第5章 函数应用 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数零点、二分法及函数建模等核心内容，通过知识网络将零点定义、判定方法、应用场景串联，构建“概念-方法-应用”的逻辑体系，帮助学生形成结构化知识框架。 其亮点在于融合“知识辨析-题型突破-素养提升”三层设计，知识辨析通过判断题强化推理意识，如纠正“零点是点”的错误认知。素养提升中例2结合分段函数图像分析零点个数，培养几何直观，例5热饮温度建模发展模型观念。分层变式训练满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

本章总结提升 1 ◆ 知识网络 ◆ 知识辨析 ◆ 素养提升 题型一 函数零点所在区间的判定 题型二 与函数零点个数有关的问题 题型三 利用二分法求方程的近似解 题型四 实际问题的函数建模 2 知 识 网 络 3 判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”） 1.函数的零点是点 .( ) × [解析] 函数的零点不是点，是一个数，是函数的图象与 轴交点的横坐标,所以 函数 的零点为1. 2.判断方程解的个数也就是判断对应函数零点的个数.( ) √ [解析] 函数的零点就是方程 的解. 知 识 辨 析 4 3.函数 一定有零点.( ) √ [解析] 因为恒成立，所以函数 一定有两个零点. 4.若函数在区间上满足，则在 上至少有一个 零点.( ) × [解析] 函数在 上的图象可能不是连续的曲线. 知 识 辨 析 5 5.函数 没有零点.( ) √ [解析] 函数的定义域为，当时，， 当 时，，所以函数 没有零点. 6.满足的函数 的零点问题都可以用二分法求解.( ) × [解析] 二分法适用于图象在区间 上是一条连续曲线，且满足 的函数的零点问题. 知 识 辨 析 6 7.函数建模一般要经历审题、建模、解模、作答四个过程.( ) √ [解析] 符合函数建模的步骤要求. 8.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在的意义 了.( ) × [解析] 不一定，函数模型只是用来预测结果，与实际结果可能相等也可能不相等. 知 识 辨 析 7 题型一 函数零点所在区间的判定 ［类型总述］（1）依据零点存在定理判断;（2）作出函数的图象，根据函数图 象与 轴的交点情况判断. 例1（1） 函数 的零点所在的区间为( ) B A. B. C. D. [解析] 易知在上是增函数.因为, , 所以,故函数的零点所在的区间为 . 素 养 提 升 8 （2）已知函数，则函数 的零点所在的区间是 ( ) C A. B. C. D. [解析] 由，得 ， 构造函数, ， 在同一平面直角坐标系内作出函数与 的图象， 如图所示. 结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标在区间 内，故函数的零点所在的区间是 .故选C. 素 养 提 升 9 变式（1） 设，则函数 的零点所在的区间为( ) C A. B. C. D. [解析] 易知函数在定义域内是增函数，因为， ， 所以由零点存在定理得，的零点位于区间 内. （2）函数 的零点所在的区间是( ) B A. B. C. D. [解析] 易知函数在定义域内是减函数. ，，， 根据零点存在定理可得，函数的零点所在的区间是 ，故选B. 素 养 提 升 10 题型二 与函数零点个数有关的问题 ［类型总述］（1）求函数的零点个数；（2）利用函数的零点个数求参数的取 值范围. 例2（1） 函数 的零点个数是( ) C A.3 B.2 C.1 D.0 [解析] 由题意可得，求函数 的零点个数，即求方 程的解的个数. 数形结合可得，函数 的图象和函数的图象有1个 交点，故 有1个零点，故选C. 素 养 提 升 11 （2）已知函数若函数 有3个不同的 零点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 在同一平面直角坐标系内作出 的图象和直线 ，如图所示， 由图可知当时， 的图象与直线 有3个交点，即函数 有3个不同的零点.故选A. 素 养 提 升 12 （3）[2023·天津卷] 若函数 有且仅有两个零 点，则 的取值范围为________________________. [解析] 方法一：①当时，,则 只有 一个零点 ，不符合题意. ②当时，关于的不等式 恒成立， 此时, 当时， 只有一个零点，不符合题意； 当时，令 ,得, 故 有且仅有两个零点，符合题意. 素 养 提 升 13 ③当时，关于的方程有两个不等实根, , 不妨设,此时 即 令,得,,,,其中, , ,, 素 养 提 升 14 当时， , ,舍去,, 故 有且仅有两个零点，1，符合题意； 当时， , ,舍去,, 故有且仅有两个零点, ，符合题意. 综上，的取值范围为 . 素 养 提 升 15 方法二：当 时， , 令,得， . 又，所以对应，对应 . 当时，， 令,得 ，. 又，所以对应，对应 . 素 养 提 升 16 特别地，当时，函数只有一个零点，为,不符合题意； 当 时，函数只有一个零点，为,不符合题意； 当时，函数 有两个零点，分别为和,符合题意. 综上，的取值范围为 . 素 养 提 升 17 变式（1） [2023·江西铜鼓中学高一月考]函数 的零点 个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 函数 的零点个数等价于方程 的实根个数， 等价于函数与 图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系中， 作出函数与 的大致图象， 如图所示， 由图可知两个函数图象共有两个不同的交点， 故 有两个零点．故选C. 素 养 提 升 18 （2）已知，函数若的图象与 轴恰好有2 个交点，则 的取值范围是_______________. [解析] 当时，；当时，或 . 由题可知，函数有2个零点. 若当 时没有零点，则当 时有2个零点，此时； 若当 时有1个零点，则当 时有1个零点，此时. 所以 的取值范围是 . 素 养 提 升 19 例3 已知函数若恰有3个零点， ， ，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 素 养 提 升 20 [解析] 不妨设，作出函数的图象与直线 ，如图所示， 由图可知，当时，直线与函数 的图象有三个交点， 且有，. 由，得 ， 因为，所以， 所以 ， 则，故 .故选B. 素 养 提 升 21 变式 [2023·湖南长沙高一期末] 已知,, 分别是函数 与的零点，若，则 的取值 范围为_________. [解析] 由题意知是与图象交点的横坐标， 是 与图象交点的横坐标. 显然与的图象关于直线 对称， 直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线 对称， 如图所示，所以，因为，所以 ， 所以，即的取值范围为 . 素 养 提 升 22 题型三 利用二分法求方程的近似解 ［类型总述］ 对于一些没有求根公式的方程，可考虑利用二分法求其近似解. 例4 用二分法逐次计算函数在区间 内的一个零点附近 的函数值，所得数据如下： 0.5 1 0.75 0.625 1 0.462 0.155 则方程的一个近似根（精确度为 ）为( ) B A.0.56 B.0.57 C.0.65 D.0.8 [解析] 由表格知在区间 两端点处的函数值符号相反，且区间长 度不超过 ，符合精确度要求，因此，方程根的近似值可取此区间上任意一个 数．故选B. 素 养 提 升 23 变式 [2023·江苏淮安高一期末] 已知函数在 内有一个零 点，且求得 的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 1 0.172 0.012 要使零点的近似值的精确度为，则对区间 的最少等分次数和近似解 分别为( ) C A.6次， B.5次， C.4次， D.4次， [解析] 由题意可知，对于区间，需要求解,, , 的值，然后得到 零点精确度为0.1的近似值，所以零点的近似解 可以为，区间 最少等分4次.故选C. 素 养 提 升 24 题型四 实际问题的函数建模 ［类型总述］ 函数模型是高考常考的考点，涉及的实际问题较广，解题的关键 是把实际问题转化为数学问题，题目难度中等. 素 养 提 升 25 例5 [2023·大连育明高级中学高一期中]某种热饮需用开水冲 泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温 （单位：）与时间（单位： ）近似满足一次函数关系； ②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温与时间 近似满足 的函数关系式为,为常数 ,通常这种热饮在 C A. B. C. D. 时，口感最佳.某天室温为 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上 述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，需要的时间为( ) 素 养 提 升 26 [解析] 由题意，当时，函数图象是一条线段. 当 时，函数的解析式为,图象过点和点， 将， 代入解析式，有解得 故,. 当 时，令，解得,所以需要的时间为 ．故选C. 素 养 提 升 27 变式（1） [2023·北京朝阳区高一期末]某厂以 千克/时的速度匀速生产某种产 品（生产条件要求），每小时可获得的利润为 元， 要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是( ) C A.2千克/小时 B.3千克/小时 C.4千克/小时 D.6千克/小时 [解析] 由题意得，生产100千克该产品获得的利润 ， ， 令，则 ，， 故当时， 取得最大值，此时 .故选C. 素 养 提 升 28 （2）[2023·江苏扬州一中高一期中]著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在 空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则 后物体的 温度 （单位：）满足．若常数 ，空气温度为 ，则某物体的温度从下降到 ，大约需要的时间为（参考数据： ）( ) D A. B. C. D. [解析] 由题知，，， ， ，， ， .故选D. 素 养 提 升 29 $