单元素养测评卷(三) 第3章 指数运算与指数函数-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本卷为高中数学第三章单元复习测评卷，通过基础巩固与创新应用结合，全面考查指数函数性质、函数定义域值域、实际问题建模等核心知识，适配单元复习的素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|指数函数图像（题2）、定义域（题3）、比较大小（题6）|结合放射性核素半衰期（题7）等科学情境，考查数学眼光| |填空题|3题/15分|函数定点（题12）、指数运算（题13）|基础与能力结合，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|函数奇偶性（题15）、最值（题16）、药熏消毒应用（题17）、有界函数新定义（题19）|设置实际问题建模与创新定义题，培养应用意识与逻辑推理能力|

单元素养测评卷(三)  第三章 时间:120分钟　分值:150分 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.化简(a>0)的结果为 (　　) A. B. C. D. 2.函数y=-3x的图象 (　　) A.与y=3x的图象关于y轴对称 B.与y=3x的图象关于坐标原点对称 C.与y=3-x的图象关于y轴对称 D.与y=3-x的图象关于坐标原点对称 3.函数y=+的定义域为 (　　) A.[-2,1) B.(-∞,1) C.(-2,1) D.(1,2) 4.函数y=的值域为 (　　) A. B. C. D.(0,2] 5.函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的大致图象如图所示,a,b,c,d都是集合中的一个元素,则a,b,c,d的值分别是 (　　) A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 6.[2024·江西信丰中学高一月考] 已知a=0.32,b=20.1,c=30.2,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 7.[2024·重庆九龙坡区高一期中] 放射性核素锶-89的质量M会按某个衰减率衰减,设初始质量为M0,质量M与时间T(单位:天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数),若锶-89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天,那么质量为M0的锶-89经过30天衰减后质量约为(参考数据:20.6≈1.516) (　　) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 8.[2024·江苏盐城联盟校高一月考] 若实数x1,x2,x3满足x1·=x1·=5,则下列不等关系不可能成立的是 (　　) A.x1<x2<x3 B.x2<x3<x1 C.x1<x3<x2 D.x3<x1<x2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是 (　　) A.y=- B.y=-2x C.y=x2 D.y= 10.[2024·河南漯河高级中学高一月考] 已知+=3,下列各式中正确的是 (　　) A.+=5 B.+=18 C.+= D.+=2 11.已知函数f(x)=1,则下列结论正确的是 (　　) A.当t=2时,f(x)的值域为(1,+∞) B. f(x)的单调递减区间为(-∞,1] C. f(x)的图象关于直线x=1对称 D.若当x∈R时,x2-2x+t>0恒成立,则实数t的取值范围是[1,+∞) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知a>1且a≠2,函数y=(a-1)x-1+1的图象必过定点A(m,n),则m+n=　　　　.  13.[2024·甘肃陇南高一期末] 设a=100.2,则的值为　　　　.  14.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2024·辽宁县级重点高中协作体高一期末] 已知f(x)=(a>0且a≠1)是定义在R上的偶函数. (1)求m的值; (2)若f(x)在[0,1]上的最大值比最小值大,求a的值. 16.(15分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1-6(0≤x≤3). (1)求函数f(x)的最大值和最小值; (2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围. 17.(15分)为了预防流行感冒,某中学对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比,药物释放完毕后,y与x之间的函数关系式为y=(a为常数).根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室? 18.(17分)已知函数f(x)=. (1)当b=1时,求满足f(x)=3x的x的值; (2)当b=3时,若存在t∈R,使得不等式f(t2-2t)<f(2t2-k)有解,求k的取值范围. 19.(17分)[2024·广东广州执信中学高一月考] 定义在区间D上的函数h(x),若对任意x∈D,存在常数M>0,都有|h(x)|≤M成立,则称h(x)是区间D上的有界函数,其中M称为函数h(x)的上界.已知函数f(x)=(m≠-1). (1)当m=1时,判断函数f(x)(x∈R)是否为有界函数,并说明理由; (2)若f(x)在[1,2]上是以为上界的函数,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(三) 1.B　[解析] ====.故选B. 2.D　[解析] 因为函数y=-3x的图象与函数y=3x的图象关于x轴对称,与函数y=3-x的图象关于坐标原点对称,所以A,B,C都不正确,故选D. 3.A　[解析] 由题意得得所以-2≤x<1.故选A. 4.A　[解析] ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,且y=是R上的减函数,∴≤,即≥,∴函数y=的值域为,故选A. 5.C　[解析] 直线x=1与所给函数图象的交点的纵坐标从大到小依次为c,d,a,b,因为>>>,所以c=,d=,a=,b=.