1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 用空间向量研究夹角问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量研究夹角问题，涵盖异面直线、线面、面面夹角的向量求法。课前通过表格对比向量法与几何法，诊断分析纠正易错点，为课中探究搭建学习支架，衔接空间向量基本运算与几何应用。 其亮点是以例题变式为载体，用坐标法和基底法培养数学思维，通过空间坐标系建立发展数学眼光，规范运算表达强化数学语言。如正方体中求异面直线夹角步骤清晰，素养小结归纳方法，助力学生系统掌握，方便教师高效教学。

1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 1 第2课时 用空间向量研究夹角问题 2 探究点一 异面直线所成角的求法 探究点二 求直线与平面所成的角 探究点三 求平面与平面的夹角 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.知道两个相交平面夹角的含义，借助直线的方向向量和平面的 法向量，能求直线与直线、直线与平面所成的角，平面与平面的夹角. 2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题，体会向量方法与综 合几何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的 作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具. 4 知识点 空间角 设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则 空间图形 范围 向量法 几何法 异面直线 所成的角 , _ ____ 平移交于一点，解 三角形 直线与平 面所成的 角 ____ ____ ____ , _ _____ 过直线上一点作平 面的垂线，解三角 形 课 前 预 习 5 空间图形 范围 向量法 几何法 平面与平 面的夹角 ____ ____ ____ , _ ______ 作两平面的垂线， 解三角形 续表 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( ) × [解析] 当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直 线所成的角相等; 当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补. 故错误. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若平面 的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面 所 成的角为 ,则 .( ) × [解析] ，故错误. （3）二面角的大小等于平面与平面的夹角.( ) × [解析] 二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 课 前 预 习 8 探究点一 异面直线所成角的求法 例1 如图，在棱长为1的正方体中，，， 分别 是，，的中点，求与 所成角的余弦值. 课 中 探 究 9 解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得，， ， ，所以， . 设与所成的角为 ，则 , ， 即与所成角的余弦值是 . 课 中 探 究 10 变式 如图，在四棱锥中， 底面 ，底面为正方形，， 为 上一点，且，则异面直线与 所 成的角的大小为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 11 [解析] 以点为坐标原点，，， 所 在直线分别为，， 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则， ，，， 所以 ，， 所以 , ， 所以异面直线与所成的角的大小为 .故选B. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 用向量法求异面直线所成的角时，常在两异面直线<m></m>与<m></m>上分别取点 <m></m>，<m></m>和<m></m>，<m></m>，则<m></m>与<m></m>分别为直线<m></m>，<m></m>的方向向量，若异面直线 <m></m>,<m></m>所成的角为<m></m> ，则<m></m>. 课 中 探 究 13 运用向量法常有两种途径： ①基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的题目中，经常采用取 基底的方法.在由公式，求向量， 的夹角时，关键 是求出，与，一般是把， 用基向量表示出来，再求有关 的量. ②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点 的坐标，利用坐标法求异面直线所成的角，避免了传统找角或作角 的步骤，使过程变得简单. 课 中 探 究 14 探究点二 求直线与平面所成的角 例2 如图，在正方体中，点为线段 的中点， 求直线与平面 所成角的正弦值. 课 中 探 究 15 解：在正方体中，以 为原 点建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设正方体 的棱长为2，则 ，，， ， 因为点为线段的中点，所以 ， 所以， ， . 设平面的法向量为 ， 课 中 探 究 16 则即 令，则，故 . 设直线与平面所成的角为 ， 则, ， 故直线与平面所成角的正弦值为 . 课 中 探 究 变式 [2026·长春外国语学校高二月考] 如图， 在直三棱柱中，，分别为 和的中点.若, , ,，求直线 与平面 所成角的余弦值. 课 中 探 究 18 解：因为 ，所以 ，故 ，设 . 由直三棱柱的性质可得 平面，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,,, , , ， 因为，分别为和的中点，所以, ，所以 , . 因为，所以 ， 课 中 探 究 19 即，可得 ， 故， ， . 设平面的法向量为 ， 则所以令 ， 则,，所以 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为 ，可得直线 与平面 所成角的余弦值为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 向量法求直线与平面所成的角的步骤 ①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系; ②求出直线的方向向量<m></m>和平面的法向量<m></m>; ③求出夹角<m></m>,<m></m>; ④判断直线与平面所成的角<m></m> 和<m></m>,<m></m>的关系,求出角<m></m> . 