第6章 §4 用样本估计总体的数字特征 4.2 分层随机抽样的均值与方差(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本练习聚焦分层随机抽样的均值与方差，通过基础计算、情境应用到综合探究的三阶设计，强化从单一公式到实际问题解决的思维进阶，培养运算能力与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一均值/权重计算|如第1题两班平均成绩，直接应用分层均值公式，巩固概念理解| |进阶层|分层方差综合运算|如第3题年级阅读时间方差，需结合组内方差与组间差异，提升推理能力| |综合层|实际情境探究|如第13题坐位体前屈成绩分析，整合抽样比例、总均值与总方差计算，培养数据应用意识|

4.2　分层随机抽样的均值与方差 1.B　[解析] 由题知甲班有45人,平均成绩为110分,乙班有55人,平均成绩为90分,所以这两个班全体学生的平均成绩为=99(分),故选B. 2.C　[解析] 数据x1,x2,…,x5,y1,y2,…,y15的平均数是×10+×10=10,则所求方差为×[2+(10-10)2]+×[5+(10-10)2]=4.25,故选C. 3.B　[解析] 由题意,估计高一、高二两个年级学生日阅读时间的平均数=50×+40×=44(分钟),方差s2=[4+(50-44)2]×+[6+(40-44)2]×=29.2.故选B. 4.C　[解析] 由题意,不妨设男生人数为2x,女生人数为3x,估计该校全体学生每天运动时间的平均数为=88(min).故选C. 5.B　[解析] 由=wA+wB,可得2.4=wA×2.3+(1-wA)×2.8,解得wA=. 6.C　[解析] 设该志愿服务队中男性有x人,女性有y人,则根据题意得=32,化简得5x=4y,则x∶y=4∶5.故选C. 7.C　[解析] 由题意可知两个班的数学成绩的平均数==,则两个班数学成绩的方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[2+(-)2]+×[3+(-)2]=×2+×3=2.6(w甲,w乙分别为甲、乙班学生的权重,,分别为甲、乙班数学成绩的方差).故选C. 8.CD　[解析] 由题可知w甲==,w乙==.故选CD. 9.AC　[解析] 由题意可知甲队队员在所有队员中所占权重为=,乙队队员在所有队员中所占权重为=,则=×60+×70=68,s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296.故选AC. 10.29　[解析] 由题可知,1千克的混合糖果里三种糖果的质量分别为千克,千克,千克,则混合后的最合理价格为18×+24×+36×=29(元/千克). 11.(1)　　(2)33　[解析] (1)34的权重是,32的权重是. (2)日最高气温的平均数是×35+×34+×33+×32+×28=33(℃). 12.　[解析] 依题意,抽取的12件零件直径的平均数==100(cm),所以估计该车间这批零件的直径的方差s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×=. 13.解:(1)设在男生、女生中分别抽取m人和n人,则==,解得m=60,n=40. (2)记抽取的总样本的平均数为,可得=×13.2+×15.2=14(cm), 所以抽取的总样本的平均数为14 cm. 记总样本的方差为s2,则s2=×{60×[13.36+(13.2-14)2]+40×[17.56+(15.2-14)2]}=16,所以估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16. 14.解:(1)由表中的数据可得,=×(60+80+70+90+70)=74(分),=×(80+60+70+80+75)=73(分),=×[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104,=×[(80-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56, 因为>,>,所以甲的平均成绩较好,乙的各门功课较平衡. (2)因为甲同学的权重w甲=,乙同学的权重w乙=,所以甲、乙两名同学这5门功课的成绩的总平均分=×74+×73=73.5(分),总方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[104+(74-73.5)2]+×[56+(73-73.5)2]=80.25. 15.(1)甲　(2)乙　[解析] (1)=85×50%+92×50%=88.5,=91×50%+85×50%=88,=80×50%+90×50%=85,所以候选人甲将被录取. (2)甲=85×60%+92×40%=87.8,乙=91×60%+85×40%=88.6,丙=80×60%+90×40%=84,所以候选人乙将被录取. 16.解:(1)由表可知,第4组的频数为50×0.32=16,所以a=50-4-20-16-4=6,b==0.4,第2组的频率为=0.12,c==0.012.估计前50天内每日接待的顾客人数的平均数为25×0.08+35×0.12+45×0.4+55×0.32+65×0.08=47. (2)由题可知,前50天每日接待的顾客人数的平均数=47,方差=104,后50天每日接待的顾客人数的平均数=51,方差=100,故这100天每日接待的顾客人数的平均数为=49,方差s2=×[104+(47-49)2]+×[100+(51-49)2]=106. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　分层随机抽样的均值与方差 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.[2023·江西铜鼓中学高一月考] 已知甲、乙两个班的学生人数分别为45和55,在某次考试中,甲、乙两个班的数学平均成绩分别为110分和90分,则这两个班全体学生的平均成绩为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.98分 B.99分 C.100分 D.101分 2.若数据x1,x2,…,x5的平均数是10,方差是2,数据y1,y2,…,y15的平均数是10,方差是5,则数据x1,x2,…,x5,y1,y2,…,y15的方差是 (　 ) A.2 B.5 C.4.25 D.3.5 3.[2023·安徽宿松中学高一月考] 2023年7月18日,第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动.某校为了迎接此次活动,对本校高一、高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下: 年级 抽查人数 平均日阅读时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 则估计两个年级学生日阅读时间的方差为 (　 ) A.52 B.29.2 C.10 D.6.4 4.某校的男生、女生人数之比为2∶3,按照男、女生人数比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本,样本中男生和女生每天运动时间的平均数分别为100 min和80 min,估计该校全体学生每天运动时间的平均数为 (　 ) A.98 min B.90 min C.88 min D.85 min 5.利用分层随机抽样得到A,B两组数据,其平均数分别是=2.3,=2.8,这两组数据的平均数=2.4,则A组数据在两组数据中的权重wA为 (　 ) A. B. C. D. 6.某志愿服务队中人员的平均年龄为32岁,其中男性平均年龄为37岁,女性平均年龄为28岁,则该志愿服务队中男、女性的人数之比为 (　 ) A.3∶4 B.4∶3 C.4∶5 D.5∶4 7.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表: 班级 人数 平均数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中=,则两个班数学成绩的方差为(　 ) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 8.(多选题)某校有两个兴趣小组,甲小组有30人,平均年龄为16.5岁,乙小组有25人,平均年龄为17.2岁,现要计算两个小组人员的平均年龄,甲、乙小组的权重分别是w甲,w乙,则下列结论正确的是 (　 ) A.w甲=0.3 B.w乙=0.7 C.w甲= D.w乙= 9.(多选题)甲、乙两支田径队队员的体重数据为:甲队队员体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队队员体重的平均数为70 kg,方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,甲、乙两队全部队员的平均体重为 kg,方差为s2,则下列结论正确的是 (　 ) A.=68 B.=65 C.s2=296 D.s2=306 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.[2023·山东菏泽鄄城一中高一月考] 某商场将价格分别为18元/千克,24元/千克,36元/千克的3种糖果按比例1∶2∶3混合销售,混合销售的最合理价格是　　　　元/千克.  11.某市某年7月中旬的日最高气温统计如下: 气温(℃) 35 34 33 32 28 天数 2 3 2 2 1 (1)在这十个数据中,34的权重是　　　　,32的权重是　　　　.  (2)该市这一年7月中旬日最高气温的平均数是　　　　℃.  12.[2023·江西奉新四中高一月考] 某车间有甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中各抽取6件,测得甲、乙两组数据的均值为==100,两组数据的方差分别为=,=1,则估计该车间这批零件的直径的方差s2=　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)[2023·四川成都五中高一月考] 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目,主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中,采用分层随机抽样的方法抽取100人,已知这2000名高二年级学生中男生有1200人,且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36,女生成绩的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56. (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人; (2)求抽取的总样本的平均数,并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. 14.(10分)对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,随机选取5门功课,得到甲、乙这5门功课的成绩(单位:分)如表: 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 (1)甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课较平衡? (2)该班甲、乙两名同学这5门功课的成绩的总平均分和总方差分别是多少? 15.(5分)某校为了招聘一名优秀教师,对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核,现将甲、乙、丙三人的考核分数统计如下表: 候选人 教学技能考核分数 专业知识考核分数 甲 85 92 乙 91 85 丙 80 90 (1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要,那么候选人　　　　将被录取;  (2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要,并分别赋予这两项60%和40%的权重,那么候选人　　　　将被录取.  16.(15分)某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数,将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图(如图). 组别 分组 频数 频率 第1组 [20,30) 4 0.08 第2组 [30,40) a 第3组 [40,50) 20 b 第4组 [50,60) 0.32 第5组 [60,70] 4 0.08 (1)求a,b,c的值,并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数; (2)已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104,在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51,方差为100,估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差. 学科网（北京）股份有限公司 $