1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，涵盖位置向量、方向向量、法向量等核心知识点。课堂通过平面确定直线的条件类比空间情境，建立平面向量与空间向量的联系，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象、直观想象和数学运算核心素养，通过微思考（如方向向量唯一性）、例题解析（正方体中向量判断）及步骤化教学（求法向量六步）展开。帮助学生提升空间观念和运算能力，为教师提供系统教学资源与分层练习，助力高效教学。

第一课时　 空间中点、直线和平面的向量表示 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（直观想象）. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（数学运算）. 情境导入 　我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形 等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 目 录 CONTENTS 知识点一　空间中点、直线的向量表示 知识点二　空间中平面的向量表示 提能点　求平面的法向量 小结与自测 课时作业 知识点一　空间中点、直线的向量表示 目录 5 问题　我们知道，在平面中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条 直线l.那么在空间中，若给定一个点A和一个方向能唯一确定一条直线l 吗？ 提示：能. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 点的位置向量 如图，在空间中，取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就 可以用向量 来表示，向量 称为点P的 ⁠. 基点　 位置向量　 数学·选择性必修第一册 目录 2. 空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，取定空间中的任意 一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ ta①，将 ＝a代入①式，得 ＝ ②. ①式和②式都称为空间直线的向量表达式. 3. 空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. ＋t 　 方向向量　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 直线l的方向向量唯一吗？ 提示：不唯一，空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下 两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A （0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z＝（　D　） A. 0 B. 1 C. D. 3 解析：∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴ ＝（－1，2－y，z－ 3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设 ＝km.∴－ 1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－ ，y＝z＝ .∴y＋z＝3. D 数学·选择性必修第一册 目录 （2）〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（　AC　） A. 以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B. 以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C. 直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D. 直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） AC 数学·选择性必修第一册 目录 解析：当以A为基点时，点C1的位置向量为 ＝（1，1，1），∴A正 确；当以B为基点时，点D的位置向量为 ＝（－1，1，0），∴B不正 确；连接AD1，∵AD1∥BC1， ＝（0，1，1），∴C正确；∵ ＝ （－1，1，－1），∴直线B1D的一个方向向量为（－1，1，－1），又 （－1，1，－1）与（1，1，1）不共线，∴D不正确. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 　　求直线的方向向量的关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以 两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上， 则下列可作为直线l方向向量的是（　AB　） A. （2，2，6） B. （1，1，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） 解析：∵ ＝（1，1，3），M，N在直线l上，∴向量（1，1，3），（2，2，6）都可作为直线l的方向向量. AB 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线 上的一点，若｜ ｜＝3，则点P的坐标是 ⁠ ⁠. 解析：设P（x，y，z），则 ＝（x，y－1，z－1），因为 ∥v，所以 ＝λv，即 解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1），｜ ｜＝ ＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. （－3，1，1）或（3，1， 1） 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　空间中平面的向量表示 目录 16 问题　（1）向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ 提示：存在唯一的有序实数对（x，y），使得p＝xa＋yb. （2）如果点P在平面ABC内，则 ， ， 之间有什么关系？如何用 向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ 提示：共面；存在有序实数对（x，y），使得 ＝x ＋y . 数学·选择性必修第一册 目录 1. 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是 存在实数x，y，使 ＝ ⁠. ＋x ＋y 　 数学·选择性必修第一册 目录 2. 平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的 ⁠. 过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为 ⁠ ⁠. 法向量　 {P｜ a· ＝0}　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 （1）过空间一点作平面的法向量，法向量唯一吗？ 提示：过空间一点作平面的垂线有且只有一条，但法向量有无限多个，它 们是共线向量. （2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ 提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不 共线时能确定. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是 棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　） AC A. 平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B. 平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C. 平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D. 平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 数学·选择性必修第一册 目录 解析：对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知 ＝（0，1，0）是平面 CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知 ＝ （1，0，1）是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面 B1CD1，知 ＝（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对 于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知 ＝（0，－1，1）是平面ABC1D1的一 个法向量，故D错误.故选A、C. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法 向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式 是 ⁠. 解析：由题意得e⊥ ，则 ·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝ 0，故x＋2y－3z＝0. x＋2y－3z＝0 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 1. 如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于平 面α上任意一点B，向量 一定与向量n垂直，即 ·n＝0.从而可知平 面α的位置可由n和A唯一确定. 2. 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用 时，可以根据需要进行选取. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　（1）若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中 能作为平面α的法向量的是（　D　） A. （0，－3，1） B. （2，0，1） C. （－2，－3，1） D. （－2，3，－1） 解析：问题转化为求与n共线的一个向量.易知（2，－3，1）＝－（－2， 3，－1）.故选D. D 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A（0，－3， 1），B（k，2k，4）在平面α内，则k＝ ⁠. 解析：由A（0，－3，1），B（k，2k，4），得 ＝（k，2k＋3， 3），因为n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A，B在平面α 内，所以n⊥ ，所以n· ＝（－3，1，2）·（k，2k＋3，3）＝－ 3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 9 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　求平面的法向量 目录 27 （链接教材P28例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩 形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立 恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 数学·选择性必修第一册 目录 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的 正方向，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E（0， ， ），C（1， ，0）， 于是 ＝（0， ， ）， ＝（1， ，0）. 设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量， 数学·选择性必修第一册 目录 则 即 所以 令y＝－1，则x＝z＝ . 所以平面ACE的一个法向量为n＝（ ，－1， ）. 数学·选择性必修第一册 目录 变式　本例条件不变，求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法 向量. 解：由例3知，P（0，0，1），C（1， ，0），所以 ＝（1， ， －1）即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）， 因为D（0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）， 则 即 所以 令y＝1，则z＝ . 所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1， ）. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求平面法向量的步骤 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　在△ABC中，A（1，－1，2），B（3，3，1），C（3，1， 3），设M（x，y，z）是平面ABC内任意一点. （1）求平面ABC的一个法向量； 解：设平面ABC的法向量为n＝（a，b，c）.因为 ＝（2，4，－ 1）， ＝（2，2，1）， 所以 所以 令b＝2，则a＝－3，c＝2.所以平面ABC的一个法向量为n＝（－3，2， 2）. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求x，y，z满足的关系式. 解：因为点M（x，y，z）是平面ABC内任意一点， 所以 ⊥n，所以－3（x－1）＋2（y＋1）＋2（z－2）＝0，所以3x－ 2y－2z－1＝0. 故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 35 数学·选择性必修第一册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的. （　×　） （2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则 ·n ＝0. （　√　） （3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的两个不 共线向量唯一确定. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 〔多选〕已知A（－4，6，－1），B（4，3，2），则下列各向量中是 平面AOB（O是坐标原点）的法向量的是（　　） A. （－ ，1，9） B. （ ，1，－9） C. （－15，4，36） D. （15，4，－36） √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 解析：设平面AOB（O是坐标原点）的法向量是u＝（x，y，z），则 即 令y＝1，解得 令y＝4，解得 故u＝（ ，1，－9）或u＝（15，4，－36）. 故选B、D. 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知直线l1的方向向量a＝（2，－3，5），直线l2的方向向量b＝（－ 4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别为 ⁠. 解析：因为a∥b，a＝（2，－3，5），则存在唯一的实数λ，使得b＝ λa，即（－4，x，y）＝λ（2，－3，5）＝（2λ，－3λ，5λ），所以 解得 所以x，y的值分别是6，－10. 6，－10 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知直线l的一个方向向量为a＝（2，1，1），且过点M（1，0，－ 1）.若平面α过直线l与点N（1，2，3），则平面α的一个法向量 是 ⁠. 解析：依题意， ＝（0，2，4），显然 与a不共线，设平面α的一 个法向量为n＝（x，y，z），则 取z＝2，得y ＝－4，x＝1，因此n＝（1，－4，2）是平面α的一个法向量. （1，－4，2）（答案不唯一） 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 42 1. 若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向 量为（　　） A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （2，1，3） D. （3，2，1） 解析：　因为 ＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向 向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　　） A. ＝ ＋k B. ＝ ＋k C. ＝ ＋k D. ＝ ＋k 解析：　由点P在直线上的充要条件可得，B符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知平面α内有两点M（－2，3，1），N（2，4，1），若平面α的一个 法向量为n＝（6，a，6），则a＝（　　） A. － B. C. －24 D. 24 解析：　由题可得 ＝（4，1，0），因为平面α的一个法向量为n＝ （6，a，6），所以n⊥ ，所以n· ＝（6，a，6）·（4，1，0） ＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的 一个单位法向量是（　　） A. （1，1，1） B. （ ， ， ） C. （ ， ， ） D. （ ， ，－ ） 解析：　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）.又 ＝（0，－1， 1）， ＝（－1，1，0），则 ∴x＝y＝z， 又∵单位向量的模为1，故只有B正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3， 1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　） A. （1，－1，1） B. （1，3， ） C. （1，－3， ） D. （－1，3，－ ） 解析：对于选项A， ＝（1，0，1），则 ·n＝（1，0，1）·（3，1，2）＝5≠0，故排除A；对于选项B， ＝（1，－4， ），则 ·n＝（1，－4， ）·（3，1，2）＝0，故B正确；同理可排除C、D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕若 是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以 下各式成立的是（　　） A. ⊥ B. ⊥ C. ⊥ D. ⊥ 解析：由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1） 三点，则下列说法正确的是（　　） A. 与 是共线向量 B. 与 同向的单位向量是（ ， ，0） C. 在 方向上的投影向量是（－2，－1，0） D. 平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析： ＝（2，1，0）， ＝（－1，2，1）， ＝（－3，1，1），若 与 共线，设 ＝λ ，则 方程组无解，故 与 不共线，A错误；与 同向的单位向量是 ＝ ＝（ ， ，0），B正确； 在 方向上的投影向量是 · ＝ · ＝（－2，－1，0），C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 设平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），则 令y＝－2，则n＝（1，－2，5），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝（2，1，1）与n2＝（0， 2，1）为其法向量，α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 ⁠ .（写出一个方向向量的坐标） 解析：设直线l的方向向量为d＝（x，y，z），则 所以 令y＝1，则z＝－2，x＝ ，所以直线l的一个方向向量 为d＝（ ，1，－2）. （ ，1，－ 2）（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 已知向量b＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2， 2），若在直线AB上存在一点E，使得 ⊥b（O为原点），则点E的坐 标为 ⁠. 解析：设 ＝t ，则 ＝ ＋ ＝ ＋t ＝（－3，－1，4） ＋t（1，－1，－2）＝（－3＋t，－1－t，4－2t），因为 ⊥b，则 ·b＝0，所以－2（－3＋t）＋（－1－t）＋（4－2t）＝0，解得t＝ ，因此存在点E，使得 ⊥b，此时 ＝（－ ，－ ， ），即点E 的坐标为（－ ，－ ， ）. （－ ，－ ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1 ＝2， ＝λ .以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出平面ABB1A1的一个法向量； 解：因为x轴垂直于平面ABB1A1， 所以n1＝（1，0，0）是平面ABB1A1的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）当λ＝ 时，写出平面MCA1的一个法向量. 解：因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，λ＝ ， 所以M（3，1，0），C（0，4，0），A1（3，0，2）. 因此 ＝（－3，3，0）， ＝（0，－1，2）. 设n2＝（x，y，z）是平面MCA1的法向量，则n2⊥ ，n2⊥ . 所以 所以 取y＝2，则x＝2，z＝1. 于是n2＝（2，2，1）是平面MCA1的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. （2026·莆田质检）已知 ＝（－3，1，2），平面α的一个法向量 为n＝（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系 为（　　） A. AB⊥α B. AB⊂α C. AB与α相交但不垂直 D. AB∥α √ 解析：因为n· ＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以n⊥ .又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2， 1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为 ⁠ ⁠. 解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－ 2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y －1，z－1），则满足 即 可取x＝2，y＝1，z＝0， 故终点坐标为（2，1，0）. （2，1，0） （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－ 1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么｜ ｜的最小值 是 ⁠. 解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）.∵A（－1，0，2），B（0， 1，－1），∴ ＝（1，y，－2）， ＝（x，－1，1）.∵AD⊥BC， ∴ · ＝x－y－2＝0，即x＝y＋2.∵ ＝（－x，y，0），∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ≥ （当y＝－1时取等号）.故｜ ｜的最小值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位 置如图所示. （1）求直线DB1的一个方向向量； 解：由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以 ＝（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）点P是过点D且以 为方向向量的直线上的一点，且｜ ｜＝ 1，求点P的坐标. 解：设P（x，y，z），则 ＝（x，y，z）， 因为点P在以 为方向向量的直线上， 所以 ∥ ，设 ＝λ ，即有（x，y，z）＝λ （1，1，1），所以x＝y＝z＝λ，又因为｜ ｜＝1， 所以 ＝1，即 ＝1， 所以 ＝1，所以λ＝± ， 所以点P的坐标是（ ， ， ）或（－ ，－ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 ＝ （2，－1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）. （1）求证： 是平面ABCD的法向量； 解：证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝ 0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以 是平面ABCD的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：因为｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝2 ， · ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， 故 sin ＜ ， ＞＝ ， S▱ABCD＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $