第二章 函数（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦必修第一册第二章函数，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，结合2025年反法西斯战争胜利80周年阅兵评分等社会热点情境，全面考查函数核心素养，适配单元复习使用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数周期性（第1题）、同一函数判断（第2题）|基础概念与性质应用结合| |多选|3/18|函数最值（第10题A）、新定义“Ω函数”（第11题）|考查批判性思维与创新理解| |填空|3/15|高斯函数值域（第12题）、分段函数值域（第13题）|融合数学文化与抽象能力| |解答|5/77|偶函数解析式与最值（第17题）、阅兵评分建模（第19题）|综合应用与现实情境结合，体现数学建模与运算能力|

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以，得所以是以4为周期的函数，又，所以，又当时，，所以． 2．下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】选项 A，对于 ，定义域为 .对于，定义域为，因此和 的定义域均为R，且对应关系相同.两函数是同一函数，故A正确；选项 B，，由 ，解得或，故定义域为. ，由且，即 ，故定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故B错误；选项 C，对于，定义域为.对于，定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故C错误；选项 D，对于，定义域为.对于，定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故D错误. 3．已知，，若关于的不等式在上恒成立，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，因为，所以在上单调递增.当时，，当时，；因为的图象开口向上，且，所以在上有且仅有一个变号零点，因为在上恒成立，即当时，，当时，， 所以是方程的根，即，解得，因为，所以，当且仅当时等号成立. 4．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知：函数（）为偶函数，图象关于轴对称，且函数在上单调递增，在上单调递减.所以，所以或且，. 即：. 5．奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为奇函数，得，且，所以不等式等价于.根据已知在上单调递增，以及奇函数的对称性，可知在上单调递增，所以，解得. 6．已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为偶函数，，关于直线对称，又在上是增函数，在上是减函数，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，当时，，不合题意；当时，，符合题意；当，即时，，解得：或；综上所述：实数的取值范围为. 7．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，因为是偶函数，是奇函数，所以，联立，解得，又对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，则，所以在上单调递增，①若，则对称轴，解得；②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立；综上，, 8．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中错误的是（    ） A． B．， C．的值域为 D．， 【答案】B 【解析】对于A，，故A正确；对于B，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，则，都有，故B错误；对于C，由选项B知，当时，，当时，，即，，因此函数的值域为，故C正确；对于D，当时，，，， ，当且仅当时取等号， 因此成立，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】当时，由于得到， 则，A错；，B对；，C对；，D错 10．下列说法正确的有（   ） A．函数的最小值为4 B．不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．“”为假命题的充要条件为 【答案】BCD 【解析】对于A，令，可得，由对勾函数单调性可知在单调递增， 所以在上的最小值为，即的最小值为，故A错误； 对于B，当时，恒成立；当时，要使不等式对一切实数x都成立，则，解得，所以实数的取值范围是，故B正确；对于C，函数的定义域为则，所以函数的定义域为，故C正确，对于D，由题意知为真命题，则在时恒成立，令，只需，则，解得，故D正确. 11．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.则（    ） A．若为“函数”，则其图像恒过定点 B．定义在上的函数上不是“函数” C．定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数） D．若为“函数”，则一定是上的增函数 【答案】ABC 【解析】A选项，若为“函数”，由②得，令得，，解得，又由①得，故，则其图像恒过定点，A正确；B选项，，，取，则，故，，不满足，故定义在上的函数上不是“函数”，B正确；C选项，当时，，满足①， 不妨令，其中为整数部分，为小数部分，则，再令，其中为整数部分，为小数部分，则，若，则，若，则，从而有，满足②，故定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数），C正确；D选项，，满足①②，为“函数”，但不是上的增函数，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，，当时，函数的值域为____________. 【答案】 【解析】当时，函数，所以. 13．函数的值域为___________． 【答案】 【解析】，二次项系数，对称轴，所以函数图象开口向上，则在上单调递减，在上单调递增，因为，对称轴在该区间内，所以在处取得最小值为： ，又，，比较与的大小，，所以在处取得最大值，综上，函数在的值域为. 14．已知对任意两个实数，定义，对任意的实数，记，的最大值是__________. 【答案】1 【解析】当，即，解得，所以由函数新定义可得，作出函数图像可得的最大值是1，故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在上单调，且，若对任意的，都有，求及． 15.解：因为对任意，都有，且在单调， 所以是一个常数，不妨设为，..........4分 则，令，得，..........8分 解得或（舍），..........11分 所以，．..........13分 16．（15分）已知函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)若，求的单调区间； (3)若，求的值域. 16.解：（1）当时，， 由于，所以当时，的最小值为...........4分 （2）当时，， 即 所以的单调递减区间为，单调递增区间为...........8分 （3） ①若，则在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，取得最小值为； ②若，由（2）结论可得，的最小值为； ③若，则在上单调递减，在单调递增，..........13分 所以，当时，取得最小值为； 综上，当时，的值域为；当时，的值域为..........15分 17．（15分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求出函数的解析式，画出函数的图象； (2)函数，，的最小值为，求的值． 17.解：（1）解：当时 又函数是定义在R上的偶函数， 所以..........3分 所以函数的解析式为 如图，根据偶函数的图像关于轴对称，可作出的图像； ..........7分 （2） ，对称轴为，开口朝上， 当时，即时，，解得：（舍去），..........11分 当时，即时，， 因为的，故无解. 当时，即时， ，解得： 故的值为...........15分 18．（17分）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)解不等式：. 18.解：（1）由题意，，即，........2分 此时，则， 所以函数为奇函数，所以.........5分 (2)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则，........9分 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增.........12分 （3）由， 即，........13分 由（2）知，函数在上单调递增， 则，解得，........16分 所以不等式的解集为.........17分 19．