第4章 对数运算与对数函数 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了对数与指数的概念、运算性质、函数图象及应用，通过知识网络将对数与指数的定义、运算、函数性质等核心内容串联，结合知识辨析判断题强化概念理解，构建完整的知识逻辑脉络。 其亮点在于素养提升模块分题型设计，如指对数函数实际应用题培养数学语言表达能力，变式训练和综合题发展数学思维，知识辨析强化数学眼光。分层题型适合个性化复习，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

本章总结提升 1 ◆ 知识网络 ◆ 知识辨析 ◆ 素养提升 题型一 对数式的化简与求值 题型二 对数函数的图象 题型三 对数函数性质的综合应用 题型四 函数的综合应用 题型五 指、对数函数的实际应用 2 知 识 网 络 3 判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”） 1. .( ) √ [解析] . 2.函数和 都是对数函数.( ) × [解析] 根据对数函数的定义知，两个函数都不是对数函数. 知 识 辨 析 4 3. .( ) √ [解析] ，， 4.函数与且的图象关于 轴对称.( ) √ [解析] 因为，所以函数与的图象关于 轴对称. 知 识 辨 析 5 5.函数与 互为反函数.( ) √ [解析] 同底的指数函数与对数函数互为反函数. 6.已知，则 .( ) √ [解析] 因为，所以 ， 即，解得或. 由已知等式知，, , ，所以不符合题意，所以 . 知 识 辨 析 6 7.函数的单调递增区间是 .( ) √ [解析] 因为，所以 是定义域上的减函数， 而恒成立且函数的单调递减区间为 ， 所以函数的单调递增区间是 . 8.函数且在 上的最大值与最小值的差是1，则实 数 .( ) × [解析] 分两种情况讨论：①当时，有，解得 ； ②当时，有，解得.故或 . 知 识 辨 析 7 题型一 对数式的化简与求值 ［类型总述］（1）对数的运算性质;（2）换底公式及常用结论. 例1（1） 若，则 ___. [解析] , , . （2） ____. 10 [解析] . 素 养 提 升 8 （3）已知,,则可以用， 表示为_____. [解析] 由,得,又,所以 . 素 养 提 升 9 变式（1） __. [解析] . （2）已知,,则 ___．（用数字作答） [解析] ,, , . 素 养 提 升 10 题型二 对数函数的图象 ［类型总述］（1）含对数式的函数图象的画法；（2）函数图象经过的特殊点； （3）底数对函数图象的影响；（4）简单的图象变换. 例2 [2024·长春三中高一期中]已知，则函数 与函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 素 养 提 升 11 [解析] 因为，所以，所以 ， 故与函数 单调性相同，且二者图象关于直线 对称. 因为选项A，C，D中图象表示的函数单调性不同， 选项B中图象表示的函数单调性相同，且关于直线 对称，所以选B. 素 养 提 升 12 变式（1） 已知，函数 的图象如 图所示，则函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. [解析] 由题图可知，故函数 在定义域上是增函数，排除A，D. 令，得,因为，所以，易知 的 图象过定点 ，排除C.故选B. 素 养 提 升 13 （2）函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. [解析] 依题意，的图象由函数 的图象向上平移1个单位长度得到. 因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 又 ，所以当时，函数单调递减， 由对称性知，当时，函数 单调递增，排除B,C. 当时， ,排除D.故选A. 素 养 提 升 14 题型三 对数函数性质的综合应用 ［类型总述］（1）与对数函数有关的单调性、最值及不等式问题;（2）利用单 调性比较大小. 例3（1） 设,, ，则( ) A A. B. C. D. [解析] 根据题意，因为， 且 ，，所以 .故选A. 素 养 提 升 15 （2）（多选题）已知且 ，则下列不等式恒成立的是 ( ) ABC A. B. C. D. [解析] 且,, ,故A恒成立； 由题意可得, ,故B恒成立； 由题意可得,,, , ,故C恒成立； 由于,, ,故与的大小关系不确定， 故D不一定成立.故选 . 素 养 提 升 16 变式（1） 若,, ,则( ) B A. B. C. D. [解析] 易知,, .故选B. （2）[2024·广州南武中学高一期末] 已知,, ，则 ,,的大小关系是__________.（用“ ”表示） [解析] 因为,, ， 所以，又 ， 故，则.同理可得，则 . 素 养 提 升 17 例4 若函数在区间 上的最大值是最小值的3 倍，则 _ _______. 或 [解析] 当时，对数函数是减函数， 函数在区间上的最大值是 ， 最小值是，，可得，可得. 当 时，对数函数是增函数， 函数在区间 上的最小值是，最大值是， ，可得 ，可得.综上可得或 ． 