第3章 02 §3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象及性质，从指数运算过渡到指数函数，通过题组实例构建知识脉络，以基础过关练和能力提升题为学习支架，帮助学生逐步掌握核心内容。 其亮点在于分层设计题组，结合易错警示与解题模板，创新题型如“m阶伴随函数”培养数学思维。通过概念判断、单调性分析等实例，提升学生抽象能力和推理意识，助力学生系统学习，教师可高效开展分层教学。

第三章 指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　指数函数数 3.1　指数函数的概念　 3.2　指数函数的图象和性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数函数的概念及其应用 1.[2025湖南部分高中月考]“m=1”是“f(x)=6mx为指数函数”的 ( ) A.充要条件　     B.必要不充分条件 C.充分不必要条件　    D.既不充分也不必要条件     C     解析　　当m=1时,f(x)=6x是指数函数; 若f(x)= 是底数为6m的指数函数,则6m>0,且6m≠1,解得m≠0,故为充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江西上饶沙溪中学月考]已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时, f(x)=2x,则f(-1)+f(0)=  ( ) A. 　    B.3　    C.-2　    D.2     C     解析　　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1). 因为当x∈(0,+∞)时,f(x)=2x, 所以f(1)=2. 所以f(-1)=-f(1)=-2, 所以f(-1)+f(0)=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北石家庄期中]已知指数函数f(x)=(a2-3)ax,则函数g(x)=bx-a-1(b>1)的图象过定点 ( ) A.(2,0)　    B.(2,-1)　    C.(1,0)　    D.(1,-1)     A     解析　　由f(x)=(a2-3)ax为指数函数得a2-3=1,a>0且a≠1,所以a=2, 所以g(x)=bx-2-1(b>1), 令x-2=0,得x=2,此时g(x)=0, 所以g(x)=bx-a-1(b>1)的图象过定点(2,0). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数(型)函数的图象及其应用 4.[2026广东广州联考]已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是  ( )    　     　     　          A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知0<a<1,b<-1,所以函数g(x)=ax+b是减函数,排除选项 C,D; 又因为函数g(x)的图象是由y=ax的图象向下平移|b|个单位长度得到的,且|b|>1,所以A选项正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编]已知函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a,b,c,d均大于0且不为1)的大致图象如图所示,则下列 不等式一定成立的是(　    ) A.b+d>a+c B.b+d<a+c C.a+d>b+c D.a+d<b+c B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,   故c>d>a>b,所以b+d<a+c. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026浙江北斗联盟期中]已知函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,且点A在直线y=mx+n(m,n> 0)上,则 + 的最小值为( ) A.4　    B.1　    C.2　    D.      C     解析　　由x-1=0,得x=1,又f(1)=2,所以定点为A(1,2),把(1,2)代入y=mx+n,得m+n=2, 故 + =  (m+n)=  2+ +  ≥  =2,当且仅当m=n=1时等号成立, 故 + 的最小值为2. 解题模板　解决有关指数型函数的图象过定点的问题,常抓住指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点 (0,1)这一性质,采用对照法进行求解,即对于指数型函数f(x)=k·ag(x)+b(a>0且a≠1),若有g(m)=0,则函数f(x) 的图象恒过定点(m,k+b). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河北保定外国语学校期中]在同一平面直角坐标系中,函数y=2x2+4ax+a-1与y=ax(a>0且a≠1)的 图象可能是 ( )  　     　     　          C     解析　　当0<a<1时,y=ax在R上单调递减, 函数y=2x2+4ax+a-1的图象的对称轴为直线x=-a,位于y轴左侧, 函数y=2x2+4ax+a-1的图象与y轴的交点的纵坐标为a-1,此交点在y轴的负半轴上,D不符合,C符合. 当a>1时,y=ax在R上单调递增, 函数y=2x2+4ax+a-1的图象的对称轴为直线x=-a,位于y轴左侧,B不符合, 函数y=2x2+4ax+a-1的图象与y轴的交点的纵坐标为a-1,此交点在y轴的正半轴上,A不符合. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　指数(型)函数的单调性及其应用 8.[2026四川达州中学质检]已知函数f(x)= 若∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有 <0成立, 则a的取值范围为 ( ) A. 　     B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为∀x1, x2∈R,x1≠x2,都有 <0成立,所以f(x)在R上单调递减, 故 解得1≤a< , 所以a的取值范围为 . 易错警示　由分段函数的单调性求参数的取值范围时,除了保证每一段函数都满足给出的单调性外,还 要注意比较分段点处函数值的大小. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江西“三新”协同教研共同体期中]已知a=0.60.5,b=0.50.6,c= ,则 ( ) A.a>c>b　    B.c>a>b　    C.a>b>c　    D.b>c>a     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由指数函数y=0.6x在R上单调递减,可得0.60.5>0.60.6, 由幂函数y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,可得0.60.6>0.50.6, 所以0.60.5>0.50.6,即a>b, 因为a=0.60.5= ,c= , 所以a2= = >c2= ,所以a>c, 又b=0.50.6= ,c= , 所以b5= = = <c5= , 所以c>b, 所以a>c>b. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西宜春丰城第九中学段考]函数y= 的单调性为 ( ) A.在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增 B.在[-2,1]上单调递减,在[1,4]上单调递增 C.在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减 D.在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由-x2+2x+8≥0,解得-2≤x≤4, 故所给函数的定义域为[-2,4], 令f(x)=-x2+2x+8,则f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1, 所以f(x)在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减, 易知y= 单调递减, 根据复合函数的单调性,可得y= 在[-2,1]上单调递减,在[1,4]上单调递增,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026广东部分中学联考]某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌,其数量(单位:个)分别记为y1和y 2.设培育时间为t(单位:天),据统计,两种菌数量满足以下关系:y1=3×4t,y2=8×3t,则甲种菌的数量首次超过 乙种菌大约需要( ) A.3天　    B.4天　    C.5天　    D.6天     B     解析　　若y1>y2,即3×4t>8×3t,整理得 > ,易知函数y= 在(0,+∞)上单调递增, 当t=3时, = = < ; 当t=4时, = = > , 故甲种菌的数量首次超过乙种菌大约需要4天. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026广东衡水金卷联考]已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1. (1)求f(x)的解析式; (2)若[f(x)+9][f(x)-5]>0,求x的取值集合. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=2-x+1= +1, 因为f(x)为奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=- -1, 且当x=0时,f(0)=0. 综上所述,f(x)=  (2)由(1)得当x>0时,f(x)=2x+1, 此时f(x)>2, 当x<0时,f(x)=- -1, 第1讲　描述运动的基本概念 此时f(x)<-2, 又[f(x)+9][f(x)-5]>0, 所以f(x)<-9或f(x)>5, 所以- -1<-9或2x+1>5, 解得x<-3或x>2, 故x的取值集合为{x|x<-3或x>2}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　指数(型)函数性质的综合应用 13.[易错题][2026江西景德镇一中期中]已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b = ( ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D. 或-      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当0<a<1时,函数f(x)单调递减, 所以 解得  则a+b=- ; 当a>1时,函数f(x)单调递增, 所以 方程组无解. 综上所述,a+b=- . 易错警示　解决与指数(型)函数单调性(最大(小)值)有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数 含有参数时,要注意对参数分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025江西南昌大学附属中学期中]已知命题p:∃x∈[-2,0],a= ;命题q:∀x∈[-1,2],x2+ax-8≤0.若p 为假命题,q为真命题,则实数a的取值范围为 ( ) A.[-7,1)　     B.[-7,2) C.[-7,1)∪[2,9]　    D.[-7,2)∪[9,+∞)     A     解析　　命题p为假命题,则a= 在[-2,0]上无解, 当x∈[-2,0]时,y= ∈[1,9],故a<1或a>9. 命题q为真命题,则  解得-7≤a≤2. 综上所述,实数a的取值范围为[-7,1). 第1讲　描述运动的基本概念 15.