第3章 指数运算与指数函数 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第三章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知＝4，则x＝(　　) A．± B．±8 C. D．±2 答案　A 解析　由题意得＝，所以x2＝，解得x＝±.故选A. 2．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x＋1)的图象大致是(　　) 答案　B 解析　根据题意得f(x＋1)＝＝×，∴y＝f(x＋1)单调递减，同时f(0＋1)＝＜1，即函数图象与y轴交点在点(0，1)之下，A，D选项的图象为增函数，不符合，C选项的图象与y轴交点在点(0，1)之上，不符合．故选B. 3．若<<<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．ba<aa<ab C．ab<aa<ba D．ba<ab<aa 答案　B 解析　由<<<1得0<b<a<1，则由指数函数y＝ax的单调性可知aa<ab，由幂函数y＝xa的单调性可知ba<aa，综上所述，ba<aa<ab. 4．设函数f(x)＝，则函数f的定义域为(　　) A．(－∞，4] B. C．(0，4] D. 答案　A 解析　因为f(x)＝，所以f＝，因为4－4≥0，所以4≤4，即≤1，则x≤4，所以函数f的定义域为(－∞，4]．故选A. 5．函数f(x)＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．[2，＋∞) D．[2，3] 答案　B 解析　令g(x)＝，由题中的复合函数的底数大于0且小于1，知要求g(x)＝的增区间．画出二次函数y＝－x2＋4x－3的图象如图所示．由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤2.故选B. 6．已知m＝＋x(x>2)，n＝22－x2 (x<0)，则m，n的大小关系是(　　) A．m<n B．m>n C．m≤n D．m≥n 答案　B 解析　因为x＞2，所以x－2＞0，所以m＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．因为2－x2＜2，所以n＝22－x2＜22＝4，所以m＞n.故选B. 7．若3a＋πb≥3－b＋π－a，则(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 答案　D 解析　令f(x)＝3x－π－x，则f(x)在R上单调递增，又3a＋πb≥3－b＋π－a，所以3a－π－a≥3－b－πb，即f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 8．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝4x－2，若对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵g(x)＝4x－2，当x<时，g(x)<0恒成立，当x≥时，g(x)≥0，又∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0在x≥时恒成立，则二次函数f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)的图象开口只能向下，且与x轴交点都在点的左侧，∴即解得－＜m＜0.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列各式化简正确的是(字母均为正数)(　　) A．a－aa＝1 B．(a6b－9)－＝a－4b6 C．(xy－)(xy)(x－y)＝xy D. 答案　ABD 解析　a－aa＝a－＋＋＝a0＝1，A正确；(a6b－9)－＝a6×(－)b－9×(－)＝a－4b6，B正确；(xy－)(xy)(x－y)＝x＋－·y－＋＋＝x0y＝y，C错误；＝－c－2，D正确．故选ABD. 10．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式mg(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的值可以为(　　) A． B．－ C．1 D．－1 答案　ABD 解析　∵g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且g(x)－h(x)＝2x　①，∴g(－x)－h(－x)＝g(x)＋h(x)＝2－x　②，①②两式联立可得，g(x)＝，h(x)＝.由mg(x)＋h(x) ≤0，得m≤＝＝1－，∵y＝1－在[－1，1]上为增函数，∴m≤＝.故选ABD. 11．已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是(　　) A．a＋b>4 B．ab>4 C．(a－1)2＋(b－1)2>2 D．a2＋b2<8 答案　ABC 解析　由3a＝5b＝15，得(3a )b＝15b，(5b)a＝15a，∴3ab＝15b，5ab＝15a，∴3ab·5ab＝15b·15a，即15ab＝15a＋b，∴a＋b＝ab，又a，b为不相等的正数，∴a＋b＞2，∴ab＞2，即ab＞4，故A，B正确；(a－1)2＋(b－1)2>2等价于a2＋b2>2(a＋b)，又a＋b＝ab，则(a－1)2＋(b－1)2＞2等价于a2＋b2>2ab，故C正确；因为a2＋b2>2ab，ab＞4，∴a2＋b2＞8，故D错误．故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________． 答案　1 解析　由指数函数的定义得解得a＝1. 13．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 答案　(－1，0)∪(0，1) 解析　由x＜0，得0＜2x＜1；当x＞0时，－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)． 14．已知f(x)＝ 的定义域为R，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1，0] 解析　∵f(x)＝的定义域为R，∴3x2＋2ax－a－1≥0对任意x∈R恒成立，即3x2＋2ax－a≥1＝30恒成立，即x2＋2ax－a≥0对任意x∈R恒成立，∴方程x2＋2ax－a＝0的Δ＝4a2＋4a≤0，则－1≤a≤0. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)(1)求值：－(－9.6)0－－＋(1.5)－2＋[(－5)4]； (2)已知a＋a－＝3，求a＋a－的值． 解　(1)原式＝－1－＋＋5＝－1－＋＋5＝. (2)因为a＋a－＝3，又a＋a－＝(a)3＋(a－)3＝(a＋a－)(a＋a－1－1)，且a＋a－1＝(a＋a－)2－2＝7，所以a＋a－＝18. 16．(本小题满分15分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围． 解　设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． 因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2. 所以f(x)＝2x. 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)＝，因为g(2x－1)＜g(3x)， 即＜， 所以2x－1＞3x，解得x＜－1， 即x的取值范围为(－∞，－1)． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝－1. (1)作出f(x)的简图； (2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围． 解　(1)f(x)＝ 如图所示． (2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时， 即－＜m＜0时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝3m有两个交点， 即关于x的方程f(x)＝3m有两个解． 所以m的取值范围为. 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)，且＝8. (1)若f(2m－3)<f(m＋2)，求实数m的取值范围； (2)若y＝g(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，g(x)＝－＋，求g(x)的值域． 解　(1)∵＝8，∴＝a3＝8，则a＝2， 即f(x)＝2x，则函数f(x)是增函数， 由f(2m－3)<f(m＋2)，得2m－3<m＋2， 得m<5， 即实数m的取值范围是(－∞，5)． (2)当x≥0时，g(x)＝－＋ ＝－＋ ＝－＋ ＝－＋， ∵x≥0时，2x≥1，则0<≤1， ∴当x≥0时，g(x)的值域为. ∵g(x)是奇函数， ∴当x≤0时，g(x)的值域为. 综上，函数g(x)的值域为. 19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝－. (1)求证：函数f(x)是奇函数； (2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数； (3)求函数f(x)在[1，2]上的值域． 解　(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝. 因为x1＜x2，所以2 x1－2 x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． (3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以函数f(x)在[1，2]上也是增函数， 所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝. 所以函数f(x)在[1，2]上的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$