1.2 空间向量基本定理(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖基底、正交分解及应用等核心内容。课堂导入基于平面向量基本定理，通过预习诊断分析（如判断向量共面问题）建立前后知识联系，形成从平面到空间的认知支架。 其亮点在于采用问题驱动的探究式教学，结合平行六面体向量表示、基底判断方程推理等实例，培养数学思维与推理能力。课后分层习题（基础巩固到思维探索）提升应用意识，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

1.2 空间向量基本定理 1 探究点一 空间向量的基底 探究点二 用基底表示空间向量 探究点三 空间向量基本定理的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.在平面向量基本定理的基础上，能借助投影进行向量分解，掌 握空间向量基本定理. 2.知道基底、单位正交基底，并能在选定基底下进行向量的表示 及运算. 3 知识点一 空间向量基本定理 1.分向量 如果，， 是空间三个__________的向量，那么对任意一个空间向 量，存在唯一的有序实数组，使得 .称 __________分别为向量在，， 上的分向量. 两两垂直 ,, 2.空间向量基本定理 如果三个向量,,________,那么对任意一个空间向量 ,存在______ 的有序实数组 ,使得_________________. 我们把,,叫作空间的一个______,,, 都叫作________.空间任意 三个________的向量都可以构成空间的一个基底. 不共面 唯一 基底 基向量 不共面 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.( ) × [解析] 空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示. （2）若,,为空间的一个基底,则,, 全不是零向量.( ) √ [解析] 若,,为空间的一个基底，则,,不共面，所以,, 全不是零向量. 课 前 预 习 5 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则与 不一 定共线.( ) × [解析] 由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个基底,若向量, 与任何向量都不能构成空间的一个基底, 则向量,与任何向量都共面,故与 一定共线. （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ) × [解析] 空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的. 课 前 预 习 6 知识点二 空间向量正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为___， 那么这个基底叫作单位正交基底，常用_______表示. 两两垂直 1 ,, 2.空间向量的正交分解 把一个空间向量分解为三个__________的向量,叫作把空间向量进行 正交分解. 两两垂直 课 前 预 习 7 探究点一 空间向量的基底 例1（1）已知,,,为空间的四个点，且任意三点不共线， 为空 间中一点，下列可能使,, 构成空间的一个基底的关系式是 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 8 [解析] 对于选项A,由, ，得, ,,四点共面,则,,共面，故，， 不能构成空间的一个基底; 对于选项B,D,易知,,一定共面，故 ，， 不能构成空间的一个基底.故选C. 课 中 探 究 9 （2）已知，， 是空间的一个基底，且， ， ，试判断，， 能否构成空间的一个基底． 解：假设，，共面，则存在实数 ， ，使得 ，即 . ,,是空间的一个基底，，， 不共面， 课 中 探 究 10 此方程组无解，，， 不共面， ，， 能构成空间的一个基底． 课 中 探 究 11 变式（1）已知空间四点，，，，若，， 是空间的 一个基底，则下列说法不正确的是( ) A.，，， 四点不共线 B.，，， 四点共面，但不共线 C.，，， 四点不共面 D.，，， 四点中任意三点不共线 [解析] 因为，，}是空间的一个基底，所以非零向量 ，，不共面，即，，， 四点不共面， 所以A，C，D中说法正确，B中说法不正确.故选B. √ 课 中 探 究 12 （2）（多选题）[2026·广东名校高二联考]已知,, 是空间的一个 基底， ，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是 ( ) A.,, B.,, C.,, D.,, √ √ √ [解析] 对于A，假设，，共面，则存在， ，使得 ，则 ，因为,, 不共面，所以该方程组无解， 课 中 探 究 13 假设不成立，故,, 不共面，可构成空间的一个基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以,, 共面，不能构成空间的一个基底，故B符合题意； 对于C，因为，所以,, 共面，不能构成空间的一个基底，故C符合题意； 对于D，因为 ，所以,, 共面，不能构成空间的一个基底，故D符合题意.故选 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 基底的判断思路：判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判 断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次 判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断，那么可假设 三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程，若方程的解唯 一，则三个向量共面；否则，三个向量不共面. 课 中 探 究 15 探究点二 用基底表示空间向量 例2 [2026·四川广安高二期中] 如图所示，在平行六面体 中，设, ,， ,,分别是 ,,的中点，试用,, 表示 以下各向量： （1） ； 解：是 的中点， . 