(17分）2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为函数，其中为训练水平系数，. (1)若，求在上的最小值； (2)若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值. 19.解：（1）若， 当时，的对称轴为，开口向下，........2分 则在上为增函数，在上为减函数 当或时， 时，的最小值为70；........5分 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，因为， 所以当时，. 因为，所以在上的最小值为.........8分 （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，即恒成立， 当时，恒成立， 即，则，即，所以；........11分 当时，恒成立，即， 则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值为696，........15分 故，解得. 综上所述，， 故训练水平系数的最小值为.........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，，若关于的不等式在上恒成立，的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中错误的是（    ） A． B．， C．的值域为 D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） A．函数的最小值为4 B．不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．“”为假命题的充要条件为 11．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.则（    ） A．若为“函数”，则其图像恒过定点 B．定义在上的函数上不是“函数” C．定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数） D．若为“函数”，则一定是上的增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，，当时，函数的值域为____________. 13．函数的值域为___________． 14．已知对任意两个实数，定义，对任意的实数，记，的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在上单调，且，若对任意的，都有，求及． 16．（15分）已知函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)若，求的单调区间； (3)若，求的值域. 17．（15分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求出函数的解析式，画出函数的图象； (2)函数，，的最小值为，求的值． 18．（17分）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)解不等式：. 19．(17分）2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为函数，其中为训练水平系数，. (1)若，求在上的最小值； (2)若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B B A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BCD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：因为对任意，都有，且在单调， 所以是一个常数，不妨设为，..........4分 则，令，得，..........8分 解得或（舍），..........11分 所以，．..........13分 16.解：（1）当时，， 由于，所以当时，的最小值为...........4分 （2）当时，， 即 所以的单调递减区间为，单调递增区间为...........8分 （3） ①若，则在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，取得最小值为； ②若，由（2）结论可得，的最小值为； ③若，则在上单调递减，在单调递增，..........13分 所以，当时，取得最小值为； 综上，当时，的值域为；当时，的值域为..........15分 17.解：（1）解：当时 又函数是定义在R上的偶函数， 所以..........3分 所以函数的解析式为 如图，根据偶函数的图像关于轴对称，可作出的图像； ..........7分 （2） ，对称轴为，开口朝上， 当时，即时，，解得：（舍去），..........11分 当时，即时，， 因为的，故无解. 当时，即时， ，解得： 故的值为...........15分 18.解：（1）由题意，，即，........2分 此时，则， 所以函数为奇函数，所以.........5分 (2)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则，........9分 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增.........12分 （3）由， 即，........13分 由（2）知，函数在上单调递增， 则，解得，........16分 所以不等式的解集为.........17分 19.解：（1）若， 当时，的对称轴为，开口向下，........2分 则在上为增函数，在上为减函数 当或时， 时，的最小值为70；........5分 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，因为， 所以当时，. 因为，所以在上的最小值为.........8分 （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，即恒成立， 当时，恒成立， 即，则，即，所以；........11分 当时，恒成立，即， 则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值为696，........15分 故，解得. 综上所述，， 故训练水平系数的最小值为.........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，，若关于的不等式在上恒成立，的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中错误的是（    ） A． B．， C．的值域为 D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） A．函数的最小值为4 B．不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．“”为假命题的充要条件为 11．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.则（    ） A．若为“函数”，则其图像恒过定点 B．定义在上的函数上不是“函数” C．定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数） D．若为“函数”，则一定是上的增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，，当时，函数的值域为____________. 13．函数的值域为___________． 14．已知对任意两个实数，定义，对任意的实数，记，的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在上单调，且，若对任意的，都有，求及． 16．（15分）已知函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)若，求的单调区间； (3)若，求的值域. 17．（15分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求出函数的解析式，画出函数的图象； (2)函数，，的最小值为，求的值． 18．（17分）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)解不等式：. 19．(17分）2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为函数，其中为训练水平系数，. (1)若，求在上的最小值； (2)若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $