单元素养测评卷(五) 第5章 函数应用-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数零点、二分法及函数模型应用，结合2023年地震能量、亚运会销售等现实情境，适配高中数学第五章单元复习，强化数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|零点个数判断、二分法区间选取、函数模型选择|结合梅州期中、荆州期末等真题，设置地震能量计算（第3题）等情境| |填空题|3/15|零点存在性、二分法迭代、实际问题建模|第14题矩形花圃面积优化，体现数学语言表达现实问题| |解答题|5/77|零点判断、函数单调性证明、销售收入模型|第17题亚运会龙井茶销售，融合数据拟合与最值求解，培养数学思维|

单元素养测评卷(五)  第五章 时间:120分钟　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y=x3-x的零点个数是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 2.[2023·广东梅州高一期中] 用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.研究表明,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2023年12月18日在甘肃省积石山县发生了里氏6.2级地震,2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震,若前后这两个地震释放的能量的比值是n,则n的整数部分为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知12是函数 f(x)= 的一个零点,则 f[4f(19)] 的值是 (　　) A.1 B.0 C.2 D.+1 5.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为 (　　) A.1.2 B.1.4 C.1.3 D.1.5 6.[2023·湖北荆州高一期末] 已知函数y=-x2+bx+c只有一个零点,不等式-x2+bx+c-m>0的解集为(x0,x0+2),则m的值为 (　　) A.-4 B.-2 C.-1 D.1 7.某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/百千克)与上市时间t(单位:天)的数据如表: 上市时间t 50 120 150 种植成本Q 2600 500 2600 由表知,体现Q与t关系的最佳函数模型是 (　　) A.Q=at+b B.Q=at2+bt+c C.Q=abt D.Q=a·logbt 8.[2023·大连高一期末] 已知定义域为D的函数f(x),若对任意x1∈D,都存在x2∈D,使=a,则称函数f(x)具有性质P(a).若函数f(x)具有性质P(1),则“f(x)存在零点”是“2∈D”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有7个不同的交点,给出下列四个区间,则各区间内的零点能用二分法求出的是(　　) A.(-1.3,-0.8) B.(-0.3,0.3) C.(0.3,0.8) D.(1.3,1.8) 10.[2023·宁夏石嘴山中学高一期中] 几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元,且p(x)=-x2+6x-20,利润率y=.某月已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是 (　　) A.此时获得最大利润率 B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润 11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有3个零点,则m的取值可能为 (　　) A. B.1 C.2 D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2023·江西宜丰中学高一月考] 函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是　　　　.  13.求方程x3-2x-3=0在区间(1,2)内的实数根,用二分法确定的下一个有根的区间是　　　　.  14.某中学为了扩大校园绿化面积,规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建花圃,规定矩形ABCD的每条边长均不超过20米,如图所示,要求矩形区域EFGH用来种花,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的草坪区域,设AB=x米,草坪区域EFGH的面积为S平方米,则S的最大值为　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)判断下列函数是否存在零点.如果存在,求出零点;如果不存在,说明理由. (1)f(x)=x3+1,x∈R; (2)f(x)=-x,x∈(0,1). 16.(15分)[2023·北京西城区高一期末] 已知函数f(x)=|1-lg x|-c,其中c∈R. (1)若c=0,求f(x)的零点; (2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),求4x1+x2的取值范围. 17.(15分)[2023·北京通州区高一期中] 2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象,也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现,该商品在过去30天内,第x(x∈N*)天的销售单价P(x)(单位:百元/件)近似满足P(x)=1+(k为常数),第x天的销售量Q(x)(单位:件)的部分数据如下表所示: x 5 10 15 20 25 30 Q(x) 180 310 390 420 400 330 已知第5天的销售收入为216百元. (1)求k的值. (2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=ax2+bx;③Q(x)=a·bx.请根据上表中的数据,选择你认为最合适的一种函数模型来描述Q(x)与x的变化关系,并求出函数Q(x)的解析式. (3)记该商品在这30天内的日销售收入为H(x)(单位:百元),求H(x)的最大值. 18.(17分)已知函数f(x)=. (1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明. (2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用二分法求零点的一个近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由. (参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807) 19.(17分)已知函数f(x)=log2(m>0)是定义域上的奇函数. (1)求实数m的值; (2)若0<a<1,证明:函数g(x)=f(2x)-log2(2x+a)有唯一零点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(五) 1.D　[解析] 解方程x3-x=0,得x=-1或x=0或x=1,所以函数y=x3-x有3个零点. 2.B　[解析] 令f(x)=log4x-,因为函数y=log4x,y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=log4x-在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=-<0,f(2)=log42-=-=>0,所以函数f(x)=log4x-在区间(1,2)上有唯一零点,所以用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是(1,2).故选B. 3.C　[解析] 设前后两次地震释放的能量分别为E1,E2,由已知得两式相减得lg=1.5×0.5=0.75,则n==100.75=1=.因为54<1000<64,所以5<<6,即n=∈(5,6),所以n的整数部分为5.故选C. 4.B　[解析] 由题意知f(12)=log2(12+m)=0,可得 m=-11,∴f(x)=则f(19)=log2(19-11)=3,∴f[4f(19)]=f(4×3)=f(12)=0.故选B. 5.B　[解析] 因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数f(x)在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.1,所以不满足精确度为0.1;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数f(x)在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.1,所以不满足精确度为0.1;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数f(x)在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.1,所以不满足精确度为0.1;因为f(1.437 5)>0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数f(x)在(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,所以满足精确度为0.1.所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)是区间[1.375,1.437 5]内的任意一个值,根据四个选项可知B符合.故选B. 6.C　[解析] 函数y=-x2+bx+c只有一个零点,则Δ=b2+4c=0.不等式-x2+bx+c-m>0的解集为(x0,x0+2),即x2-bx-c+m<0的解集为(x0,x0+2).设方程x2-bx-c+m=0的两根为x1,x2,则x1+x2=b,x1·x2=-c+m,且|x2-x1|=2,∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=4,则b2-4(-c+m)=4,整理得b2+4c-4m=4,∴m=-1.故选C. 7.B　[解析] 由题可知当上市时间为120天时,种植成本要低于上市时间为50天和150天时的种植成本,所以二次函数模型最合适.故选B. 8.B　[解析] 若f(x)存在零点,取f(x)=3x-1,x∈[0,1],则f=0,因为对任意x1∈[0,1],都存在x2=1-x1,使得==1,所以函数f(x)具有性质P(1),但是2∉[0,1],故充分性不成立.若2∈D,则根据函数f(x)具有性质P(1),取x1=2,可得存在x2∈D,使得==1,所以f(x2)=0,所以f(x)存在零点x2,故必要性成立.综上所述,若函数f(x)具有性质P(1),则“f(x)存在零点”是“2∈D”的必要不充分条件,故选B. 9.ABD　[解析] 用二分法只能求出变号零点,对于不变号的零点,不能使用二分法求解,结合选项,只有(-1.3,-0.8),(-0.3,0.3)和(1.3,1.8)内的零点可用二分法求出.故选ABD. 10.BC　[解析] 因为x≤16,p(x)=-x2+6x-20=-(x-15)2+25,所以当x=15时,能获得最大利润,最大利润为p(15)=25(万元),故B正确,D错误;y==-x+6-=-+6≤-2+6=2,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以当x=10时,利润率取得最大值2,故C正确,A错误.故选BC. 11.BC　[解析] 函数g(x)恰有3个零点等价于方程f(x)=m有3个不等实根,等价于f(x)的图象与直线y=m有3个交点.作出y=f(x)的图象,如图所示,由图可知,当<m≤2时,f(x)的图象与直线y=m有3个交点.故选BC. 12.0<a<3　[解析] 因为函数y=2x,y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增.由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内得f(1)=-a<0,f(2)=3-a>0,解得0<a<3. 13.(1.5,2)　[解析] 令f(x)=x3-2x-3,因为f(1)=-4<0,f(2)=1>0,f(1.5)=1.53-6<0,所以确定的下一个有根的区间是(1.5,2). 14.102-20　[解析] 因为矩形ABCD的面积为100平方米且AB=x米,所以AD= 米,EF=(x-2)米,FG=米,所以S=(x-2)=102--x.因为规定矩形ABCD的每条边长均不超过20米,所以0<x≤20,0<≤20,解得5≤x≤20.因为+x≥2=20,当且仅当x=,即x=10时,等号成立,所以S=102-≤102-20,即S的最大值为102-20. 15.解:(1)f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0,得(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,所以f(x)=x3+1存在零点,且零点为-1. (2)方法一:令f(x)=0,得-x=0,即=0,解得x=±1,而±1∉(0,1),所以f(x)=-x,x∈(0,1)不存在零点. 方法二:在同一平面直角坐标系中作出y=与y=x的图象,如图所示,从图中可以看出,当0<x<1时,两函数图象没有交点, 故f(x)=-x,x∈(0,1)不存在零点. 16.解:(1)当c=0时,f(x)=|1-lg x|, 令f(x)=0,则lg x=1,解得x=10,所以f(x)的零点为x=10. (2)令f(x)=|1-lg x|-c=0,则|1-lg x|=c(c>0),故1-lg x=±c, 因为x1<x2,所以x1=10-c+1,x2=10c+1,因此4x1+x2=4×10-c+1+10c+1=40×10-c+10×10c.因为10-c>0,10c>0,所以由基本不等式可得4x1+x2=40×10-c+10×10c≥2=40,当且仅当40×10-c=10×10c,即c=lg 2时取等号,故4x1+x2≥40, 所以4x1+x2的取值范围为[40,+∞). 17.解:(1)由题意得P(5)·Q(5)=×180=216,解得k=1. (2)由表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量先增后减,并不单调,而①③中的函数为单调函数,故选②最合适,即Q(x)=ax2+bx. 由表中数据可得Q(5)=180,Q(10)=310,即解得故Q(x)=-x2+41x(1≤x≤30,x∈N*). (3)由(1)可得P(x)=1+(1≤x≤30,x∈N*),依题意得H(x)=P(x)Q(x)=(-x2+41x)=-x2-x+41x+41=-x2+40x+41=-(x-20)2+441(1≤x≤30,x∈N*), 所以当x=20时H(x)取得最大值,即H(x)max=H(20)=441. 18.解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,证明如下: 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数. (2)g(x)=+log2x-2在定义域(0,+∞)上是增函数, ∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0, ∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点. ∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0, g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0, ∴函数g(x)的零点在(1.5,1.75)内, ∵|1.5-1.75|<0.3,∴g(x)零点的一个近似值为1.6. (函数g(x)的零点近似值取区间(1.5,1.75)内的任意一个数都可以). 19.解:(1)因为函数f(x)=log2(m>0)是定义域上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),即log2=-log2=log2, 所以=,所以1-x2=1-m2x2,则m2=1, 因为m>0,所以m=1,此时函数f(x)=log2. 由>0可得<0,解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1),又f(-x)=log2=-log2=-f(x), 所以函数f(x)是定义域(-1,1)上的奇函数,合乎题意.综上所述,m=1. (2)证明:由(1)可得f(x)=log2, 由g(x)=f(2x)-log2(2x+a)=log2-log2(2x+a)=0, 可得=2x+a,其中0<2x<1, 令t=2x∈(0,1),则=a+t,整理可得t2+(a+2)t+a-1=0. 令h(t)=t2+(a+2)t+a-1,则二次函数h(t)的图象的对称轴为直线t=-,且-<0,所以函数h(t)在(0,1)上单调递增, 因为h(0)=a-1<0,h(1)=2a+2>0,即h(0)h(1)<0, 所以函数h(t)在(0,1)上存在唯一零点. 因此,函数g(x)=f(2x)-log2(2x+a)有唯一零点. 学科网（北京）股份有限公司 $