课 中 探 究 16 例2 [2026·四川广安高二期中] 如图所示，在平行六面体 中，设, ,， ,,分别是 ,,的中点，试用,, 表示 以下各向量： （2） ； 解：是的中点， . 课 中 探 究 17 例2 [2026·四川广安高二期中] 如图所示，在 平行六面体 中，设 , ,，,,分别是 , ,的中点，试用,, 表示以下各向量： （3） . 解：是的中点， . 课 中 探 究 18 变式 如图所示，在四面体中，， 分 别是，的中点，，是 的两个三等分 点（点靠近点，点靠近点 ）． （1）用基底，，表示向量 ； 解：连接,则 . 课 中 探 究 19 变式 如图所示，在四面体中，， 分别 是，的中点，，是 的两个三等分点 （点靠近点，点靠近点 ）． （2）若，求实数，， 的值． 解：由题意得为 的中点，，又，，， . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 用基底表示向量的步骤: （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个 基底. （2）找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据 三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进 行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间的一个基底<m></m>,<m></m>,<m></m>可以表示出空间所有向量. 表示要彻底,结果中只能含有<m></m>,<m></m>,<m></m>,不能含有其他形式的向量. 课 中 探 究 21 探究点三 空间向量基本定理的应用 角度1 垂直平行关系的证明 例3 如图所示，在三棱柱 中，，分别 是， 上的点，且, ． 用空间向量解决如下问题： （1）若, ，证明： ; 证明：由题意得 ，且, , 所以 ,所以 ,即 . 课 中 探 究 22 例3 如图所示，在三棱柱 中，，分别是 ， 上的点，且, ． 用空间向量解决如下问题： （2）证明：平面 . 证明： 由题意得 , 所以，, 共面，又 平面,， 平面， 平面，所以平面 . 课 中 探 究 23 变式 如图，在平行六面体中，点,, 分别是 ，，的中点，请选择恰当的基底，证明：平面 平面 . 解：以,, 为空间的一个基底， 则 ， ， ， ， 课 中 探 究 24 所以， ，则，， 又 平面, 平面,所以 平面 . 同理平面，又 , , 平面，所以平面 平面 . 课 中 探 究 角度2 求两直线的夹角 例4 ［教材P14练习第2题改编］如图，在平行六面体 中，，，， ， ，求与 所成角的余弦值. 解：因为 ， 所以 ， 课 中 探 究 26 ,所以 ， 所以, ，所以与所成角的余弦值为 . 课 中 探 究 变式 已知正四面体的棱长为1,,分别是, 的中点. （1）证明: ; 证明：记,,,这三个向量不共面,则,, 为空间的一个基底,且,,,, , 所以 . 因为 , , 所以 , 所以,即 . 课 中 探 究 28 变式 已知正四面体的棱长为1,,分别是, 的中点. （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 解：因为 , 所以 . 又因为 ,所以 , 课 中 探 究 29 又因为,所以, , 故异面直线与所成角的余弦值为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确 定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的 空间向量，那么可以确定一个单位正交基底；然后根据三角形法则 及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底 （或已知基底）表示目标向量；最后把空间向量的运算转化为基向 量的运算.涉及异面直线所成的角时，可用已知向量代入公式 <m></m>求解，其中<m></m>,<m></m>用基向量表示. 课 中 探 究 31 课后习题 32 1.[2026·保定高二调研]在三棱柱 中，，，， 的中点为 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 易知 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 2.给出下列命题： ①若{,,}是空间的一个基底，与共线，，则,, 可以构 成空间的一个基底； ②若向量，则, 与任何向量都不能构成空间的一个基底； ，，，是空间四点，如果，， 不能构成空间的一 个基底，那么点，，， 共面； ④已知{,,}是空间的一个基底，若，则,, 可以构成 空间的一个基底. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 对于①，若{,,}是空间的一个基底，与共线且 ，则,,不共面，故,, 可以构成空间的一个基底，①为真命题； 对于②，若向量，则,与任何向量都共面，故， 与任何向量都不能构成空间的一个基底，②为真命题； 对于③，，， 不能构成空间的一个基底，则，，必共面，故点， ，，共面，③为真命题； 对于④，若,,共面，则, ，使，即，即，故,, 也共面，与题设矛盾，所以,,不共面，故,, 可以构成空间的一个基底，④为真命题. 综上，①②③④均为真命题.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 3.已知，,是空间的一个基底，向量 ， ，， ，若 ，则,， 的值分别为( ) A.，， B.，1， C.，1， D.，1， [解析] 由题意得， ，解得 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 4.在四面体中，点为棱上靠近 的四等分点，为 的中点，若，则 的值为 ( ) A. B.1 C. D. √ [解析] 连接，因为四面体中，点 为棱上靠近的四等分点，为 的中点，所以 ， 因为，所以 ，，，故 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 5.