[多选题][2025江西南昌二中期中]已知函数f(x)= ,则下列结论正确的是 ( ) A. f(x)的定义域为R B. f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞) C. f(x)+f(-x)=0 D. f(x)为减函数     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为{x|x≠0},故A错误; f(x)= = =1+ ,易知2x>0,当2x-1>0时, >0,则f(x)>1,当-1<2x-1<0时, <-2,则f(x)<-1,所 以f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故B正确; f(x)+f(-x)= + = + = + =0,故C正确; 当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以f(x)不是减函数,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026湖南衡阳衡州高级中学四调]已知函数f(x)=4x-(m+1)·2x-1. (1)若m=0,求f(x)在区间[-2,2]上的值域; (2)若m=-1,g(x)= ,对任意实数x,不等式g(x-1)+g(x2+t)>0恒成立,求实数t的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当m=0时,f(x)=4x-2x-1,设q=2x,由x∈[-2,2],得 ≤q≤4, 则y=q2-q-1= - ,易得- ≤y≤11,即f(x)的值域为 . (2)当m=-1时,f(x)=4x-1,g(x)= =2x-2-x, 易得g(x)的定义域为R,关于原点对称,且g(-x)=2-x-2x=-g(x),则g(x)为奇函数, y=2x为R上的增函数,y=2-x为R上的减函数,故g(x)在R上为增函数, 故g(x-1)+g(x2+t)>0, 即g(x-1)>-g(x2+t)=g(-x2-t), 则x-1>-x2-t,变形得t>-x2-x+1,即t>(-x2-x+1)max, 易知函数y=-x2-x+1=- + 的最大值为 ,所以t> ,即t的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　指数函数数 3.1　指数函数的概念　 3.2　指数函数的图象和性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数(型)函数的图象及其应用 1.[2026江西赣州上犹中学月考]若水平直线y=3a与关于x的函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共 点,则a的取值范围是 ( ) A. <a<1　    B.a>1 C.0<a< 　    D.0<a≤      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当0<a<1时,直线y=3a与函数y=|ax-1|的图象如图1所示,则0<3a<1,解得0<a< ; 当a>1时,直线y=3a与函数y=|ax-1|的图象如图2所示,则0<3a<1,解得0<a< ,不满足a>1.     综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山西大学附属中学校周测]已知函数g(x)=ax2+bx+a-b,其中a,b为常数,若函数f(x)=ab-x的图象如图 所示,则 ( )   A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点 B.g(x)的图象的对称轴在y轴左侧 C.关于x的方程g(x)=1有两个不相等的实根 D.g(x)在区间(1,+∞)上单调递增     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=ab-x= ,由题图知f(x)在R上单调递减,则0< <1,得a>1, 又f(x)的图象经过点P(-1,1),所以f(-1)= =1,故-1-b=0,解得b=-1, 则g(x)=ax2-x+a+1,其图象开口向上,顶点坐标为 , 易知y= =a- +1在(1,+∞)上单调递增,则y=a- +1>1- +1= >0,即g(x)的图象与x轴没有交点, g(x)的图象的对称轴为直线x= , 由a>1得 ∈ ,所以g(x)的图象的对称轴在y轴右侧, 则g(x)的图象与y轴有唯一交点,所以g(x)的图象与坐标轴只有一个交点,故A,B错误; 关于x的方程g(x)=1的实根个数等价于直线y=1与g(x)的图象的交点个数, 第1讲　描述运动的基本概念 因为g(x)的图象开口向上,且顶点的纵坐标 > >1,所以直线y=1与g(x)的图象的交点个数为0, 故方程g(x)=1的实根个数为0,故C错误; 由g(x)的图象的对称轴为直线x= ,且 ∈ ,知g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东佛山石门中学期中]已知函数f(x)= e为常数,将h(x)的图象向左平移一个单位 长度,再向上平移一个单位长度后得到函数y=- 的图象,若f(x+2)<f(x2),则实数x的取值范围是 ( ) A.(-1,2)　     B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.[-2,-1)∪(2,+∞)　    D.(-∞,-1]∪[2,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得h(x)=- -1,当x<0时,h(x)单调递增,即f(x)单调递增,又0<- <4,所以-1<f(x)<3. 当x≥0时,f(x)=- -1,f(x)单调递增,又-1<- <0,所以-2≤f(x)<-1. 作出f(x)的图象,如图,   由f(x+2)<f(x2),x2≥0,得0≤x+2<x2,解得-2≤x<-1或x>2, 所以实数x的取值范围为[-2,-1)∪(2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数(型)函数的性质及其应用 4.[2026广东惠州一中期中]若函数f(x)=a|2x-a|(a>0且a≠1)在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围 是 ( ) A.(1,2]　     B.[2,+∞) C. 　    D. ∪[2,+∞)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令t=|2x-a|,则t=  则y=at, 当0<a<1时,y=at在R上单调递减, 当a>1时,y=at在R上单调递增, 易知t=|2x-a|在 上单调递增,在 上单调递减, 因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以根据复合函数的单调性可知a>1,且 ≤1,所以1<a≤2, 所以实数a的取值范围是(1,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西华东师范大学上饶实验中学检测]已知函数f(x)= 若f(x)的最小值为f(1), 则实数a的取值范围是 ( ) A.[1,10]　    B.[1,+∞)　     C.[0,10]　    D.(-∞,1]     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x>1时,f(x)=x+ +2a≥2 +2a=4+2a,当且仅当x=2时取等号, 所以当x=2时,f(x)=x+ +2a取得最小值,为4+2a. 当x≤1时,f(x)=4x-a·2x+2+a2= -4a·2x+a2, 令t=2x(0<t≤2),则原函数即g(t)=t2-4at+a2,则g(t)的图象开口向上,对称轴为直线t=2a, 又因为函数f(x)的最小值为f(1), 所以x=1,即t=2时,g(t)取得最小值, 所以  解得1≤a≤10. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江西南昌十中月考]已知函数f(x)=a· +b的图象过原点,且无限接近于直线y=2,但又 不与该直线相交,则 ( ) A.a=-2,b=2 B.f(x)的值域为[0,2) C.若x0<y0<0,则f(x0)<f(y0) D.若f(x0)=f(y0),且x0≠y0,则x0+y0=0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,∵f(x)的图象过原点, ∴f(0)=0,∴a+b=0, 又∵当x→∞时, →0,∴当x→∞时,f(x)→b,由其图象无限接近于直线y=2,知b=2,故a=-2,故A正确; 对于B,由A得f(x)=-2× +2,∵ ∈(0,1],∴-2× +2∈[0,2),故B正确; 对于C,画出f(x)的图象,由图知f(x)在(-∞,0]上单调递减,又x0<y0<0,∴f(x0)>f(y0),故C错误;   对于D,由f(x)的图象知f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴f(y0)=f(x0)=f(-x0),∴-x0=y0,∴x0+y0=0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026百师联盟阶段测试]已知函数f(x)=(m2-2m-2)mx+n-9(m>0且m≠1)是指数函数,若“∃x∈(-1-a,a-2), 使得f(-x-2a2)≤[f(ax)]2成立”为假命题,则实数a的取值范围是　     ( ) A. 　    B.  C. 　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由f(x)是指数函数得 解得m=3或m=-1(舍去),n=9,故f(x)=3x. 若“∃x∈(-1-a,a-2),使得f(-x-2a2)≤[f(ax)]2成立”为假命题, 则“∀x∈(-1-a,a-2),f(-x-2a2)>[f(ax)]2恒成立”为真命题. 又[f(ax)]2=(3ax)2=32ax=f(2ax), 故原命题转化为“∀x∈(-1-a,a-2),f(-x-2a2)>f(2ax)恒成立”, 又f(x)=3x在R上单调递增,故-x-2a2>2ax,即(2a+1)x+2a2<0在x∈(-1-a,a-2)上恒成立. 设g(x)=(2a+1)x+2a2,x∈(-1-a,a-2), 由a-2>-1-a,可得a> ,则2a+1>2>0,因此g(x)在R上单调递增, 故要使得(2a+1)x+2a2<0在x∈(-1-a,a-2)上恒成立,则g(a-2)≤0, 第1讲　描述运动的基本概念 即(2a+1)(a-2)+2a2=4a2-3a-2≤0,解得a∈  ,  , 又a> ,所以a∈  ,  . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026河南新乡期中]已知a≠0,函数f(x)= 在R上单调,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,1]　    B.[-2,1]　     C. 　    D.           C 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x≥1时,f(x)=axa,若a>0,由幂函数的性质得f(x)在[1,+∞)上单调递增, 若a<0,则y=xa= 在[1,+∞)上单调递减,故f(x)=axa= 在[1,+∞)上单调递增, 故f(x)在[1,+∞)上单调递增, 又f(x)在R上单调,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增, 当x<1时,f(x)= , 令t=x2-(3-a)x-a+3, 易知y= 在R上单调递减, 要使f(x)在(-∞,1)上单调递增,则t=x2-(3-a)x-a+3在(-∞,1)上单调递减,易知函数t=x2-(3-a)x-a+3的图象开 口向上,对称轴为直线x= ,所以 ≥1, 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得 ≤a≤1,故实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026江苏镇江三校联考]已知函数f(x)= -a,则( ) A.f(x)是R上的减函数 B.y=f(x)的图象关于点(0,-2a)对称 C.若f(x)是奇函数,则a=2 D.不等式f(1+3x)+f(x)>4-2a的解集为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由于y=1+ex为R上的增函数,且y>1恒成立,故f(x)= -a为R上的减函数,A正确; 对于B,因为f(x)的定义域为R,f(-x)= -a= -a,所以f(x)+f(-x)= -a+ -a=4-2a,所以f(x)的图象 关于点(0,2-a)对称,B错误; 对于C,因为f(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,由B可知, f(x)的图象关于点(0,2-a)对称,则2-a=0, 解得a=2,C正确; 对于D,由f(1+3x)+f(x)>4-2a=f(x)+f(-x),可得f(1+3x)>f(-x),由A可知,f(x)是R上的减函数,所以3x+1<-x,解得x <- ,故不等式的解集为 -∞,-  ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025广东领航高中联盟联考]已知函数f(x)= 若存在x1,x2,x3(x1<x2<x3),使得f(x1)=f(x2)=f(x3), 则a(x1+x2)的取值范围是_______________.     (-∞,-4)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　画出f(x)的大致图象,如图, 设f(x1)=t,则直线y=t与f(x)的图象有3个交点, 当x<0时,f(x)=x2+4x=(x+2)2-4∈[-4,+∞), 由图可知-4<t<0时,直线y=t与y=x2+4x(x<0)的图象有2个交点x1,x2,且x1+x2=-4. 当x≥0时,f(x)=2x-a≥1-a, 所以当1-a<0,即a>1时,存在x1,x2,x3(x1<x2<x3),使得f(x1)=f(x2)=f(x3), 所以a(x1+x2)=-4a的取值范围是(-∞,-4). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖北武汉华中科技大学附属中学周测]已知函数f(x)=m·2x+2-x,g(x)=2x-2-x. (1)若f(x)是奇函数,求实数m的值; (2)当m=1时,若存在x∈(0,+∞),使得f(x)=t·2x+1成立,求实数t的取值范围; (3)当m=1,x∈[0,1]时,求函数F(x)= f(2x)- g(x)-1的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)为奇函数,且定义域为R, 所以f(0)=0,即m+1=0,所以m=-1,即f(x)=-2x+2-x. 此时f(-x)=-2-x+2x=-f(x),为奇函数,符合题意,所以m=-1. (2)当m=1时,f(x)=2x+2-x,则存在x∈(0,+∞),使得2x+2-x=t·2x+1成立,所以t= - +1在x∈(0,+∞)上有解, 令v= ,则v∈(0,1),则y=v2-v+1= + 在(0,1)上有解,所以y∈ , 故实数t的取值范围为 . (3)由题意得F(x)= (22x+2-2x)- (2x-2-x)-1,x∈[0,1], 令u=2x-2-x,则 (22x+2-2x)- (2x-2-x)-1= u2- u,因为函数u=2x-2-x在x∈[0,1]上单调递增,所以u∈ , 第1讲　描述运动的基本概念 令h(u)= u2- u,u∈ , 当 ≥ ,即a≥3时,h(u)在 上单调递减,F(x)min=h(u)min=h = - a; 当 ≤0,即a≤0时,h(u)在 上单调递增,F(x)min=h(u)min=h(0)=0; 当0< < ,即0<a<3时,F(x)min=h(u)min=h =- a2. 综上,F(x)min=  第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　新定义函数,考查指数(型)函数的性质 12.[2025江苏百校大联考]若函数f(x)与g(x)满足:对任意的x1∈D,总存在唯一的x2∈D,使f(x1)g(x2)=m成立, 则称f(x)是g(x)在区间D上的“m阶伴随函数”;当f(x)=g(x)时,则称f(x)为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)判断函数f(x)=x+1是不是区间 上的“2阶自伴函数”,并说明理由; (2)若函数f(x)=3x-1为区间[1,b]上的“9阶自伴函数”,求b的值; (3)若函数f(x)=4x-2x+1+2是g(x)=4x2-4ax+a2-2在区间[0,1]上的“2阶伴随函数”,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)=x+1不是区间 上的“2阶自伴函数”,理由如下: 当x∈ 时,f(x)=x+1∈ , 当x1=3时,f(x1)=4,要想f(x1)f(x2)=2,则需f(x2)= , 但 ∉ ,故不存在x2∈ ,使得f(x1)f(x2)=2, 故f(x)=x+1不是区间 上的“2阶自伴函数”. (2)由已知得,对任意的x1∈[1,b],总存在唯一的x2∈[1,b],使得 · =9,即 =9,故x1+x2=4,故x2=4-x1, 又x1∈[1,b],所以x2=4-x1∈[4-b,3], 又x2∈[1,b],所以 所以b=3. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意得x1,x2∈[0,1],f(x1)g(x2)=( - +2)(4 -4ax2+a2-2)=2, 易知 - +2=( -1)2+1≠0, 故4 -4ax2+a2-2= , 即 = +2, 因为x1∈[0,1],所以 -1∈[0,1], 故 +2∈[3,4], 设t= +2,则t∈[3,4], 于是 =t,则2x2=± +a, 又x2∈[0,1],所以2x2∈[0,2], 第1讲　描述运动的基本概念 所以t∈[3,4]时,0≤ +a≤2恒成立或0≤- +a≤2恒成立. 若0≤ +a≤2恒成立,则  解得- ≤a≤0, 若0≤- +a≤2恒成立,则  解得2≤a≤2+ . 综上,a的取值范围是[- ,0]∪[2,2+ ]. 第1讲　描述运动的基本概念 $