第5章 函数应用 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理函数零点、二分法及函数建模等核心内容，以判断题巩固零点定义、存在定理等基础概念，按“判定-个数-近似解-建模”题型分类呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如零点区间判定题结合零点存在定理与图象法培养数学思维，函数建模题（如热饮温度变化）强化数学语言表达，例题与变式题满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

本章总结提升 【知识辨析】 1.×　[解析] 函数的零点不是点,是一个数,是函数的图象与x轴交点的横坐标,所以函数f(x)=x-1的零点为1. 2.√　[解析] 函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解. 3.√　[解析] 因为(-2b)2+4>0恒成立,所以函数y=x2-2bx-1一定有两个零点. 4.×　[解析] 函数f(x)在(a,b)上的图象可能不是连续的曲线. 5.√　[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数f(x)没有零点. 6.×　[解析] 二分法适用于图象在区间[a,b]上是一条连续曲线,且满足f(a)·f(b)<0的函数的零点问题. 7.√　[解析] 符合函数建模的步骤要求. 8.×　[解析] 不一定,函数模型只是用来预测结果,与实际结果可能相等也可能不相等. 【素养提升】 题型一 例1　(1)B　(2)C　[解析] (1)易知f(x)=x3+x-1在R上是增函数.因为f<0,f(1)>0,所以ff(1)<0,故函数f(x)=x3+x-1的零点所在的区间为. (2)由f(x)=0,得lg(x-1)=3-x,构造函数h(x)=lg(x-1),g(x)=3-x(x>1),在同一平面直角坐标系内作出函数h(x)与g(x)的图象,如图所示.结合图象可知,这两个函数图象的交点的横坐标在区间(2,3)内,故函数f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选C. 变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)易知函数f(x)在定义域内是增函数,因为f(1)=-1<0,f(2)=2>0,所以由零点存在定理得,f(x)的零点位于区间(1,2)内. (2)易知函数f(x)=-ln x在定义域内是减函数.∵f(2)=-ln 2>0,f(3)=1-ln 3<0,∴f(2)·f(3)<0,∴根据零点存在定理可得,函数f(x)=-ln x的零点所在的区间是(2,3),故选B. 题型二 例2　(1)C　(2)A　(3)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) [解析] (1)由题意可得x>0,求函数f(x)=x2+ln x-2021的零点个数,即求方程ln x=2021-x2(x>0)的解的个数.数形结合可得,函数y=ln x的图象和函数y=2021-x2(x>0)的图象有1个交点,故f(x)=x2+ln x-2021有1个零点,故选C. (2)在同一平面直角坐标系内作出f(x)的图象和直线y=a,如图所示,由图可知当0<a<4时,f(x)的图象与直线y=a有3个交点,即函数g(x)=f(x)-a有3个不同的零点.故选A. (3)方法一:①当a=0时,f(x)=-2x-|x2+1|=-(x+1)2,则f(x)只有一个零点-1,不符合题意. ②当a∈[-2,0)∪(0,2]时,关于x的不等式x2-ax+1≥0恒成立,此时f(x)=ax2-2x-(x2-ax+1)=(a-1)x2+(a-2)x-1,当a=1时,f(x)只有一个零点-1,不符合题意;当a≠1时,令f(x)=0,得Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2>0,故f(x)有且仅有两个零点,符合题意.③当a∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,关于x的方程x2-ax+1=0有两个不等实根m,n,不妨设m<n,此时f(x)= 即f(x)= 令f(x)=0,得x1=-1,x2=,x3=1,x4=,其中x1,x2∈(-∞,m]∪[n,+∞),x3,x4∈(m,n),当a>2时,-ax2+1=-+1=<0, -ax4+1=-+1=>0,舍去x2,x4,故f(x)有且仅有两个零点-1,1,符合题意;当a<-2时,-ax1+1=2+a<0,-ax3+1=2-a>0,舍去x1,x3,故f(x)有且仅有两个零点,,符合题意.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 方法二:当x2-ax+1≥0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x-(x2-ax+1)=(a-1)x2+(a-2)x-1=(x+1)[(a-1)x-1],令f(x)=0,得x1=-1,x2=.又x2-ax+1≥0,所以x1=-1对应a≥-2,x2=对应a≤2.当x2-ax+1<0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x+(x2-ax+1)=(a+1)x2-(a+2)x+1=(x-1)[(a+1)x-1],令f(x)=0,得x3=1,x4=.又x2-ax+1<0,所以x3=1对应a>2,x4=对应a<-2.特别地,当a=1时,函数f(x)只有一个零点,为-1,不符合题意;当a=0时,函数f(x)只有一个零点,为-1,不符合题意;当a=-1时,函数f(x)有两个零点,分别为-1和-,符合题意.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 变式　(1)C　(2)(1,3]∪(4,+∞) [解析] (1)函数f(x)的零点个数等价于方程log2(x+4)=3x的实根个数,等价于函数y=log2(x+4)与y=3x图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=log2(x+4)与y=3x的大致图象,如图所示,由图可知两个函数图象共有两个不同的交点,故f(x)有两个零点.故选C. (2)当x-4=0时,x=4;当x2-4x+3=0时,x=1或x=3.由题可知,函数f(x)=有2个零点.若当x≥λ时没有零点,则当x<λ时有2个零点,此时λ>4;若当x≥λ时有1个零点,则当x<λ时有1个零点,此时1<λ≤3.所以λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞). 例3　B　[解析] 不妨设x1<x2<x3,作出函数f(x)的图象与直线y=m,如图所示,由图可知,当0<m≤时,直线y=m与函数f(x)的图象有三个交点,且有-<x1≤0,0<x2<1<x3.由f(x2)=f(x3),得|ln x2|=|ln x3|,因为0<x2<1<x3,所以ln x3=-ln x2,所以ln x2+ln x3=ln(x2x3)=0,则x2x3=1,故x1x2x3=x1∈.故选B. 变式　(2,+∞)　[解析] 由题意知x1是y=ex与y=a-x图象交点的横坐标,x2是y=ln x与y=a-x图象交点的横坐标.显然y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称,直线y=a-x与直线y=x垂直,因此这两个交点关于直线y=x对称, 如图所示,所以=x2,因为a>1,所以x2>1,所以m=+x2=2x2∈(2,+∞),即m的取值范围为(2,+∞). 题型三 例4　B　[解析] 由表格知在区间(0.562 5,0.625)两端点处的函数值符号相反,且区间长度不超过0.1,符合精确度要求,因此,方程根的近似值可取此区间上任意一个数.故选B. 变式　C　[解析] 由题意可知,对于区间(0,1),需要求解f(0.5),f(0.75),f(0.625),f(0.687 5)的值,然后得到f(x)零点精确度为0.1的近似值,所以零点的近似解可以为0.65,区间(0,1)最少等分4次.故选C. 题型四 例5　C　[解析] 由题意,当0≤t≤5时,函数图象是一条线段.当t≥5时,函数的解析式为y=80+b,图象过点(5,100)和点(15,60),将(5,100),(15,60)代入解析式,有解得故y=80+20,t≥5.当t≥5时,令y=40,解得t=25,所以需要的时间为25 min.故选C. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)由题意得,生产100千克该产品获得的利润y=·100=10 000=10 000,1≤x≤10,令t=,则≤t≤1,y=10 000(-2t2+t+3)=-20 000,故当t=时,y取得最大值,此时x=4.故选C. (2)由题知θ0=30,θ1=120,θ=40,∴40=30+(120-30)e-0.05t,∴e-0.05t=,∴-0.05t=ln,∴0.05t=ln 9=2ln 3,∴t==40×ln 3≈44.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数f(x)=x-1的零点是点(1,0). (　 ) 2.判断方程解的个数也就是判断对应函数零点的个数. (　 ) 3.函数y=x2-2bx-1一定有零点. (　 ) 4.若函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上至少有一个零点.(　 ) 5.函数f(x)=x+没有零点. (　 ) 6.满足f(a)·f(b)<0的函数f(x)的零点问题都可以用二分法求解. (　 ) 7.函数建模一般要经历审题、建模、解模、作答四个过程. (　 ) 8.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在的意义了. (　 ) ◆ 题型一　函数零点所在区间的判定 [类型总述] (1)依据零点存在定理判断;(2)作出函数的图象,根据函数图象与x轴的交点情况判断. 例1 (1)函数f(x)=x3+x-1的零点所在的区间为 (　 ) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)=lg(x-1)+x-3,则函数f(x)的零点所在的区间是 (　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 变式 (1)设f(x)=2x+x-4,则函数f(x)的零点所在的区间为 (　 ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)函数f(x)=-ln x的零点所在的区间是 (　 ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,+∞) ◆ 题型二　与函数零点个数有关的问题 [类型总述] (1)求函数的零点个数;(2)利用函数的零点个数求参数的取值范围. 例2 (1)函数f(x)=x2+ln x-2021的零点个数是 (　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有3个不同的零点,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,4) B.(0,+∞) C.(0,3) D.(3,4) (3)[2023·天津卷] 若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　　　　　　　　.  变式 (1)[2023·江西铜鼓中学高一月考] 函数f(x)=log2(x+4)-3x的零点个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知λ∈R,函数f(x)=若f(x)的图象与x轴恰好有2个交点,则λ的取值范围是　　　　　.  例3 已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是 (　 ) A. B. C.(-∞,0] D.(-∞,0) 变式 [2023·湖南长沙高一期末] 已知a>1,x1,x2分别是函数f(x)=ex+x-a与g(x)=ln x+x-a的零点,若m=+x2,则m的取值范围为　　　　.  ◆ 题型三　利用二分法求方程的近似解 [类型总述] 对于一些没有求根公式的方程,可考虑利用二分法求其近似解. 例4 用二分法逐次计算函数f(x)=ln x+x在区间[0.5,1]内的一个零点附近的函数值,所得数据如下: x 0.5 1 0.75 0.625 0.562 5 f(x) -0.193 1 0.462 0.155 -0.013 则方程ln x+x=0的一个近似根(精确度为0.1)为 (　 ) A.0.56 B.0.57 C.0.65 D.0.8 变式 [2023·江苏淮安高一期末] 已知函数f(x)=x3+x-1在(0,1)内有一个零点,且求得f(x)的部分函数值如下表所示: x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.687 5 0.656 25 f(x) -1 1 -0.375 0.172 -0.131 0.012 -0.061 要使f(x)零点的近似值的精确度为0.1,则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为 (　 ) A.6次,0.75 B.5次,0.65 C.4次,0.65 D.4次,0.55 ◆ 题型四　实际问题的函数建模 [类型总述] 函数模型是高考常考的考点,涉及的实际问题较广,解题的关键是把实际问题转化为数学问题,题目难度中等. 例5 [2023·大连育明高级中学高一期中] 某种热饮需用开水冲泡,其基本操作流程如下:①先将水加热到100 ℃,水温y(单位:℃)与时间t(单位:min)近似满足一次函数关系;②用开水将热饮冲泡后在室温下放置,水温y与时间t近似满足的函数关系式为y=80+b(a,b为常数), 通常这种热饮在40 ℃时,口感最佳.某天室温为20 ℃时,冲泡热饮的部分数据如图所示,那么按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用,需要的时间为(　 ) A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min 变式 (1)[2023·北京朝阳区高一期末] 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润为100元,要使生产100千克该产品获得的利润最大,该厂应选取的生产速度是 (　 ) A.2千克/小时 B.3千克/小时 C.4千克/小时 D.6千克/小时 (2)[2023·江苏扬州一中高一期中] 著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,则t min后物体的温度θ(单位:℃)满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若常数k=0.05,空气温度为30 ℃,则某物体的温度从120 ℃下降到40 ℃,大约需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1) (　 ) A.36 min B.39 min C.40 min D.44 min 学科网（北京）股份有限公司 $