素 养 提 升 18 变式 已知函数，则不等式 的解集是 __________ _______. [解析] 的定义域为 ， 易知， . 由，可得， 则 的图象在 的图象上方时， 对应点的横坐标组成不等式的解集. 画出, 的图象，如图所示， 由图可知，不等式 的解集是 . 素 养 提 升 19 题型四 函数的综合应用 ［类型总述］ 对数函数与二次函数、不等式、指数函数结合. 例5（1） （多选题）[2024·湖南株洲三中高一期末] 已知函数 ， 则下列说法正确的是( ) ABC A.的定义域为 B. 为奇函数 C.在定义域上是减函数 D. 为偶函数 素 养 提 升 20 [解析] 对于函数，令，得 ， 解得，所以函数的定义域为 ，故A正确； 因为，所以 为奇函数， 故B正确，D错误； 因为在上单调递减， 在定义域上单调递增， 所以在定义域上是减函数，故C正确.故选 . 素 养 提 升 21 （2）[2024·江西景德镇高一期末] 已知函数 ，且 ． ①当时，求函数 的单调区间. 解：由题意可得解得 ， 则函数的定义域为 . 当时， . 令，则，易知函数在 上单调递增. 素 养 提 升 22 函数图象的对称轴为直线 ， 则当时，函数在上单调递增， 在 上单调递减． 所以由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 . 素 养 提 升 23 ②是否存在实数，使得函数在区间 上取得最大值2？若存在，请求 出 的值；若不存在，请说明理由． 解：，且 . 令 ， 由，得，则在 上的取值范围为 . 素 养 提 升 24 当时，在 上单调递减， 所以函数在上的最大值为 ， 则，所以，可得，显然 ，满足题意. 当时，在 上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为 ， 则，所以，可得，显然 ，满足题意． 综上所述，存在满足题意的，且的值为或 . 素 养 提 升 25 变式 已知函数且 . （1）求函数 的定义域； 解：当时，由，得， 当时，由 ，得 . 综上，当时，函数的定义域为 ； 当时，函数的定义域为 . 素 养 提 升 26 （2）当时，解关于的不等式 ； 解：由（1）知的定义域为 ， 任取 ， 则 ， 所以函数为 上的增函数. 由，知 故关于的不等式的解集为 . 素 养 提 升 27 （3）当时，若不等式对任意实数 恒成立， 求实数 的取值范围. 解：设 ，， 易知在上单调递增， 又 为增函数，所以在上单调递增， 故 . 因为对任意实数 恒成立， 所以，故实数的取值范围为 . 素 养 提 升 28 题型五 指、对数函数的实际应用 ［类型总述］（1）已知函数模型解应用题;（2）选择函数模型解应用题. 例6（1） 某种汽车安全行驶的稳定性系数 随使用年数 的变化规律是 ，其中, 是大于0的常数．经检测，当时， ，则当 稳定性系数降为 时，该种汽车已使用的年数约为（结果精确到1，参考数 据：， ）( ) D A.10 B.11 C.12 D.13 [解析] 由，得. 令 ，得，两边取常用对数， 得，所以 ．故选D. 素 养 提 升 29 （2）某机构建立了一个应用心理学的学习平台，该平台积极服务广大群众，从建 立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进 行学习.已知经过年，平台会员的人数为万人，与 的一组数据如下表所示： 1 2 3 14 20 29 （i）给出下列三种模型： ， ， .从中选择一 个恰当的模型建立关于 的函数关系式. 素 养 提 升 30 解：从表格中的数据可知，函数是一个增函数，故①不符合题意， 因为数据增长的速度越来越快，而模型②中函数增长的速度越来越慢， 所以②不符合题意， 所以应选择 . 代入表格中的数据可得可得 所以关于的函数解析式为， ． 素 养 提 升 31 （ii）根据 中求得的函数模型，计算经过多少年平台会员人数首次超过66万人？ 参考数据：， ． 解：由可知，，可得 ． 所以，则 ， 所以经过6年，平台会员人数首次超过66万人. 素 养 提 升 32 变式 （多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级 来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数 是听觉下 限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为 , , ，则( ) ACD A. B. C. D. 素 养 提 升 33 [解析] 方法一：由题意可得燃油汽车的声压级 ， 所以,. 同理，, ，. 对于A，由表知，可得 ，故A正确； 对于B，得，所以 ，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D， 得，即,即， 故D正确.故选 . 素 养 提 升 34 方法二：因为 ， 所以， 又因为 ，所以，即，所以 ，故A正确； 同理， ， 因为，所以，即 ， 所以，则，故B错误； 素 养 提 升 35 因为，所以 ，则，即， 所以，故C正确； 因为 ，即， ·所以，即， 故D正确.故选 . 素 养 提 升 36 $