故选C. 6.B　[解析] 因为y=0.3x在R内单调递减,所以0<0.32<0.30=1,即0<a<1.因为y=2x在R内单调递增,所以20<20.1<20.2,即1<b<20.2.因为y=x0.2在(0,+∞)内单调递增,所以20.2<30.2,即20.2<c.综上所述,a<b<c.故选B. 7.D　[解析] 由题意,锶-89的半衰期约为50天,即M0≈M0·,则H≈50,所以质量为M0的锶-89经过30天衰减后质量约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0.故选D. 8.A　[解析] 由题意知,x1>0,所以==, 设===t(t>0),在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=(x>0)的图象和直线y=t(t>0),如图所示,易知x1,x2,x3分别为函数y=,y=2x,y=3x的图象与直线y=t(t>0)的交点的横坐标.由图可得x1,x2,x3的大小关系可能为x2<x3<x1,x2=x3<x1,x3<x2<x1,x3<x2=x1,x3<x1<x2,x3=x1<x2,x1<x3<x2,故B,C,D可能成立,A不可能成立.故选A. 9.BD　[解析] 对于选项A,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以A不符合题意;对于选项B,y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以y=-2x在(0,+∞)上单调递减,所以B符合题意;对于选项C,y=x2在(0,+∞)上单调递增,所以C不符合题意;对于选项D,y=在(0,+∞)上单调递减,所以D符合题意.故选BD. 10.BCD　[解析] +=(+)2-2=9-2=7,故A不正确;+=(+)(-+)=3×(7-1)=18,故B正确;+====,故C正确;+=·+=+=(+)(+-)=×(3-1)=2,故D正确.故选BCD. 11.BC　[解析] 对于A,当t=2时,f(x)=1=1≥101=10,故A错误.对于B,f(x)=1=1,因为u=(x-1)2+t-1的单调递减区间为(-∞,1],y=10u在定义域上为增函数,所以由复合函数的单调性可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,1],故B正确.对于C,因为u=x2-2x+t=(x-1)2+t-1的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=1的图象关于直线x=1对称,故C正确.对于D,因为当x∈R时,x2-2x+t>0恒成立,所以Δ=(-2)2-4t<0,解得t>1,故D错误.故选BC. 12.3　[解析] 令x-1=0,得x=1,y=2,则函数图象必过定点A(1,2),所以m=1,n=2,故m+n=3. 13.100　[解析] 因为a=100.2,所以a5=100.2×5=10,则=a10=(100.2)10=102=100. 14.　[解析] 因为当x≥1时,f(x)=2x-1≥1,且f(x)的值域为R,所以解得0≤a<,即实数a的取值范围为. 15.解:(1)f(x)为定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x)对x∈R恒成立, 所以=,即x2-mx=x2+mx对x∈R恒成立,解得m=0. 故m的值为0. (2)由(1)可得f(x)=(a>0且a≠1). 当a>1时,f(x)在[0,1]上单调递增, 则f(1)-f(0)=a-1=,解得a=; 当0<a<1时,f(x)在[0,1]上单调递减, 则f(0)-f(1)=1-a=,解得a=. 故a的值为或. 16.解:(1)f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3),令t=2x, ∵0≤x≤3,∴1≤t≤8, 令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8). 易知当t∈[1,2]时,h(t)单调递减;当t∈(2,8]时,h(t)单调递增. 又h(1)=-9,h(8)=26,∴f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26. (2)∵f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,∴a≤f(x)min.由(1)知f(x)min=-10,∴a≤-10,故a的取值范围为(-∞,-10]. 17.解:(1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx,则1=0.1k,解得k=10. 又由1=,解得a=0.1.所以y= (2)令<0.25,即<, 得2x-0.2>1,解得x>0.6, 即至少需要经过0.6 h后,学生才能回到教室. 18.解:(1)当b=1时,f(x)=.由f(x)=3x,可得3×(3x)2+2×3x-1=0,可得3x=或3x=-1(舍去),解得x=-1. (2)当b=3时,f(x)==. 对任意x1,x2∈R且x1<x2,有f(x1)-f(x2)==×,因为x1<x2,所以->0, 又+1>0,+1>0,所以f(x1)>f(x2), 因此f(x)在R上为减函数. 因为f(t2-2t)<f(2t2-k),所以t2-2t>2t2-k, 由题意知t2+2t-k<0(t∈R)有解,所以Δ=4+4k>0,解得k>-1, 所以k的取值范围为(-1,+∞). 19.解:(1)当m=1时,f(x)===-1, 由x∈R知2x>0,则1+2x>1,于是0<<2,则-1<-1<1, 故当x∈R时,-1<f(x)<1,即|f(x)|<1, 所以函数f(x)(x∈R)为有界函数. (2)因为f(x)在[1,2]上是以为上界的函数,所以|f(x)|≤对x∈[1,2]恒成立. 则-≤f(x)≤对x∈[1,2]恒成立,即-≤≤对x∈[1,2]恒成立, 所以 即 即不等式组对x∈[1,2]恒成立. 因为y=2x+1在R上单调递增,且y>0恒成立, 所以y=-在[1,2]上单调递减,其最大值为-, y=+在[1,2]上也单调递减,其最小值为, 所以即-≤m≤, 故实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $