1.1.2 空间向量的数量积运算-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖定义、性质、运算律及夹角、距离、垂直问题应用。通过回顾平面向量夹角与数量积，搭建从平面到空间的学习支架，以问题引导和结论形成帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于分课前自主学习、课中互动探究、课后学业评价三环节，结合正四面体、正方体等模型，通过题型示例培养数学抽象与数学运算素养。如利用向量分解求数量积、证明线面垂直，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 〈a，b〉 [0，π] 垂直 a⊥b 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 a·b |a||b|cos〈a，b〉 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 a·b＝0 |a||a|cos〈a，a〉 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 λ(a·b) b·a a·c＋b·c 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 学业标准 素养目标 1．了解空间向量的夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决夹角与距离问题．(难点) 在理解并应用空间向量的数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和数学运算素养． 导学1　空间向量的夹角 平面内两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ [提示] 在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up14(→))＝a， eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π. ◎结论形成 1．夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________. 2．夹角的范围：________. 3．两向量垂直：如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相________，记作________. 导学2　空间向量的数量积 平面向量的数量积是如何定义的？ [提示] 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ◎结论形成 空间两个向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作_______.即a·b＝________________. (2)空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔___________ 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝_________________＝|a|2； |a|＝ eq \r(a·a)； |a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) (3)数量积的运算律 结合律 (λa)·b＝_____________，λ∈R 交换律 a·b＝________ 分配律 (a＋b)·c＝______________ 导学3　投影向量和向量所在直线与平面所成的角 1．投影向量 如图所示，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉 eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量所在直线与平面所成的角 如图所示，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 eq \o(A′B′,\s\up14(→))，向量 eq \o(A′B′,\s\up14(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a， eq \o(A′B′,\s\up14(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量 eq \o(AB,\s\up14(→))与 eq \o(CD,\s\up14(→))的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (2)向量的投影一定是正数．(　　) (3)a·b＝a·c⇒b＝c.(　　) (4)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1在向量e2上的投影向量为 eq \f(1,2)e1.(　　) 解析　(1)×.不一定．可能是α，也可能是π－α. (2)×.向量a在b方向上的投影是|a|cos 〈a，b〉，而cos 〈a，b〉∈ [－1，1]，所以投影可正可负也可以是零． (3)×.a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直． (4)×.向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 60°×e2＝ eq \f(1,2)e2. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在正四面体ABCD中， eq \o(BC,\s\up14(→))与 eq \o(CD,\s\up14(→))的夹角等于(　　) A．30°　　　　　　 B．60° C．150° D．120° 答案　D 3．(多选)下列各命题中，正确的命题为(　　) A． eq \r(a·a)＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案　ABC 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________． 解析　cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－3,3×2)＝－ eq \f(1,2). 所以〈a，b〉＝ eq \f(2,3)π. 答案　 eq \f(2,3)π 题型一　空间向量的数量积运算 (1) eq \o(EF,\s\up14(→))· eq \o(BA,\s\up14(→))；(2) eq \o(EF,\s\up14(→))· eq \o(BD,\s\up14(→))； (3) eq \o(EF,\s\up14(→))· eq \o(DC,\s\up14(→))；(4) eq \o(AB,\s\up14(→))· eq \o(CD,\s\up14(→)). [解析]　(1) eq \o(EF,\s\up14(→))· eq \o(BA,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→))· eq \o(BA,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2)| eq \o(BD,\s\up14(→))|| eq \o(BA,\s\up14(→))|cos 〈 eq \o(BD,\s\up14(→))， eq \o(BA,\s\up14(→))〉 ＝ eq \f(1,2)cos 60°＝ eq \f(1,4). (2) eq \o(EF,\s\up14(→))· eq \o(BD,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→))· eq \o(BD,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2)| eq \o(BD,\s\up14(→))|2＝ eq \f(1,2). (3) eq \o(EF,\s\up14(→))· eq \o(DC,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→))· eq \o(DC,\s\up14(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up14(→))· eq \o(DC,\s\up14(→)) ＝－ eq \f(1,2)×cos 60°＝－ eq \f(1,4). (4) eq \o(AB,\s\up14(→))· eq \o(CD,\s\up14(→))＝ eq \o(AB,\s\up14(→))·( eq \o(AD,\s\up14(→))－ eq \o(AC,\s\up14(→))) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→))· eq \o(AD,\s\up14(→))－ eq \o(AB,\s\up14(→))· eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up14(→))|| eq \o(AD,\s\up14(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up14(→))， eq \o(AD,\s\up14(→))〉－| eq \o(AB,\s\up14(→))|| eq \o(AC,\s\up14(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up14(→))， eq \o(AC,\s\up14(→))〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0. 求向量的数量积的两种情况和方法 (1)已知向量的模和夹角：利用a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉，并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． [触类旁通] 1．已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求值： (1) eq \o(BC,\s\up14(→))· eq \o(ED1,\s\up14(→))；(2) eq \o(BF,\s\up14(→))· eq \o(AB1,\s\up14(→)). 解析　如图所示，设 eq \o(AB,\s\up14(→))＝a， eq \o(AD,\s\up14(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up14(→))＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1) eq \o(BC,\s\up14(→))· eq \o(ED1,\s\up14(→))＝ eq \o(BC,\s\up14(→))·( eq \o(EA1,\s\up14(→))＋ eq \o(A1D1,\s\up14(→))) ＝b· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(c－a)＋b))＝|b|2＝42＝16. (2) eq \o(BF,\s\up14(→))· eq \o(AB1,\s\up14(→))＝( eq \o(BA1,\s\up14(→))＋ eq \o(A1F,\s\up14(→)))·( eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AA1,\s\up14(→))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 题型二　利用数量积解决垂直问题 [证明]　取 eq \o(AB,\s\up14(→))＝a， eq \o(AD,\s\up14(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up14(→))＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则有 eq \o(AC,\s\up14(→))＝ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AD,\s\up14(→))＝a＋b. eq \o(OB1,\s\up14(→))＝ eq \o(OB,\s\up14(→))＋ eq \o(BB1,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up14(→))＋ eq \o(BB1,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up14(→))－ eq \o(AD,\s\up14(→)))＋ eq \o(BB1,\s\up14(→))＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c，∴ eq \o(AC,\s\up14(→))· eq \o(OB1,\s\up14(→))＝(a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c)) ＝ eq \f(1,2)|a|2＋ eq \f(1,2)a·b－ eq \f(1,2)a·b－ eq \f(1,2)|b|2＋a·c＋b·c＝ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)＝0. ∴ eq \o(AC,\s\up14(→))⊥ eq \o(OB1,\s\up14(→))，即AC⊥OB1. ∵ eq \o(AP,\s\up14(→))＝ eq \o(AD,\s\up14(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DD1,\s\up14(→))＝b＋ eq \f(1,2)c， ∴ eq \o(OB1,\s\up14(→))· eq \o(AP,\s\up14(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c)) ＝ eq \f(1,2)a·b－ eq \f(1,2)|b|2＋c·b＋ eq \f(1,4)a·c－ eq \f(1,4)b·c＋ eq \f(1,2)|c|2＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝0， ∴ eq \o(OB1,\s\up14(→))⊥ eq \o(AP,\s\up14(→))，即OB1⊥AP. 又AC∩AP＝A， ∴OB1⊥平面ACP. 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0，判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积，判断两向量是否垂直． [触类旁通] 2．在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝ eq \f(π,3).证明：OA⊥BC. 证明　如图所示， 因为 eq \o(OA,\s\up14(→))· eq \o(BC,\s\up14(→))＝ eq \o(OA,\s\up14(→))·( eq \o(OC,\s\up14(→))－ eq \o(OB,\s\up14(→))) ＝ eq \o(OA,\s\up14(→))· eq \o(OC,\s\up14(→))－ eq \o(OA,\s\up14(→))· eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝| eq \o(OA,\s\up14(→))|| eq \o(OC,\s\up14(→))|cos ∠AOC－| eq \o(OA,\s\up14(→))|| eq \o(OB,\s\up14(→))|cos ∠AOB＝0， 所以 eq \o(OA,\s\up14(→))⊥ eq \o(BC,\s\up14(→))，所以OA⊥BC. 题型三　利用空间向量的数量积解决夹角和距离问题　一题多变 [解析]　设 eq \o(AB,\s\up14(→))＝a， eq \o(AD,\s\up14(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up14(→))＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵ eq \o(AC1,\s\up14(→))＝ eq \o(AC,\s\up14(→))＋ eq \o(CC1,\s\up14(→))＝ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AD,\s\up14(→))＋ eq \o(AA1,\s\up14(→))＝a＋b＋c， ∴| eq \o(AC1,\s\up14(→))|＝|a＋b＋c|＝ eq \r((a＋b＋c)2) ＝ eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)) ＝ eq \r(12＋12＋22＋2(0－1－1))＝ eq \r(2). ∴线段AC1的长为 eq \r(2). [母题变式] 1．(变结论)例3中条件不变，求 eq \o(DB1,\s\up14(→))的长． 解析　因为 eq \o(DB1,\s\up14(→))＝ eq \o(DA,\s\up14(→))＋ eq \o(AA1,\s\up14(→))＋ eq \o(A1B1,\s\up14(→))＝a－b＋c， 所以| eq \o(DB1,\s\up14(→))|＝|a－b＋c|＝ eq \r(|a－b＋c|2)＝ eq \r(a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c) ＝ eq \r(6). 2．(变结论)例3中条件不变，求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解析　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈 eq \o(AC1,\s\up14(→))， eq \o(A1D,\s\up14(→))〉|＝ eq \f(|\o(AC1,\s\up14(→))·\o(A1D,\s\up14(→))|,|\o(AC1,\s\up14(→))||\o(A1D,\s\up14(→))|). ∵ eq \o(AC1,\s\up14(→))＝a＋b＋c， eq \o(A1D,\s\up14(→))＝b－c，∴ eq \o(AC1,\s\up14(→))· eq \o(A1D,\s\up14(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， | eq \o(A1D,\s\up14(→))|＝ eq \r((b－c)2)＝ eq \r(|b|2－2b·c＋|c|2)＝ eq \r(12－2×(－1)＋22)＝ eq \r(7). ∴cos θ＝ eq \f(|\o(AC1,\s\up14(→))·\o(A1D,\s\up14(→))|,|\o(AC1,\s\up14(→))||\o(A1D,\s\up14(→))|)＝ eq \f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝ eq \f(\r(14),7). 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 eq \f(\r(14),7). [素养聚焦]　本题通过考查利用空间向量的数量积求夹角和距离问题，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 1．求两点间的距离或线段的长度的方法 (1)将此线段用向量表示． (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a|＝ eq \r(a2)，计算出|a|，即得所求距离． 2．利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 [触类旁通] 3．(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A．5　　　 B．6　　　　 C． eq \r(5)　　　 D． eq \r(6) 解析　由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝ eq \f(1,2)，a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ eq \r((a－b＋2c)2) ＝ eq \r(a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c) ＝ eq \r(1＋1＋4－2×\f(1,2)＋4×\f(1,2)－4×\f(1,2))＝ eq \r(5). 答案　C 知识落实 技法强化 空间向量的夹角、投影向量、空间向量的数量积、性质及运算律． (1)计算向量的数量积一般要利用其夹角与模，而求向量的模、夹角则需利用向量的数量积运算，体现了化归转化的思想方法． (2)当两向量的夹角为锐角(钝角)时，a·b>0(<0)，但当a·b>0(<0)时，向量a与b的夹角θ不一定是锐角(钝角)，也可能为0(π). $