1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，课前通过类比平面向量引入夹角、数量积概念及运算律，课中以四个探究点（运算、夹角、长度、垂直）构建从概念到应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于类比迁移与实例驱动，通过正四面体、正方体等几何体培养空间观念（数学眼光），例题变式强化逻辑推理与运算（数学思维），分层习题助力用数学语言表达空间关系。学生提升立体几何解题能力，教师获得结构化素养培养资源。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.2 空间向量的数量积运算 2 探究点一 空间向量的数量积运算 探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题 探究点三 利用向量的数量积解决长度问题 探究点四 利用空间向量的数量积判断或证 明垂直问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.结合立体几何与空间向量的特征，了解空间向量投影的概念. 2.类比平面向量，掌握空间向量的数量积. 3.类比平面向量并借助空间图形，知道空间向量的有关运算律， 能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 4 知识点一 空间向量的夹角 1.概念：如图,已知两个非零向量, ,在空间任取 一点,作,,则叫作向量, 的______,记作______. 夹角 , 2.夹角的取值范围：与的夹角的取值范围是______, 其中当 , 时,与方向______;当, 时,与方向______; 当 , 时,与__________.反之,若,则,或 ; 若 ,则, . 相同 相反 互相垂直 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( ) × [解析] ,表示向量,的夹角,,表示向量, 的夹角，它们之间的关系为,, . 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若向量与的夹角为 ,则直线与所成的角也为 . ( ) × [解析] 若向量与的夹角为 ，则直线与所成的角为 或 . 课 前 预 习 7 知识点二 数量积的相关概念及性质 1.概念:已知两个非零向量,,则______________叫作, 的数量积,记 作,即 ______________. 特别地,零向量与任意向量的数量积为0. , , 2.空间向量数量积的性质， （1） ___. （2）, _____. （3）, _ ____. 0 课 前 预 习 8 3.投影向量的概念 作法 图形表示 符号表示 向量 在向量 上的 投影向 量 将向量，直线 平移到同 一个平面 内，利用平面上 向量的投影,得到与向量 （直线 的方向向量）共线的 向量 _____ ________ ____ , 课 前 预 习 9 作法 图形表示 符号表示 向量 在直线 上的 投影向 量 将向量，直线 平移到同 一个平面 内，利用平面上 向量的投影,得到与向量 （直线 的方向向量）共线的 向量 _____ ________ ____ , 续表 课 前 预 习 10 作法 图形表示 符号表示 向量 在平面 上的 投影向 量 分别由向量的起点 和终点 作平面 的垂线,垂足分别 为,,得到向量 注：向量,的夹角就是向量所在直线与平面 所成的角. 续表 课 前 预 习 11 4.空间向量数量积的运算律 （1）________, . （2） _____（交换律）. （3） ___________（分配律）. 课 前 预 习 12 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于向量,,若,则一定有或 .( ) × [解析] 非零向量,垂直时也有 . （2）对于非零向量,由,可得 .( ) × [解析] 向量的数量积运算不满足消去律. 课 前 预 习 13 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若,则, 是钝角.( ) × [解析] 若,则,是钝角或, . （4）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上 的投影向量为 .( ) √ [解析] 向量在向量上的投影向量为 课 前 预 习 14 探究点一 空间向量的数量积运算 例1 ［教材P9习题1.1第4题改编］如图所示，在棱长 为1的正四面体中，，分别是， 的 中点，求： （1） ； 解：， . 课 中 探 究 15 例1 ［教材P9习题1.1第4题改编］如图所示，在棱 长为1的正四面体中，，分别是 ， 的中点，求： （2） ； 解： . 课 中 探 究 16 例1 ［教材P9习题1.1第4题改编］如图所示，在棱 长为1的正四面体中，，分别是， 的中点，求： （3） ； 解： ， . 课 中 探 究 17 例1 ［教材P9习题1.1第4题改编］如图所示，在棱 长为1的正四面体中，，分别是， 的中点，求： （4） . 解：， ， . 课 中 探 究 18 变式（1）（多选题）已知正方体 的棱长为1，则 ( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 如图，对于A， ，A正确. 对于B， ，B正确. 课 中 探 究 19 对于C， ，C错误. 对于D，因为 侧面， 侧面 ，所以，故，D错误.故选 . 课 中 探 究 20 （2）如图，正四面体的棱长为1， ，则 __. [解析] 由题可知，点是棱 的中点，所以. 又因为正四面体 的棱长为1， 所以 ， 所以 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ （1）空间向量数量积运算的两种方法: ①已知<m></m>，<m></m>的模及<m></m>与<m></m>的夹角，直接代入数量积公式计算. ②若要求的是关于<m></m>与<m></m>的多项式形式的数量积，则可以先利用数量积 的运算律将多项式展开，再利用<m></m>及数量积公式进行计算. 课 中 探 究 22 （2）在几何体中求空间向量数量积的步骤: ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数 量积. ③代入, 求解. 课 中 探 究 23 探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题 例2 如图，在空间四边形中， ， ，求与 所成的角. 解：，， ， ， . ， ，即 ，与所成的角为 . 课 中 探 究 24 变式（1）在正方体中， ，则异 面直线与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，由题意知， ， 所以 ， 设 ，则,， 所以异面直线 与所成角的余弦值为 . 课 中 探 究 25 （2）[2025·成都石室中学高二月考] 把正方形沿对角线 折 成大小为的二面角，，分别是，的中点，是 的中点， 则 的余弦值为_ ___. [解析] 如图，连接，，易知, , 所以, 不妨设正方形 的边长为2，则, , ,, 课 中 探 究 26 所以,所以 , . 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）求两个空间向量的夹角的两种方法: ①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹 角的范围. ②先求<m></m>,再利用公式<m></m>,<m></m>求<m></m>,<m></m>,最后确定<m></m>,<m></m>. 课 中 探 究 28 （2）用向量法求两直线的夹角： ①取向量:在两直线上分别取方向向量, ; ②运算:求, ; ③结论:设两直线的夹角为 ,则,,进而得到 . 课 中 探 究 29 探究点三 利用向量的数量积解决长度问题 例3 ［教材P9练习第4题改编］已知线段在平面 内，线段 ，线段，且与 所成的角是 ，如果 ， ，求， 间的距离． 解：由 ， 平面 ，得 . 如图，过点作 于点，连接， ，则 ，， ， 课 中 探 究 30 故，即，间的距离为 . 所以 ， 课 中 探 究 31 变式（1）正四面体的棱长为1，点为的中点，点为 的中点，则 的长为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，设,, ，因为正四面体 的棱长为1，所以 ，同理可得. 因为点为的中点，点为 的 中点，所以 ， 课 中 探 究 32 所以 ， 所以，所以 .故选A. 课 中 探 究 33 （2）如图,在平行四边形中,, ,沿着它 的对角线将折起,使与所成的角为 ,求此时, 间 的距离. 解：因为 ，所以，同理， . 因为与所成的角为 ，所以， 或 . 连接，因为 ， 课 中 探 究 34 所以 ， . 若, ,则，此时 ； 若, ,则，此时 . 综上，，间的距离为2或 . 课 中 探 究 35 ［素养小结］ 求两点间的距离或线段的长度的步骤: （1）将两点间的连线（或此线段）用向量表示; （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量; （3）利用<m></m>,计算出<m></m>,即得所求距离或长度. 课 中 探 究 36 探究点四 利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题 例4 如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都为 ， 点，分别是，的中点.证明： . 证明：由题意可知， ，且向量，，两两的夹角均为 ，连接 ，如图所示，则 ， ， ，即 . 课 中 探 究 37 变式 如图，正三棱柱中，底面边长为 ，侧棱长为1， 求证： . 证明：由已知得 ， . 平面，， 平面 ，，， ， . 又 是正三角形，,,, 课 中 探 究 38 , ， . 课 中 探 究 39 课后习题 40 1.对于空间任意两个非零向量,,“”是“, 为钝角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当, 时,,但,不是钝角,即由“ ”不能推出“,为钝角”, 又当,为钝角时,,所以“ ”是 “, 为钝角”的必要不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 2.在三棱锥中，若，， ，则 ( ) A. B.1 C. D.0 [解析] . 因为,,所以， ，所以 ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 3.在棱长为1的正方体中，设， ， ，则 ( ) A.2 B.0 C. D. [解析] 由正方体的性质可得，， ，故，， ，， ， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 4.如图,在正方体中,, ( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图,连接,,则,, 是的补角. , , , .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 5.三棱锥中， , ，若，则 ( ) A.1 B.2 C. D. [解析] 由题意可知，而 ， 故， ，即 ，所以， 则 ，解得，即 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.（多选题）已知正方体的棱长为 ， ，则( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 如图.对于A，因为 ，所以 ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 对于D， ，故D错误.故选 . 对于C， ，故C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 7.已知空间中不同的四点，，，，若，则 ___.（填“ ”“//”或“ ”） [解析] 由，得 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 8.[2025·深圳实验学校高二月考] 在正三棱锥中，是 的中心，，则 __. [解析] 连接，如图. 在正三棱锥中， 是的中心， 平面，又 平面， ，即 ，， ， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.（13分）［教材P10习题1.1第8题改编］如图，是 平面 的斜线， 为斜足， ，为垂足， ，且 .求证： . 证明：因为，所以 . 因为 ， ，所以，所以 . 又 ，所以，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 10.在空间四边形中，,，且 ，则 在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知， , ，则，又 ，所以， 所以在 上的投影向量为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 11.已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点 在正方体表面 上运动，则 的最小值为( ) A. B. C. D.0 √ [解析] 如图，取的中点，连接 ，由题可知 ,且， 则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为点 与正方体的面的中心连线的长，即为， 所以 的最小值为 ，故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 12.（多选题）如图，已知斜三棱柱 中， ，， ，， ，点是与 的交点，则下列结论正确 的是( ) A. B. C. D.平面 平面 √ √ √ [解析] 对于A， ， 故A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 对于B，不妨设，，，则,,, , ,由A可得，，则，则 ，故B正确； 对于C，因为 ，所以 , 故C错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 对于D，如图，取 的中点，连接，则 ，因为，为的中点，所以 ， 因为 ，所以,又， , 平面，所以 平面 , 又 平面，故平面 平面 ，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，两条异面直线，所成的角为 ，在直线， 上分别取 点，和，，使，且.已知， ， ，则公垂线段 的长为________. 或 [解析] 由已知得 或. 设 ，因为, ，而,所以. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 当 时，可得，可得； 当 时，可得，可得. 综上可知，公垂线段的长为 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 14.（15分）如图，在三棱锥 中，， ， ，点为棱 上一点， 且，点为线段 的中点. （1）求 的长度； 解：因为为线段的中点， ，所以 ， ，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 又因为 ， ，所以 ， 所以，即的长度为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）如图，在三棱锥中，， ， ，点为棱上一点，且 ， 点为线段 的中点. （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 所以, ，即异面直线与所成角的余弦值为 . 解：由（1）得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 15.（多选题）[2026·北京人大附中高二月考]给定两个不共线的空间向量与， 定义叉乘运算，规定：为同时与, 垂直的向量；,, 三个向量构成右手系（如图甲）；,.如图乙， 在长方体 中，, ，则下列说法中正确 的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 对于A，同时与, 垂直，, ，且,,构成右手系，故 成立，故A正确； 对于B，,， 则 ，故B错误； 对于C，连接， ， ， 与 共线，且方向相同， , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 与 共线，且方向相同，,与 共线，且方向 相同，则,与 共线，且方向相同，因此 ，故C正确； 对于D, ， ， 因此，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图，在矩形和矩形中， , ,,,, ，记 ,, ． （1）当时，求与 夹角的余弦值. 解：连接 ，则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 当时， ,所以 , 又 , 所以 , 又易知，所以 ，，故与 夹角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 16.（15分）如图，在矩形和矩形 中， ,,, , ,，记, , ． （2）是否存在 使得 平面？若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由． 解：假设存在 使得 平面 ，因为, 平面，所以 , ， 则 , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 显然成立，又 ，即，解得 ,满足题意， 故存在，使得 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 $