1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心内容为空间中点、直线和平面的向量表示，通过课前预习梳理位置向量、方向向量、法向量等基础知识点，结合诊断分析巩固认知，为课中探究搭建学习支架。 其亮点在于以“探究点+例题+变式”结构化设计，如通过正方体、四棱锥等实例引导学生用数学思维推理方向向量和法向量的求解，培养空间观念与运算能力。分层习题涵盖基础巩固与思维探索，帮助学生用数学语言表达空间关系，教师可依托此资料提升教学效率，学生能深化对向量工具性的理解。

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1 第1课时 空间中点、直线和平面的 向量表示 2 探究点一 确定空间中点的位置 探究点二 求空间直线的方向向量 探究点三 求平面的法向量 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.联系空间向量与立体几何，理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.结合空间几何体，能求出有关直线的方向向量和平面的法向量. 3.在空间点的向量表示的基础上，能借助直线的方向向量和平面 的法向量来刻画直线和平面. 4 知识点 空间元素的向量表示 1.空间中点的向量表示 如图，在空间中,我们取一_______作为基点,那么空间中任意一点 就 可以用向量来表示.我们把向量称为点 的__________. 定点 位置向量 课 前 预 习 5 2.空间中直线的向量表示 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 是直线 的方向向 量,在直线 上取 ，是直线 上的任意一点 _____ 空间任意直 线由直线上 一点及直线 的方向向量 唯一确定 课 前 预 习 6 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 是直线 的方向向 量,在直线 上取 ，是直线 上的任意一点， 是 空间中的任意一点 __________ 空间任意直 线由直线上 一点及直线 的方向向量 唯一确定 续表 课 前 预 习 7 3.空间中平面的向量表示 确定平面的条件 图形表示 向量表示 两条直线相交于点 ，它们 的方向向量分别为,, 为 平面 内任意一点 P是平面 内的任意一 点， 是空间中的任意一点 课 前 预 习 8 确定平面的条件 图形表示 向量表示 给定点和平面 的法向量 ，以及平面 内一点 续表 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个 方向向量.( ) × [解析] 当时，不是直线 的方向向量，故错误. （2）若，在直线上，则直线 的一个方向向量为 .( ) √ [解析] ， 与共线的非零向量都可以作为直线 的方向向量，故正确. 课 前 预 习 10 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若向量, 为同一平面的法向量，则以这两个向量为方向向 量的直线一定平行.( ) × [解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合，故错误. 课 前 预 习 11 2.平面的法向量有几个?它们的关系是怎样的? 解：平面的法向量有无数个,它们是平行向量. 课 前 预 习 12 探究点一 确定空间中点的位置 例1 已知点，，在直线 上取， 两点，位置如图所示，求满足下列条件的点和点 的 坐标. （1） ； 解：由已知，得 ，即， 则 . 设点的坐标为 ，则 ,即 , , ， 所以点的坐标为 . 课 中 探 究 13 例1 已知点，，在直线上取 ， 两点，位置如图所示，求满足下列条件的点 和点 的坐标. （2） . 解：因为，所以 ， 所以 ，则 ， 设点的坐标为,则 , 所以点的坐标为 . 课 中 探 究 14 变式 已知点,,为线段上一点且,则点 的坐标为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设,为线段上一点且, ,即 , 因此点的坐标为 .故选C. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐 标，然后列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得 点的坐标. 课 中 探 究 16 探究点二 求空间直线的方向向量 例2 ［教材P29练习第2题改编］如图所示，在平行 六面体中，设 ，， ，，，分别是， ，的中点， 以{，， }为空间的一个基底. （1）求直线 的一个方向向量； 解： ， 直线的一个方向向量为 . 课 中 探 究 17 例2 ［教材P29练习第2题改编］如图所示，在平 行六面体中，设 ，， ，，，分别是， ，的中点， 以{，， }为空间的一个基底. （2）求直线 的一个方向向量； 解： ， 直线的一个方向向量为 . 课 中 探 究 18 例2 ［教材P29练习第2题改编］如图所示，在平 行六面体中，设 ，， ，，，分别是， ，的中点， 以{，， }为空间的一个基底. （3）求直线 的一个方向向量. 解： , 直线的一个方向向量为 . 课 中 探 究 19 变式（1）[2025·成都高二期中] 经过点，点 的直线 的一个方向向量是______________________. （答案不唯一） [解析] 因为点，点 在直线上，所以直线的一个方向向量为， 当时， 也都是直线的方向向量. 课 中 探 究 20 （2）已知直线过点，且直线的一个方向向量为 ， 若点在直线上，则 ___. 3 [解析] 由题意得，所以存在实数 ，使得 ，所以所以 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点，用所给的基向量 表示以这两个点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 课 中 探 究 22 探究点三 求平面的法向量 例3 在正方体中，， 分别为棱 ， 的中点，在如图所示的空间直角坐标系 中，求： （1）平面 的一个法向量； 解：设正方体 的棱长为2，则，，， ，， . 设平面的法向量为 ， 即 令，则， ， 平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 23 例3 在正方体中，， 分别为棱 ， 的中点，在如图所示的空间直角坐标系 中，求： （2）平面 的一个法向量. 解：由（1）知， ，设平面的法向量为 ， 即令，则， ， 平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 24 变式 在四棱锥中，底面 为矩形， 平面，为的中点， ， ，建立如图所示的空间直角坐标系，求平 面 的一个法向量. 解：由题意知，， ，，因为为的中点，所以 ，所以， . 设平面的法向量为 ， 则即 令，则，，即 ，所以平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 利用待定系数法求平面的法向量的步骤: ①设向量：设平面的法向量为<m></m>. ②选向量：在平面内选取两个不共线向量<m></m>，<m></m>. ③列方程组：列出方程组<m></m>并解方程组. ④赋非零值：取其中一个为非零值（常取<m></m>）,得到平面的一个法向量. 课 中 探 究 26 课后习题 27 1.在空间直角坐标系中，坐标平面 的一个法向量可以是( ) A. B. C. D. [解析] 轴的一个方向向量， 轴的一个方向向量，设坐标平面的法向量为，则 即 令，则 ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.已知直线的一个方向向量，且直线过 和 两点，则 ( ) A.0 B.1 C. D.3 √ [解析] 因为直线过和 两点，所以， 又直线的一个方向向量 ，所以， 所以，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 所以解得所以 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知点，，，则平面 的一个法 向量是( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得，. 设平面 的法向量为，则即令 ，则，，所以平面的一个法向量为 . 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 4.[2025·泰安高二期中]已知点沿着向量 的方向 移动到点，且，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设， ，则 ， 由 得，解得或 （舍去），， ， ，，，，，即 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 5.如图，在正方体中，以 为原点建立 空间直角坐标系，为的中点， 为的中点， 则下列向量中，能作为平面 的法向量的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 设正方体的棱长为2，则 ，，， ，， 设向量是平面 的法向量，则 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 取，得，，则是平面 的一个法向量，故所求向量与 共线， 结合选项可知，A，C，D中向量均不与 共线.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体 的棱长是1，下列结论正确的是( ) A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 √ √ √ [解析] 依题意得，， ，，，，所以 ，所以直线的一个方向向量为 ，故A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 ，所以直线 的一个方向向量为，故B正确； 因为，且易知 平面 ，所以平面的一个法向量为，故C正确； 设 ，因为，所以，所以向量 不是平面的一个法向量，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.已知，若直线的一个方向向量为 ，则 ____. [解析] 根据题意，，若直线 的一个方向向量为 ，则 ， 即 ，则解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.如图，放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体 中， 是底面中心. （1）直线 的一个方向向量为______________________； （答案不唯一） [解析] 由题意可得 ，， ， . 由题图，可得，， ，， . 直线的一个方向向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 8.如图，放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体中， 是底面中心. （2）直线 的一个方向向量为_ ______________________； （答案不唯一） [解析] 直线的一个方向向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 8.如图，放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正 四面体中， 是底面中心. （3）平面 的一个法向量为________________. （答案不唯一） [解析] ， . 设为平面 的法向量，则不妨设 ，则 ， 故平面的一个法向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分）如图所示，在四面体中，，分别是 ， 的重心，设，，，以 为空间的 一个基底，求直线和 的一个方向向量. 解：取的中点，连接， ， 因为 ， 所以直线的一个方向向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 因为，所以直线的一个方向向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 10.[2025·泉州高二期中]在空间直角坐标系中，已知 ， ，，则下列点中在平面 内的为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意可得，，设平面 的法向量为，则即令 ，则. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 设，则 ，所以，所以点在平面 内，故A正确； 设，则，所以 ，所以点 不在平面内，故B错误； 设，则 ，所以，所以点不在平面 内，故C错误； 设，则，所以，所以点 不在平面 内，故D错误.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 11.已知平行六面体 中， ， .设 ，， ，则平面 的一个法向量为( ) A. B. C. D. √ [解析] 在平行六面体 中， ，， 令 ，则 ，. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 设平面 的法向量为，而， ，则 整理得令 ，得， 所以平面 的一个法向量为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 12.（多选题）已知空间中的三点，， ，则 下列说法错误的是( ) A.不是直线 的一个方向向量 B.直线的一个单位方向向量是 C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是 [解析] 对于A ，，，所以不存在实数 ，使得，则不是直线 的一个方向向量，所以A中说法正确； √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 对于B，因为，，所以直线 的单位方 向向量是或 ，所以B中说法错误； 对于C，向量， ，所以 ，所以C中说法错误； 对于D，，，设平面 的法向量是，所以 则令，可得 ，所以D中说法正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在空间直角坐标系中，已知平面 的一个法向量为 ，且平面 过点.若是平面 内的任意 一点，则点 的坐标满足的方程是__________________. [解析] 连接，由题意可知， 平面 的一个法向量是， ，即，即， 故所求点 的坐标满足的方程是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 14.（15分）如图，在四棱锥中， 底面 ，，底面为正方形， 为 棱的中点，点在棱上，问当点 在何位置时， 为平面 的一个法向量? 解：以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，， ， ， ， ， ，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 设， ，则， ， . 由题意可知，要使为平面 的一个法向量， 则需，即 ， 解得 ， 故当点为棱上靠近点的三等分点时， 为平面 的一个法向量． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.[2026·成都高二期中]阅读下面材料：在空间直角坐标系 中， 过点且一个法向量为的平面 的方程为 ，过点 且一个方向 向量为的直线的方程为 .根 据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面 与 的交线，则 的一个方向向量是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 由题可得平面的一个法向量为 ，平面的一个法向量为. 设直线 的方向向量为，则故 ，结合选项可取，可得 满足题意，故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.（15分）在四边形中（如图①）， ， ，，，分别是边，上的点，将 沿 翻折，将沿翻折，使得点与点重合（记为点 ），且 平面 平面 （如图②）. ① ② （1）求证： ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 ① 证明：平面平面，平面平面 ，平面，且 ，平面， 又平面， . ② 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 16.（15分）在四边形中（如图①）， ， ，，，分别是边，上的点，将 沿 翻折，将沿翻折，使得点与点重合（记为点 ），且 平面 平面 （如图②）. ① ② （2）设为的中点，以 为空间的一个基底，求平面 的一个法向量． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 解：，为的中点，， 又平面 平面，平面 平面，平面 ，平面 . 以为原点，，，的方向分别为 轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， ，设 ， 由，得 ，解得， . 设，由 ,得 ，解得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 ，则 ， . 设平面的法向量为 ， 则即令 ，得， 故平面 的一个法向量为，即平面 的一个法向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $