第6章 §4 02-4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3百分位数(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体的数字特征”，涵盖分层随机抽样的均值与方差计算、百分位数的确定与应用。课堂导入从简单随机抽样过渡，通过学校学生身高、公司员工体重等现实问题引入分层抽样必要性，再延伸至均值方差计算及百分位数应用，构建完整知识支架。 其亮点在于结合现实情境例题（如学生身高估计、产品质量指标分析），培养数学眼光；通过分层方差公式推导、百分位数计算步骤等解析，发展数学思维；利用数据表格、频率分布直方图呈现数据，训练数学语言。采用题组训练与解题模板，学生提升实际问题解决能力，教师获得丰富教学资源，提高教学效率。

第六章 统计 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　用样本估计总体的数字特征 4.2　分层随机抽样的均值与方差    4.3　百分位数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一    分层随机抽样的均值与方差 1.[2025湖北部分名校期中]某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1 000人、1 200人、800人,用 分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30的样本,若抽出的高一、高二及高三年级学生的 平均身高分别为165 cm、168 cm、171 cm,则估计该校学生的平均身高是 ( ) A.166.4 cm　    B.167.2 cm　     C.167.8 cm　    D.170.0 cm     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　依题意,样本容量为30的样本中,高一年级的学生人数为 ×30=10, 高二年级的学生人数为 ×30=12, 高三年级的学生人数为 ×30=8, 所以估计该校学生的平均身高为 =167.8(cm). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北秦皇岛山海关一中月考]根据表中数据,计算这100名学生身高的方差为 ( )     A     人数 平均身高/cm 方差 男生 60 170 4 女生 40 165 3 A.9.6　    B.9　    C.8.6　    D.8 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题表可得这100名学生的平均身高为 =168(cm). 则方差s2=   = =9.6. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江西乐平三中期末]某校A,B两个班同时参加了一次数学阶段性测试,其中A班有50人,B 班有40人,A班的平均成绩是116分,方差是360,B班的平均成绩是102.5分,方差是450,则下列说法正确的 是 ( ) A.A班最高分比B班高 B.A班成绩比B班成绩更集中 C.A,B两班全部学生的平均成绩是110分 D.A,B两班全部学生的成绩的方差是445     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,题干中没有提到班级的最高分情况,不能确定,A错误; 对于B,A班成绩的方差为360,B班成绩的方差为450,360<450,所以A班成绩更集中,故B正确; 对于C,A,B两班全部学生的平均成绩为 =110(分),故C正确; 对于D,A,B两班全部学生的成绩的方差为 ×[360+(116-110)2]+ ×[450+(102.5-110)2]= ×396+ ×506.2 5= =445,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏无锡第三高级中学月考]某公司为了调查员工的体重,因为女员工远多于男员工,所以按性 别分层,用分层随机抽样的方法抽取样本,已知样本中所有员工体重的方差为120,其中女员工的平均体 重为50千克,方差为50,男员工的平均体重为70千克,方差为30.若样本中有21名男员工,则样本中女员工 的人数为__________.     63     第1讲　描述运动的基本概念 解析    记样本中女员工的平均体重和方差分别为 千克, ,所占权重为ω(ω>0.5), 男员工的平均体重和方差分别为 千克, ,所占权重为1-ω, 则 =50, =50, =70, =30, 则样本中所有员工的平均体重 =ω +(1-ω) =70-20ω, 方差s2=ω[ + ]+(1-ω)[ + ]=ω[50+(20-20ω)2]+(1-ω)·[30+(-20ω)2]=-400ω2+420ω+30=120, 化简得40ω2-42ω+9=0,解得ω=0.75或ω=0.3(舍), 所以样本中女员工的人数为 ×0.75=63. 解题模板    (1)计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重,然后 运用公式计算即可. (2)计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重,然后运用公 式计算即可. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026福建泉州期末]某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商,现从两家工厂生产的产品 中各抽取100件,并测量其质量指标值(指标值越大,代表质量越高),测量结果统计如下: 第1讲　描述运动的基本概念 乙工厂 (1)求m的值,并估计甲工厂生产的产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间 的中点值作为代表); (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商. 质量指标值 [45,70) [70,95] 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为(0.006+0.014+m+0.024+0.036)×10=1,所以m=0.02, 所以估计甲工厂生产的产品质量指标值的平均数 =50×0.06+60×0.14+70×0.24+80×0.36+90×0.2=75, 方差 =0.06×(-25)2+0.14×(-15)2+0.24×(-5)2+0.36×52+0.2×152=129. (2)乙工厂生产的产品质量指标值平均数 = =75, 方差 = ×[6+(63-75)2]+ ×[16+(83-75)2]=108, 所以 = , > , 以样本估计总体,甲、乙两家工厂生产的产品的质量指标值平均数相等,但乙工厂生产的产品质量指标 值方差比较小,产品质量比较稳定,故建议选择乙工厂生产的产品. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　百分位数 6.[2026湖北十堰调研]印制电路板(PCB)是支撑数字产业发展的核心组件,中国在全球已形成显著竞争 优势.某机构调研得到2021—2025年中国PCB市场规模(单位:千亿元)依次为3.88,3.84,4.16,4.46,4.71,则 这5个数据的40%分位数是 ( ) A.4.02　    B.4.00　    C.3.88　    D.3.84     A     解析　    5个数据由小到大排列为3.84,3.88,4.16,4.46,4.71, 由5×40%=2,得这5个数据的40%分位数是 =4.02. 易错警示　计算一组离散数据的百分位数时,要注意先将数据从小到大排序,再进行相应的计算. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西九江六校协作体期末]某校高三年级共有1 500名学生参加数学测验,已知所有学生成绩的8 0%分位数是115分,则数学成绩不低于115分的人数大约为 ( ) A.200　    B.300　    C.1 200　    D.1 300     B     解析　　因为所有学生成绩的80%分位数是115分, 所以成绩小于或等于115分的学生约有1 500×80%=1 200(人), 则数学成绩不低于115分的学生大约有1 500-1 200=300(人). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西上饶联考]某市随机抽取的100户居民月均用水量的频率分布直方图(图中各分组区间除最 后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间)如下,如果要让60%的居民的月均用水量(单位:t)不超 出标准a,根据直方图估计,下列最接近a的数为 ( )     A     A.8.5　    B.9　     C.9.5　    D.10 解析　　因为3×(0.077+0.107)=0.552<0.60,3×(0.077+0.107+0.043)=0.681>0.6,所以a应在[7.2,10.2)内, 所以3×(0.077+0.107)+(a-7.2)×0.043=0.60,解得a≈8.316. 结合选项知最接近8.316的数为8.5. 解题关键    首先判断a位于区间[7.2,10.2),再根据百分位数的计算规则进行计算即可得结论. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026广东湛江模拟]一组互不相等的数据从小到大排列为x1,x2,…,x6,去掉x1后,下列选项正确 的有 ( ) A.极差变大　     B.平均数变大 C.中位数变小　    D.80%分位数变大     BD     解析　　由题意知x1<x2<…<x6,去掉x1后,极差为x6-x2<x6-x1,极差变小,故A错误;  - = >0,所以平均数变大,故B正确; 原数据和新数据的中位数分别为 ,x4,且 <x4,故中位数变大,故C错误; 6×80%=4.8,则原数据的80%分位数为x5,5×80%=4,则新数据的80%分位数为第4、5个数的平均数  ,因为x5<x6,所以x5< ,故80%分位数变大,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025广东广州三校联考]为科普航天知识,某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8位同学的成 绩如下:7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据的25%分位数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是_____ ___________________________________(写出一个满足条件的m值即可). 7或8或9或10(填写一个即可)     解析　剩余7位同学的成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,10,7×0.25=1.75,故其25%分位数为由小到大排列 后的第二个数据,为7, 要使25%分位数保持不变,满足m不小于7就可以. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西宜春丰城第九中学期末]某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城 市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(单位:分,满分100分,成绩均为不低 于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)求样本成绩的75%分位数; (3)已知落在[50,60)内的平均成绩是57分,方差是7,落在[60,70)内的平均成绩为69分,方差是4,求两组成 绩的总平均数z和总方差s2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030. (2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65, 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9, 设75%分位数为m,由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84, 故75%分位数为84. (3)成绩在[50,60)内的市民人数为100×0.1=10, 成绩在[60,70)内的市民人数为100×0.2=20, 故这两组成绩的总平均数z= =65(分), 总方差s2= ×[7+(57-65)2]+ ×[4+(69-65)2]=37. 第1讲　描述运动的基本概念 $