课 中 探 究 21 拓展 如图，四边形与四边形 均为菱形， ，， . 课 中 探 究 22 （1）求证： 平面 ； 课 中 探 究 23 证明：因为四边形 为菱形，所以 ，设，连接 ，如图， 则为 的中点. 因为，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 . 课 中 探 究 24 拓展 如图，四边形与四边形 均为菱 形， ，， . （2）若为棱上的动点，求与平面 所 成角的正弦值的最大值. 课 中 探 究 25 解：连接，因为四边形 为菱形，所以 ， 又 ，所以 为等边三角形. 因为为的中点，所以 ， 又 平面，所以以点 为坐标原点， ，，所在直线分别为，， 轴建立如图所示的空间直角坐 标系. 因为，四边形为菱形，且 ，所以 是 边长为2的等边三角形， 课 中 探 究 26 所以 ， ， ， 同理可得 ， 所以，， ， ，，则 ， . 设平面的法向量为 ， 课 中 探 究 则取 ，可得 . 因为为棱 上的动点， 所以设，其中， 又 ， ， 所以 . 课 中 探 究 设直线与平面所成的角为 ， 则 , ， 易知当时， 取得最大值，且最大值为， 故与平面 所成角的正弦值的最大值为 . 课 中 探 究 探究点三 求平面与平面的夹角 例3 [2026·辽宁省实验中学高二期中] 如图，在 三棱柱中，侧棱 垂直于底面 ， ，， ， ，分别是棱和上的点，且 ， ，为棱 的中点. 课 中 探 究 30 （1）求直线与平面 所成角的正弦值； 课 中 探 究 31 解：因为侧棱垂直于底面 ， ，所以，， 两两垂直，以 为原点，,,所在直线分别为,, 轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则 ，，，， ， ， ， 所以，, . 设平面的法向量为 ， 课 中 探 究 32 则令，则 ， ，故， 故, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 课 中 探 究 例3 [2026·辽宁省实验中学高二期中] 如图，在 三棱柱中，侧棱 垂直于底面 ， ，， ， ，分别是棱和上的点，且 ， ，为棱 的中点. （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 课 中 探 究 34 解：设平面的法向量为 ， 由（1）得, ， 则令 ，则 ，，故 ， 由（1）知，平面 的一个法向量为 ， 因为, ， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 课 中 探 究 35 变式 如图，在棱长为2的正方体中，为 的中 点，求平面与平面 夹角的正切值. 课 中 探 究 36 解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，则,, ， 所以, . 设平面的法向量为 ， 则即令 ，则 ,，故 ， 易知平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 37 设平面与平面的夹角为 ， ， 则, ， 所以 ， 所以 ， 所以平面与平面夹角的正切值为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 设<m></m>,<m></m>分别是平面<m></m> ，<m></m> 的法向量，则向量<m></m>与<m></m>的夹角 （或其补角）就是两个平面的夹角<m></m> ，用坐标法的解题步骤如下： （1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系； （2）求法向量：在建立的空间直角坐标系下，求两个平面的法向量 <m></m>，<m></m>； （3）计算：<m></m>. 课 中 探 究 39 拓展 如图①，在中， ,,,, 分别是 ,上的点，满足且经过的重心.将沿 折起到的位置，使，得到四棱锥，设 是 的中点，如图②所示. 课 中 探 究 40 （1）求直线与平面 所成角的大小. 解：在中，因为 ，，所以 , ，则折叠后 ， 又，, 平面，所以 平面 . 因为 平面，所以，所以 ， 又，，所以，， 两两垂直， 课 中 探 究 41 故以为坐标原点，,, 所在直线分别 为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为且经过 的重心，所以 ，所以， , , 由勾股定理得 ， 故,,,, , ，所以 ,, . 设平面的法向量为 ， 课 中 探 究 42 则令 ， 则, ， 所以平面的一个法向量为 . 设直线与平面所成的角为 ， 则 , ， 又，所以 ， 所以直线与平面所成角的大小为 . 课 中 探 究 （2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面 与平面 夹角的余弦值为？若存在，求出 的长度；若不存在，请说 明理由. 课 中 探 究 44 解：假设在棱上存在点，使平面与平面 夹角的余弦 值为 . 由（1）得，,， , ， 设 ， 则 . 设平面的法向量为 ， 课 中 探 究 45 则 令，则 , ， 所以平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， 则令，则, ， 所以平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 若平面与平面夹角的余弦值为， 则 ,， 化简得 ， 解得（舍去）或， 则 ， 故在棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为 ， 此时的长度为 . 课 中 探 究 课后习题 48 1.若直线的一个方向向量与平面 的一个法向量的夹角为 ,则 直线与平面 所成的角为( ) A. B. C. D.以上均不正确 [解析] 直线的一个方向向量与平面 的一个法向量的夹角为 , 直线与平面 所成的角为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 2.已知两个平面的一个法向量分别是, ,则 这两个平面的夹角的余弦值为( ) A.或 B. C. D. [解析] 设这两个平面的夹角为 ,则, , 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 3.[2026·湖北孝感高级中学高二月考]如图，在直三 棱柱中，， ， ，，分别是， 的中点， 则异面直线与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 由题意可知，， 两两垂直，故 以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， ，所以 ， . 设异面直线与 所成的角为 ，则 , ，所以异面直线与所成角的余弦值 为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 4.已知， ，则下列说法错误的是( ) A.若，分别是直线，的方向向量，则直线， 所成的角的余 弦值是 B.若，分别是直线的方向向量与平面 的法向量，则直线 与平 面 所成的角的余弦值是 C.若，分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 的夹角的余弦 值是 D.若，分别是直线的方向向量与平面 的法向量，则直线 与平 面 所成的角的正弦值是 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 对于A，若，分别是直线，的方向向量，则直线， 所成的角的余弦值是， ，所以A中说法正确； 对于B，D，若，分别是直线的方向向量与平面 的法向量，则 直线 与平面 所成的角的正弦值是，，余弦值是 ，所以B中说法错误，D中说法正确； 对于C，若，分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 的夹角 的余弦值是， ，所以C中说法正确.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 5.如图，在正方体中，为 的 中点，则直线与平面 所成角的正弦值 为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 设正方体的棱长为2，以 为原点，建 立如图所示的空间直角坐标系，则 , ，可得 . 易知平面的一个法向量为 ， 因为,，所以 直线 与平面所成角的正弦值为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 6.（多选题）将正方形沿对角线 进行折叠，使二面角 为直二面角，则下列结论中正确的是( ) A. B. C.与平面所成的角为 D.与所成的角为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 设的中点为，连接， ，则 ,，由二面角 为直 二面角，得，故，， 两两垂直. 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，则,, ,， 故,, ,. 对于A，，即，则 ，A正确； 对于B，，则 ，B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 对于C，易 知平面的一个法向量为 ， 则 ,，设与 平面 所成的角为 ，则，故 ， 即 与平面所成的角为 ，C错误； 对于D，设与所成的角为 ，则 ,，故 ， 即与所成的角为 ，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知空间中的三点，，，则直线与 所成角的余弦值为_ ____. [解析] ，，设直线与 所成的角为 ，则, ，所以 直线与所成角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 8.如图，在长方体 中， ，，点为的中点，点 为棱 的中点，则平面与平面 夹角的余弦值 为_ ___. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 如图所示，以点为原点，,, 所 在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 则，， ，所以 ，. 设平面 的法向量为， 则 即 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 令，得，，则平面 的一 个法向量为. 易知 是平面的一个法向量， 设平面与平面 的夹角为 ， 则 ,故平面与 平面夹角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.（13分）[2026·邯郸五校高二期中] 如图，在正方体 中，是棱的中点，是棱 的中点. （1）证明： ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 证明：不妨设 ，由正方体的性质 知，，两两垂直，以 为原点，分 别以，，所在直线为，， 轴建 立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，， ，可 得， . 因为，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 9.（13分）[2026·邯郸五校高二期中] 如图，在正方体 中，是棱的中点，是棱 的中点. （2）求与平面 所成角的正弦值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 解：由（1）可得 ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则令 ，则 ，，可得 ， 则, ， 故与平面所成角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 10.如图,在四面体中, , ,,,则平面 与平面 夹角的余弦值为( ) A. B. C.1 D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 [解析] 方法一：在四面体 中,因为 ,,,所以以 为原 点,所在直线为轴,所在直线为 轴, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系, 如图所示. 设 , 则,, , 所以,. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 设平面 的法向量为 ,则 取 ,得, 由题知平面 的一个法向量为. 设平面与平面 的夹角为 , 则 , 故平面与平面夹角的余弦值为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二：如图，取的中点，连接， ， 由，， ， ，得，故， ， 则是二面角 的平面角. 由,,,得 平面， 又 平面，所以 . 设，则， ， 所以， 故平面 与平面夹角的余弦值为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 11.（多选题）在棱长为的正方体中，, 分别是 , 的中点，则下列说法正确的是( ) A.四边形 是菱形 B.异面直线与所成角的余弦值是 C.直线与平面所成角的正弦值是 D.平面与平面的夹角的正弦值是 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 [解析] 如图，以为原点，,, 所在 直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 则，， ， ,,， ， 所以， ，则 ，所以四边形 是平行四边形，由正方体的性质知 ，因此四边形 为菱形，A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 , ，则 , ， 故异面直线与所成角的余弦值是 ,B正确； 设平面 的法向量为， 则 即取，则, ， 即 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 ，所以 ,， 所以直线 与平面所成角的正弦值是 ，C错误； 易知平面 的一个法向量是， 因为 ，， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为 ， 其正弦值为，D正确．故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图是一个正方体的平面展开图， ，则在正方体中，直线 与平面 所成角的正弦值为_ __. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 [解析] 将正方体的平面展开图还原成正 方体，以点 为原点，建立如图所示的空 间直角坐标系，则， ， ，， ，所以 ， ， . 设平面 的法向量为，则 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 即令，则， ， 故，所以 ， ，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在直三棱柱中，，且 ，若异面 直线与所成的角为 ，则该三棱柱的侧面积为_________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 [解析] 如图，以点 为原点建立空间直角坐标系， 设，则，， ， ，故， . 因为异面直线与所成的角为 ，所以 ，即，可得 ， 所以该三棱柱的侧面积为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 14.（15分）[2026·赤峰四中高二期中] 如图，在五面体 中， 平面,， , . （1）求异面直线与 所成角的大小； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 解：如图所示，以为原点，，， 所在直 线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系. 设，则,,, , ,所以， ， 则, ， 所以异面直线与所成角的大小为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 14.（15分）[2026·赤峰四中高二期中] 如图，在五 面体中， 平面, ， , . （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 解：由（1）知, ， 设平面的法向量为 ， 则即 令，则，，所以 . 易知平面的一个法向量为 ， 因为, ， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 15.［教材P44习题1.4第17题改编］在空间直角坐标系中，过点 且一个法向量为的平面 的方程为 .已知平面 的方程为 ，直线是两平面与 的 交线，则直线与平面 所成角的正弦值为_ __. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 [解析] 设直线的方向向量为 ， 由题意可知平面的一个法向量为 ， 平面的一个法向量为， 平面 的一个法向量为. 因为直线是两平面 与的交线， 所以,，则 即取， 则，所以 ,， 故直线与平面 所成角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 86 16.（15分）图①是直角梯形，其中， ， ，，，，以为折痕将 折 起，使点到达的位置，且 ，如图②. （1）求证：平面 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 证明：在题图①中，连接，由题意可得 ， 因为，，所以四边形 为菱形. 在题图①中，连接，交于点，则 . 在中，，所以 . 因为，所以，所以， 又 ，且，所以 平面 . 因为 平面，所以平面 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）图①是直角梯形，其中， ， ，，，，以为折痕将 折 起，使点到达的位置，且 ，如图②. （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 解：以点 为原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，则， ， ，， ， ，所以 ， ， . 设平面的法向量为 ，则 即 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 令，则 ，， 故， 所以 ，， 故直线 与平面所成角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）图①是直角梯形，其中， ， ，，，，以为折痕将 折 起，使点到达的位置，且 ，如图②. （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求 的长度；若不存在，请说明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 92 解：假设在棱（不包括端点）上存在点， 使得平面 与平面的夹角为 . 设，， 则 ，又， 所以， . 易知 平面， 所以平面 的一个法向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 93 设平面的法向量为，则 即 可取， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以， ， 可得， 所以存在满足条件的点 ，此时， 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $