阶段素养测评卷-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦高一数学前四章核心内容，以阶段测评形式整合集合、函数、不等式等知识，通过基础概念辨析与综合应用，培养数学思维与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2题|集合运算、命题否定|从集合基本关系到逻辑命题，构建数学语言基础| |函数性质|选择3-4、7-8题|幂函数单调性、抽象函数定义|结合函数定义与性质，形成从具体到抽象的认知链条| |不等式应用|选择5-6、9题|充要条件、最值求解|以不等式为工具，关联函数性质与逻辑推理| |综合应用|解答16-19题|函数综合、实际问题建模|整合函数、不等式知识，体现数学模型应用与问题解决能力|

阶段素养测评卷 1.C　[解析] 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“对任意x∈R,都有x2-x+2≥0”的否定是“存在x∈R,使x2-x+2<0”.故选C. 2.B　[解析] 因为U={x∈Z|-3≤x≤3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},A∪B={-3,-2,1}∪{0,1,2}={-3,-2,0,1,2},所以∁U(A∪B)={-1,3}.故选B. 3.C　[解析] ∵幂函数f(x)=(a2-2a-2)在(0,+∞)上单调递减,∴a2-2a-2=1且a2+2a<0,解得a=-1,故选C. 4.A　[解析] ∀x∈R,有ax2+4x-1<0,当a=0时,显然不恒成立,所以解得a<-4.故选A. 5.A　[解析] 若(a-b)a2<0,则a≠0且a-b<0,即a<b成立.当a=0,b=1时,满足a<b,但(a-b)a2<0不成立.所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件.故选A. 6.B　[解析] a2+b2=ab+4,则有(a+b)2=3ab+4≤+4,当且仅当a=b时,等号成立,可得(a+b)2≤16,即a+b≤4,所以a+b的最大值为4.故选B. 7.B　[解析] 对于A,因为对任意a>0且a≠1,f(ax)=-ax=a(-x)=af(x),所以函数f(x)=-x为“穿透”函数;对于B,因为对任意a>0且a≠1,f(ax)=ax+1≠af(x)=ax+a,所以函数f(x)=x+1不是“穿透”函数;对于C,因为对任意a>0且a≠1,f(ax)=|ax|=a|x|=af(x),所以函数f(x)=|x|为“穿透”函数;对于D,因为对任意a>0且a≠1,f(ax)=2ax-|ax|=2ax-a|x|=a(2x-|x|)=af(x),所以函数f(x)=2x-|x|为“穿透”函数.故选B. 8.A　[解析] 由题易知0<a<1,b>1,∵|lg a|=|lg b|,∴-lg a=lg b,∴lg a+lg b=0,即lg(ab)=0,∴ab=1.由logax+logb(2x-1)>0可得logax-loga(2x-1)>0,∴logax>loga(2x-1),∵0<a<1,∴函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,∴解得x>1,∴不等式logax+logb(2x-1)>0的解集为(1,+∞).故选A. 9.AD　[解析] 因为a>|b|≥0,所以由不等式的性质可得a2>b2,A正确;取a=2,b=1,c=3,d=0,则a>b,c>d,但a-c<b-d,B错误;取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a>b,c>d,但ac=bd,C错误;因为a>b>0,所以0<<,又c<0,所以>,D正确.故选AD. 10.ABC　[解析] 将y=a与y=x4+1联立,消去y得a=x4+1,即x4=a-1.当a>1时,方程有2个不相等的实数根,故直线y=a和函数y=x4+1的图象有2个公共点;当a=1时,方程有1个实数根,故直线y=a和函数y=x4+1的图象有1个公共点;当a<1时,方程无实数根,故直线y=a和函数y=x4+1的图象没有公共点.故选ABC. 11.AC　[解析] 对于A选项,设f(x)=xα,将(9,3)代入可得9α=3,解得α=,则f(x)=,因为f(x)和函数y=x在(0,+∞)上都单调递增,所以函数y=x+在(0,+∞)上单调递增,则x1+f(x1)<x2+f(x2),A正确;对于B选项,函数y=x-=-在上单调递减,在上单调递增,故x1-f(x1)与x2-f(x2)的大小关系不确定,B错误;对于C选项,因为函数y=xf(x)=在(0,+∞)上单调递增,所以x1f(x1)<x2f(x2),C正确;对于D选项,因为函数y==在(0,+∞)上单调递减,所以>,则x2f(x1)>x1f(x2),D错误.故选AC. 12.∪[1,+∞)　[解析] 依题意,≤33x-4,即≤33x-4,由于y=3x在R上单调递增,所以1-2x2≤3x-4,即2x2+3x-5≥0,即(x-1)(2x+5)≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集为∪[1,+∞). 13.或　[解析] 当a>1时,函数y=ax为增函数,∴a3-a2=,得a=;当0<a<1时,函数y=ax为减函数,∴a2-a3=,得a=. 14.(-∞,-3]∪[2,+∞)　[解析] 由题图可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,0],[2,+∞).因为函数f(x)在[m,m+3]上单调递减,所以[m,m+3]⊆(-∞,0]或[m,m+3]⊆[2,+∞),所以m+3≤0或m≥2,即m≤-3或m≥2. 15.解:(1)原式=(53+(2-1)-2-(3-3+10+=52+22-31+10+=25+4-3+10+1=37. (2)原式=-+lg 10-2+(-1)0=--2+1=-3. 16.解:(1)假设存在实数a,使得y=(a-1)x2-ax+1≥0对x∈R恒成立. 当a-1=0,即a=1时,显然不满足y≥0对x∈R恒成立; 当a-1≠0时,由得即a=2. 故假设成立,存在a=2,使得关于x的不等式y≥0的解集为R. (2)由题意可得,y=(a-1)x2-ax+1>0对x∈(0,1)恒成立. 当a-1=0,即a=1时,不等式为-x+1>0,满足对x∈(0,1)恒成立; 当a-1>0,即a>1时,∵y=(x-1)[(a-1)x-1]>0对x∈(0,1)恒成立,即x<对x∈(0,1)恒成立,∴≥1,∴1<a≤2; 当a-1<0,即a<1时,∵y=(x-1)[(a-1)x-1]>0对x∈(0,1)恒成立,即x>对x∈(0,1)恒成立,∴<0,∴a<1.综上a≤2. 17.解:(1)函数f(x)在R上单调递减,证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2, 可得f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)-1]=1-f(x2-x1), 因为x2-x1>0,且当x>0时,f(x)<1, 所以f(x2-x1)<1,所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减. (2)令y=x,得f(2x)=f(x)+f(x)-1,所以2f(x)=f(2x)+1, 所以f(2x2-3x-2)+2f(x)=f(2x2-3x-2)+f(2x)+1=f(2x2-3x-2+2x)+2>4,所以f(2x2-x-2)>2, 因为f(-1)=2,所以f(2x2-x-2)>f(-1). 又f(x)在R上单调递减,所以2x2-x-2<-1,解得-<x<1, 即不等式的解集为. 18.解:(1)当x∈[30,50]时,设该工厂在该设备上获利S万元, 则S=20x-(x2-40x+1600)=-(x-30)2-700, 所以当x∈[30,50]时,Smax=-700<0,因此该工厂在该设备上不会获利,政府部门至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损. (2)由题易知,二氧化碳平均每吨的处理成本为=x+-40,x∈[30,50],因为x+-40≥2-40=40, 当且仅当x=,即x=40时等号成立, 所以当处理量为40吨时,平均每吨的处理成本最低. 19.解:(1)当a=-4,b=-8时,由f(x)<可得<, 令2x=t(t>0),则<,解得4<t<12,即4<2x<12,解得2<x<log212,所以不等式f(x)<的解集为{x|2<x<log212}. (2)①因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0, 所以20+b=0,解得b=-1,所以f(x)=,根据f(x)为R上的奇函数可得f(-x)+f(x)=0,所以+=0, 即=0对任意x∈R恒成立,所以a-1=0,解得a=1, 所以f(x)==1-.令n=2x+1(x≤0),则1<n≤2. 所以f(x)在(-∞,0]上的取值范围即为y=1-(1<n≤2)的值域, 因为y=1-在(1,2]上单调递增,所以当x∈(-∞,0]时,f(x)的取值范围为(-1,0]. ②f(x)=1-,设任意x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-=>0,所以f(x)在R上是增函数. 因为f(mx2)+f(1-mx)>f(0)对任意x∈R恒成立,且f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,-f(1-mx)=f(mx-1),所以f(mx2)>f(mx-1)对任意x∈R恒成立,所以mx2-mx+1>0对任意x∈R恒成立. 当m=0时,满足题意;当m≠0时,解得0<m<4. 综上所述,0≤m<4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段素养测评卷  第一章~第四章 时间:120分钟　分值:150分 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·江西抚州南城一中高一期末] 命题“对任意x∈R,都有x2-x+2≥0”的否定是 (　　) A.