如图，在正方体中，， 分别 为，的中点，若，则 的长为( ) A. B. C. D. [解析] 设，，，则{,, }为空间的一个正交基底. ，故，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 6.（多选题）[2025·杭州重点中学高二期中]如图，已知正方体 中,,分别是上底面和侧面 的中心， 则下列结论正确的是( ) A.存在，使得 B.对任意,，都有 C.存在,，使得,, 共面 D.对任意,，都有,, 共面 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 对于A，，可得 ，故A选项正确； 对于C， ，则当,时，, , 共面，故C选项正确； 对于D，连接,因为， ，所以四边形为平行四边形， 对于B，如图，连接 ， ，所以 ，故B选项错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 所以,, , 都在平面内，所以对任意, ，都有, , 共面，故D选项正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知{,,}是空间的一个基底，则可以从向量,,,, , ,,, 中选出三个向量构成空间的一个基底，请你 写出一个不同于{,, }的基底：_____________________________. ,,（答案不唯一） [解析] 不共面的三个向量均可构成空间的一个基底，如,, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 8.如图所示，在正方体中， 是底面正方形的中心，是 的中点， 是的中点，则直线, 的位置关系是 ______. 垂直 [解析] 连接，，，所以，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分）如图所示,在三棱柱 中, 设,,,是的中点, 是 的中点,用基底,, 表示以下各向量： （1） ； 解：由是的中点,得,则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9.（13分）如图所示,在三棱柱 中, 设,,,是的中点, 是 的中点,用基底,, 表示以下各向量： （2） . 解：因为是的中点,所以,则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 10.如图，在正方体中，， 分别在 棱和上，且 .记 ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 设 ，因为，所以， ， . 又因为，所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 11.如图，在直三棱柱 中， ， ，则异面直线与 所成 的角是( ) A. B. C. D. √ [解析] 平面， 平面 ， 平面， , ， ，, ，又，为 的中点， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 ， ， ,, ，即异面直线与所成的角为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 12.（多选题）如图，在直四棱柱中，底面 是平行四边形，，，为与 的交点.若，， ，则下列说法正确的有 ( ) A. B. C.若，则 D.以为球心，为半径的球与侧面 的交线长为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 由题意得， ，故A正确. 因为 ， ， ，所以 ，所以 ，故B错误. 因为，所以，所以，所以，故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 取的中点 ，连接，易知 平面，且. 由球的半径为 ，知球面与平面的交线是以为圆心， 为半径的圆，如图，在正方形内，以 为圆心，2为半径作圆弧，所得的圆弧即为所求交线. 由题意可知，所以弧的长为 ，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，在三棱锥中，为 的重心， 点，分别为，的中点，点 ，分别在， 上， ，，若，， ， 四点共面，则 ___. 4 [解析] 如图所示，设的中点为，连接 , ，因为点为的重心，所以点 在线段上且 因为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 所以 ， 所以， 若，，， 四点共面，则，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）如图，在平行六面体中，， 分别为 棱，的中点，且， ， ， . （1）求线段 的长度； 解：设,, ,则 ， 所以，即线段的长度为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 14.（15分）如图，在平行六面体中，， 分别为 棱， 的中点，且， ， ， . （2）求异面直线与 夹角的余弦值. 解： ，则， 故异面直线与夹角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 15.在直三棱柱中， ， ,,, ， 若 中所有的点构成的几何体的体积为3，则与 夹角的大小为 _ ______. 或 [解析] 因为,, , ，所以 中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱体积的 （倍）， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 则 ， 又，所以,， 因为 , ，所以,或，所以与夹角的大小为 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 16.（15分）如图，在四面体中，，，，，， 分别 为棱，，，，，的中点，且 ，求 证：，， . 证明：设,, ，连接 ，则 ， 连接 ，则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 ， ， ， 则 ， ， ,则,即 ， 又,,，, ， 同理可证, ，得证. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $