅v=0 线面平行：u⊥n1​（即u·n1​=0）且线不在面内 线面垂直：u∥n1​ 面面平行：n1​∥n2​ 面面垂直：n1​⋅n2​=0 1、已知直线 l₁ 的方向向量为 a = (1, 2, x)，直线 l₂ 的方向向量为 b = (, y, 1)，且 |a| = 5，l₁ ⊥ l₂，则 x + y 的值为（　　） 或 2、如图，正方形 ABCD 的边长为，四边形 BDEF 为平行四边形，BD 与 AC 交于点 G，O 为 GC 的中点，FO = 且 FO ⊥ 平面 ABCD。 （1）证明：AE ∥ 平面 BCF； （2）证明：CF ⊥ 平面 AEF。 解：(法一)因为四边形 BDEF 是平行四边形， DE ∥ BF。 又 DE ⊄ 平面 BCF，BF ⊂ 平面 BCF， DE ∥ 平面 BCF。 在正方形 ABCD 中，AD ∥ BC 又 AD ⊄ 平面 BCF，BC ⊂ 平面 BCF， AD ∥ 平面 BCF。 AD ∩ DE = D，且 AD、DE ⊂ 平面 ADE，平面 ADE ∥ 平面 BCF。 又AE ⊂ 平面 ADE， AE ∥ 平面 BCF。  解：在正方形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD，且互相平分，AC = BD = 4， AG = GB = GC = GD = 2。 O 为 GC 中点，则 GO = OC = 1。如图过点G作FO的平行线l 以 G 为坐标原点，GB 方向为 x 轴，GC 方向为 y 轴，过 G 且平行于 FO 的方向的直线l为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则各点坐标为：G(0,0,0)，B(2,0,0)，D(−2,0,0)，C(0,2,0)，A(0,−2,0)。 l O 为 GC 中点得 O(0,1,0)；又 FO ⊥ 平面 ABCD 且 FO = ， F(0,1,)。 四边形 BDEF 为平行四边形， 向量 = = (4,0,0), E 坐标为 (−4,1,)。 综上：A(0,−2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(−4,1,)， F(0,1,)。 x y z 法二向量法 2、如图，正方形 ABCD 的边长为，四边形 BDEF 为平行四边形，BD 与 AC 交于点 G，O 为 GC 的中点，FO = 且 FO ⊥ 平面 ABCD。 （1）证明：AE ∥ 平面 BCF； (1) = (−2, 1, ), = (−2, 2, 0), 设平面 BCF 的法向量为 n = (x, y, z)，则由 n ⊥ ， n ⊥ 得： n n 解得： 又AE l x y z 以 G 为坐标原点，GB 方向为 x 轴，GC 方向为 y 轴，过 G 且平行于 FO 的方向的直线l为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 则各点坐标为：G(0,0,0)，B(2,0,0)，D(−2,0,0)，C(0,2,0)，A(0,−2,0)E(−4,1,)，F(0,1,)。 解：(2)= (0, −1, )，= (0, 3, )，= (4, 0, 0)。 即CF ⊥ AF，CF ⊥ EF AF EF = F，EF平面 AEF，AF平面 AEF CF ⊥ 平面 AEF l y z 2、如图，正方形 ABCD 的边长为，四边形 BDEF 为平行四边形，BD 与 AC 交于点 G，O 为 GC 的中点，FO = 且 FO ⊥ 平面 ABCD。 （2）证明：CF ⊥ 平面 AEF。 以 G 为坐标原点，GB 方向为 x 轴，GC 方向为 y 轴，过 G 且平行于 FO 的方向的直线l为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 则各点坐标为：G(0,0,0)，B(2,0,0)，D(−2,0,0)，C(0,2,0)，A(0,−2,0)E(−4,1,)，F(0,1,)。 三、空间向量解决距离问题 点到直线的距离 点到平面的距离 PQ 1、如图在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=AB=4，D是SO的中点，N为AD中点, 则点N到平面SBC的距离是( ) 2、在空间直角坐标系中A(0,0,0)、B(1,1,1)、C(1,0,0)、D(-1,2,1)，其中A，B，C，D, 已知平面。则平面和平面之间的距离( ) 3、一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为( ) 4、如图，正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，点 E 为 BB₁ 的中点。 （1）求点 D 到平面 AD₁E 的距离； （2）求直线 BC₁ 到平面 AD₁E 的距离。 解：建立空间直角坐标系：以 D为原点，DA为 x 轴，DC为 y轴，DD₁为z轴。正方体棱长为 2，则各点坐标为：D(0,0,0)，A(2,0,0)，D₁(0,0,2)，E(2,2,1)，B(2,2,0)，C₁(0,2,2) (1) = (2, 0, 2), 设平面AD₁E 的法向量为 n = (x, y, z)，则由 n ⊥ ， n ⊥ 得： 解得： 4、如图，正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，点 E 为 BB₁ 的中点。 （2）求直线 BC₁ 到平面 AD₁E 的距离。 解：建立空间直角坐标系：以 D为原点，DA为 x 轴，DC为 y轴，DD₁为z轴。正方体棱长为 2，则各点坐标为：D(0,0,0)，A(2,0,0)，D₁(0,0,2)，E(2,2,1)，B(2,2,0)，C₁(0,2,2) (1) = 又 AD₁ ⊂ 平面 AD₁E，BC₁ ⊄ 平面 AD₁E，所以 BC₁ // 平面 AD₁E 直线 BC₁ 到平面的距离，等于点 B(2,2,0) 到平面 AD₁E 的距离。 取平面上点 A(2,0,0)，则 = (0, 2, 0)，距离为： 四、空间向量解决夹角问题 空间角类型 几何范围 计算公式（方向向量/法向量） 异面直线所成角（线线角） 直线与平面所成角（线面角） 平面与平面的夹角(面面角) 1、如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形,D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为____________ 2、在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面 △ABC 是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 a。 （1）建立空间直角坐标系，写出 A、B、A₁、C₁ 的坐标； （2）求直线 AC₁ 与侧面 ABB₁A₁ 所成的角。 解：（1）如图，取 AB 的中点 O， A₁B₁ 中点O₁，并连接 OC，OO₁ △ABC 为正三角形，O 为 AB 中点， OC ⊥ AB。 又正三棱柱中侧棱垂直于底面 ，以 O 为原点，分别以 OB、OC、OO₁所在直线为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系。 O O1 x y z 由底面边长为 a，侧棱长为 a，得 OA=OB= ，OC=a。 各点坐标如下： A(− , 0, 0)，B(, 0, 0)，A₁(− , 0, a)，C₁(0, a, a)。 2、在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面 △ABC 是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 a。 （2）求直线 AC₁ 与侧面 ABB₁A₁ 所成的角。 O O1 x y z 解：由题（1）可得： 侧面 为 平面，故它的一个法向量可取 n=(0,1,0)。 设直线 AC₁ 与侧面 ABB₁A₁ 所成的角为 θ，则 因为线面角θ∈[0, ]，所以 θ= 。 3、如图，在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长均为 1。Q 为 B₁C₁ 的中点，P 在 AA₁ 上，且 AP:AA₁ = 1:3。求平面 ABCD 与平面 BQP 所成夹角的余弦值。 解：以点 D 为原点，分别以 DA、DC、DD₁ 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。由棱长为 1，得相关各点坐标： Q 为的中点。由，得。 P 在 AA₁ 上，且。由 ，得。 = (, 0, 1), x y z 平面 ABCD 即为 z = 0 平面，其一个法向量可取 m = (0, 0, 1)。设两平面所成夹角为 θ，则 设平面 BQP 的法向量为 n = (x, y, z)，则由 n ⊥ ， n ⊥得： 解得： x y z $