存在x∈R,使x2-x+2≥0 B.对任意x∈R,都有x2-x+2≤0 C.存在x∈R,使x2-x+2<0 D.对任意x∈R,都有x2-x+2<0 2.[2024·山东滨州高一期末] 已知U={x∈Z|-3≤x≤3},A={-3,-2,1},B={0,1,2},则∁U(A∪B)= (　　) A.{-1,0,1} B.{-1,3} C.{-1,1,3} D.{-1,0,1,3} 3.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)在(0,+∞)上单调递减,则a的值为 (　　) A.3或-1 B.3 C.-1 D.-3 4.∀x∈R,有ax2+4x-1<0,则a的取值范围为 (　　) A.a<-4 B.a<-4或a=0 C.a≤-4 D.-4<a<0 5.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.[2024·广西崇左高一期末] 已知a2+b2=ab+4,则a+b的最大值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.2 7.若函数f(x)对任意a>0且a≠1,都有f(ax)=af(x),则称函数f(x)为“穿透”函数,则下列函数中,不是“穿透”函数的是 (　　) A.f(x)=-x B.f(x)=x+1 C.f(x)=|x| D.f(x)=2x-|x| 8.已知函数f(x)=|lg x|,若f(a)=f(b)且a<b,则不等式logax+logb(2x-1)>0的解集为 (　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 (　　) A.若a>|b|,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b>0,c<0,则> 10.设a为实数,则直线y=a和函数y=x4+1的图象的公共点的个数可以是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 11.[2024·广西钦州高一期末] 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(0<x1<x2),若幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则 (　　) A.x1+f(x1)<x2+f(x2) B.x1-f(x1)<x2-f(x2) C.x1f(x1)<x2f(x2) D.x2f(x1)<x1f(x2) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2024·四川凉山安宁河联盟高一期末] 不等式≤33x-4的解集为　　　　　　.  13.若函数y=ax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值比最小值大,则a=　　　　.  14.已知函数f(x)的图象如图所示,若f(x)在[m,m+3]上单调递减,则m的取值范围为　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)化简求值: (1)12+-+10+; (2)-+lg +. 16.(15分)[2024·江西抚州高一期中] 已知函数y=(a-1)x2-ax+1. (1)是否存在实数a,使得关于x的不等式y≥0的解集为R?若存在,求实数a的值或取值范围;若不存在,请说明理由. (2)设关于x的不等式y≤0的解集是P,集合Q={x|0<x<1},若P∩Q=⌀,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)<1,f(-1)=2. (1)试判断f(x)在R上的单调性,并证明; (2)解不等式f(2x2-3x-2)+2f(x)>4. 18.(17分)为了减少温室气体排放,某工厂在政府部门的鼓励下引进某套设备,该设备能把二氧化碳转化为某种化工产品.经测算,该设备处理二氧化碳的成本y (单位:万元)与处理量x (单位:吨)之间的函数关系可近似表示为y=x2-40x+1600,x∈[30,50],已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品. (1)判断该工厂在该设备上能否获利?如果能获利,求出利润的最大值;如果不能获利,那么政府部门至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损? (2)当处理量为多少吨时,平均每吨的处理成本最低? 19.(17分)已知函数f(x)=(a,b∈R). (1)若a=-4,b=-8,解关于x的不等式f(x)<. (2)已知f(x)为定义在R上的奇函数. ①当x∈(-∞,0]时,求f(x)的取值范围; ②若f(mx2)+f(1-mx)>f(0)对任意x∈R恒成立,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $