单元素养测评卷(四) 第4章 对数运算与对数函数-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本卷为高中数学第四章（对数与对数函数）单元素养测评卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，结合环保情境（如废气过滤问题）考查对数运算、函数性质及应用，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|对数运算（如3ᵐ=2求m·log₄3）、定义域（含分式对数函数）|基础概念与运算，梯度合理| |多选|3/18|函数奇偶性（偶函数logₐ|x-b|单调性）、恒成立问题|综合性质判断，培养推理意识| |填空|3/15|函数定点（logₐ(2x-3)+1）、指数对数互化（3ᵃ=5ᵇ=A）|核心技能直接考查| |解答|5/77|环保情境应用（废气过滤P=P₀e⁻ᵏᵗ）、奇函数性质与方程有解|现实问题建模，发展应用意识与逻辑推理|

单元素养测评卷(四)  第四章 时间:120分钟　分值:150分 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知3m=2,则mlog43= (　　) A. B.2 C.- D.-2 2.[2024·四川广安高一期末] 函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为 (　　) A.(1,+∞) B.[1,2)∪(2,+∞) C.(0,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,+∞) 3.已知a>b>1,若logab+logba=,a3b=ba,则b= (　　) A. B.2 C.3 D.27 4.已知函数f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(0,3) D.(1,+∞) 5.已知函数f(x)=log2x,则方程[f(x)]2=2+log4的解为 (　　) A. B.或 C.或2 D.2或 6.[2024·江西抚州高一期中] 若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在区间[a,4a2]上的最大值比最小值大2,则a=(　　) A.4或 B.4或 C.2或 D.2或 7.设函数f(x)=ln(|x|+1)-,则使得f(x-2)>f(2x+1)成立的x的取值范围是 (　　) A. B. C.∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪ 8.[2024·山东临沂一中高一期末] 已知x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,则 (　　) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x1<x2 D.x3<x2<x1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 (　　) A.设a>0,则= B.已知3a+b=1,则=3 C.已知a>0,且a≠1,若loga2=m,loga5=n,则a2m+n=20 D.+=lg 3 10.[2024·广东江门高一期末] 已知偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递减,则 (　　) A.b=0 B.0<a<1 C.f(b-2a)>f(a2+1) D.f(b-2a)<f(a2+1) 11.[2024·江苏天一中学高一期末] 若对任意n∈N*,不等式(nx-6)ln≥0恒成立,则实数x可取 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数f(x)=loga(2x-3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是　　　　.  13.已知3a=5b=A,且b+a=2ab,则A的值是　　　　.  14.[2024·河南南阳高一期中] 已知实数m,n满足则mn=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)求值:(lg 5)2+lg 50×lg 2+eln 3+; (2)若60a=3,60b=5,求1的值. 16.(15分)[2024·江西赣州南康中学高一期中] 已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1). (1)求函数y=f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数y=f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合. 17.(15分)[2024·云南迪庆高一期末] 绿水青山就是金山银山,“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间,在生产生活中更应该注重对环境的保护.为了减少工厂废气排放的影响,工厂可以采用一些技术来减少废气排放,也可以改变生产工艺来减少废气排放.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/m3)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正常数.已知该工厂产生的废气在过滤过程中前5 h消除了10%的污染物. (1)过滤10 h后废气中还剩百分之多少的污染物? (2)要使废气的污染物减少50%需要过滤多少小时?(结果精确到整数;参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 18.(17分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1-3x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当x∈[2,8]时,方程f[(log2x)2]+f(4-alog2x)=0有解,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数g(x)=loga,h(x)=loga(x-a),其中a>0,且a≠1. (1)若对于任意的x∈[2a,4a],g(x)≤1-h(x)恒成立,求实数a的取值范围. (2)设f(x)=g(x)+h(x),在(1)的条件下,是否存在m,n∈(a,+∞),使f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[logan,logam]?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,试说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(四) 1.A　[解析] 因为3m=2,所以m=log32,所以mlog43=log32·log43=log32·=.故选A. 2.D　[解析] 要使函数有意义,则解得x>1,且x≠2.故函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为(1,2)∪(2,+∞).故选D. 3.C　[解析] 设t=logba,则t>1,+t=,解得t=3或t=(舍去),∴logba=3,∴a=b3.又∵a3b=ba,∴(b3)3b=,∴9b=b3,由b>1可得b=3.故选C. 4.B　[解析] 由于a>0且a≠1,所以y=3-ax为减函数,根据复合函数的单调性可知a>1,所以解得1<a<3.故选B. 5.C　[解析] 因为log4=lo=log2=(log2x-1),[f(x)]2=2+log4,所以(log2x)2-log2x-=0,解得log2x=-1或log2x=.当log2x=-1时,x=2-1=;当log2x=时,x==2.综上所述,原方程的解为x=或x=2.故选C. 6.A　[解析] 由题意得a<4a2,解得a>或a<0(舍去),所以a>且a≠1.①当a>1时,函数f(x)=logax在定义域内为增函数,则由题意得loga(4a2)-logaa=2,所以loga(4a)=2,即a2=4a,解得a=4或a=0(舍去);②当<a<1时,函数f(x)=logax在定义域内为减函数,则由题意得logaa-loga(4a2)=2,所以loga=2,即a2=,解得a=.综上可得a=4或a=.故选A. 7.B　[解析] 因为对任意的x∈R,|x|+1≥1,x2+1≥1恒成立,所以函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)=ln(|-x|+1)-=ln(|x|+1)-=f(x),所以函数f(x)为偶函数.因为函数y=ln(|x|+1),y=-在[0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(x-2)>f(2x+1)等价于f(|x-2|)>f(|2x+1|),可得|x-2|>|2x+1|,两边平方得(x-2)2>(2x+1)2,整理得3x2+8x-3<0,解得-3<x<,故所求x的取值范围是.故选B. 8.B　[解析] 若a>b>0,m>0,则-=>0,即>,而x1=log32=,x2==,x3==,lg 3>lg 2>0,lg 5>0,所以x2=>x1=,x3=>x1=,又x2-x3=-=>0,所以x2>x3,所以x1<x3<x2.故选B. 9.ABC　[解析] 对于A,====,故A正确;对于B,==33a+b=3,故B正确;对于C,由loga2=m,loga5=n,可得am=2,an=5,则a2m+n=(am)2an=20,故C正确;对于D,+=+=log94+log35=log32+log35=log310,故D错误.故选ABC. 10.AD　[解析] f(x)=loga|x-b|为偶函数,则 f(-x)=loga|-x-b| =loga|x-b|=f(x),所以|-x-b|=|x-b|,解得b=0,所以f(x)=loga|x|,易知y=|x|在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,又f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递减,所以由复合函数的单调性知a>1,故A正确,B错误;f(b-2a)=f(-2a)=f(2a),因为a>1,所以2a>2,a2+1>2,则a2+1-2a=(a-1)2>0,所以a2+1>2a,又f(x)=loga|x|在[0,+∞)上单调递增,所以f(a2+1)>f(2a),所以f(b-2a)<f(a2+1),故C错误,D正确.故选AD. 11.BC　[解析] 当x=1,n=2时,(nx-6)ln=-4ln 2<0,不满足不等式(nx-6)ln≥0恒成立,故A错误;当x=2时,不等式即为(2n-6)ln≥0,当n=1,2,3时,原不等式成立,当n≥4时,原不等式恒成立,故B正确;当x=3时,不等式即为(3n-6)ln≥0,当n=1,2,3时,原不等式成立,当n≥4时,原不等式恒成立,故C正确;当x=4时,不等式即为(4n-6)ln≥0,当n=2时,8-6=2,ln<0,不满足原不等式恒成立,故D错误.故选BC. 12.(2,1)　[解析] 令2x-3=1,解得x=2,又f(2)=1,所以点P的坐标是(2,1). 13.或1　[解析] 由3a=5b=A,得A>0,a=log3A,b=log5A.当a=b=0时,A=1,满足条件.当ab≠0时,A>0且A≠1,由b+a=2ab,得+=2,从而+=2,即logA3+logA5=logA15=2,得A=.故A=或A=1. 14.e2　[解析] 由1+ln m=e2-ln m可得1+ln m=e3-(1+ln m),记g(x)=x-e3-x,由于函数y=x,y=-e3-x在R上均单调递增,所以g(x)=x-e3-x在R上单调递增.由n=e3-n可得g(n)=n-e3-n=0,又g(1+ ln m)=1+ln m-e3-(1+ln m)=0,因此1+ln m=n.由n=e3-n可得ln n=3-n, 所以ln n+ln m=(3-n)+(n-1)=2,可得mn=e2. 15.解:(1)(lg 5)2+lg 50×lg 2+eln 3+=(lg 5)2+(lg 5+lg 5+lg 2)×lg 2+3+ =(lg 5)2+2lg 5×lg 2+(lg 2)2+3+=(lg 5+lg 2)2+3+=. (2)由题设知a=log603,b=log605,得1-b=1-log605=log6012,1-a-b=1-log603-log605=log604,∴===log122,则1=1=2. 16.解:(1)由解得-1<x<1, 所以函数y=f(x)+g(x)的定义域为(-1,1). (2)因为f(-x)+g(-x)=loga(1-x)+loga(1+x)=g(x)+f(x), 所以函数y=f(x)+g(x)为偶函数. (3)由f(x)+g(x)<0,得loga(x+1)+loga(1-x)<0, 即loga[(x+1)(1-x)]<0. ①当a>1时,由loga[(x+1)(1-x)]<0得(x+1)(1-x)<1,即x2>0,即x≠0, 又因为x∈(-1,1),所以使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合是{x|-1<x<0或0<x<1}; ②当0<a<1时,由loga[(x+1)(1-x)]<0得(x+1)(1-x)>1,即x2<0,无解,所以使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合是⌀. 17.解:(1)令t=0,得P=P0·e-k·0=P0. 令t=5,得P=P0·e-5k,则=90%,即e-5k=0.9. 令t=10,得P=P0·e-10k,则=e-10k==0.92=0.81, 即过滤10 h后废气中还剩81%的污染物. (2)设废气的污染物减少50%需要过滤t0 h,则有=0.5,两边取以e为底的对数, 得-kt0=ln 0.5,由(1)知k=-ln 0.9,则t0=-=-==≈33, 即要使废气的污染物减少50%大约需要过滤33 h. 18.解:(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-3-x, ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-1+3-x. 又当x=0时,f(0)=0,∴f(x)= (2)由f[(log2x)2]+f(4-alog2x)=0,可得f[(log2x)2]=-f(4-alog2x).∵f(x)是奇函数,∴f[(log2x)2]=f(alog2x-4). 又易知f(x)是R上的减函数,∴(log2x)2-alog2x+4=0当x∈[2,8]时有解.令t=log2x,x∈[2,8],则t∈[1,3],∴t2-at+4=0当t∈[1,3]时有解,则a=t+当t∈[1,3]时有解.设g(t)=t+,t∈[1,3],易知函数g(t)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,∴g(t)min=g(2)=4,又g(1)=5,g(3)=,∴g(t)max=5,∴g(t)∈[4,5]. ∴实数a的取值范围为[4,5]. 19.解:(1)因为对于任意的x∈[2a,4a],g(x)≤1-h(x)恒成立, 所以[g(x)+h(x)]max≤1,令F(x)=g(x)+h(x), 则F(x)=loga=loga, 易知函数y=-在[2a,4a]上单调递增. ①若0<a<1,则F(2a)≤1,所以loga≤1, 可得-≥a, 则a≥0,解得a≥或a≤0.又0<a<1,所以≤a<1. ②若a>1,则F(4a)≤1,所以loga≤1, 可得-≤a,则a≤0,解得0≤a≤,又a>1,所以不合题意,舍去. 综上,a的取值范围为. (2)假设存在m,n满足题意,由(1)知≤a<1, 所以f(x)在(a,+∞)上是减函数, 则所以 则m,n是方程x2-ax+=x的两个大于a的不等实根. 设H(x)=x2-x+,其图象的对称轴方程为x=a+,由题意得解得a<-6-4或4-6<a<0,又≤a<1,所以无解. 综上,不存在满足题意的实数m,n. 学科网（北京）股份有限公司 $