3.3.1&3.3.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的概念、图象与性质，从“薪资增长”实际问题引入，系统梳理指数函数定义（y=a^x，a>0且a≠1）、定义域R、值域(0,+∞)、过定点(0,1)，以及a>1和0<a<1时的单调性与函数值变化规律，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境化问题激发兴趣，通过“想一想”引导学生推理底数取值条件，培养数学思维；题型设计含一题多解与通性通法，提升直观想象与数学运算能力。课中助力教师高效授课，课后练习题与母题探究帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一课时　指数函数的概念、图象与性质 课标 要求 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念（数学抽象）. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质并会运用（直观想象、数学运算）. 　　话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？第24个月，他能获得多少工资？估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数. 【问题】　为什么天数增加到一定程度，工资会出现爆发式增长？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　指数函数的概念 1.定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在　实数集　上的函数，称为指数函数. 2.性质：（1）定义域是　R　，函数值　大于0　； （2）图象过定点　（0，1）　. 提醒：指数函数概念的再理解 【想一想】 　为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？ 提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义. ②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义. ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1. 知识点二　指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：　R　 值域：　（0，＋∞）　 a＞1 0＜a＜1 性质 过定点　（0，1）　，即当x＝0时，y＝　1　 当x＜0时，　0　＜y＜　1　；当x＞0时，y＞　1　 当x＜0时，y＞　1　；当x＞0时，　0　＜y＜　1　 在R上是　增　函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是　减　函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 提醒：指数函数图象的特征：同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示.直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”. 【想一想】 　在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）y＝2x＋1是指数函数.（　×　） （2）指数函数y＝ax中，a可以为负数.（　×　） （3）已知函数f（x）＝3x，若m＞n，则f（m）＞f（n）.（　√　） （4）指数函数的图象一定在x轴的上方.（　√　） 2.函数y＝（a－2）ax是指数函数，则（　　） A.a＝1 B.a＝2 C.a＝3 D.a＞0且a≠1 解析：C　由题意得解得a＝3. 3.函数y＝2x＋1的图象是（　　） 解析：A　函数y＝2x的图象是经过定点（0，1），在x轴上方且为增函数的曲线，依据函数图象的画法可得函数y＝2x＋1的图象为增函数且过点（0，2），故选A. 4.函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是　[－1，0]　. 解析：由指数函数y＝2x在x∈[0，1]上单调递增知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1，0]. 题型一　指数函数的解析式 （1）若函数f（x）＝·ax是指数函数，则f＝（　D　） A.2 B.－2 C.－2 D.2 解析：因为函数f（x）是指数函数，所以a－3＝1，且a＞0，a≠1，所以a＝8，所以f（x）＝8x，f＝＝2. （2）若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝9，则f（x）＝　3x　. 解析：由题意设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），因为f（2）＝a2＝9，所以a＝3，所以f（x）＝3x. 通性通法 1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. 2.求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式. 　已知函数f（x）为指数函数，且f＝，求f（－2）的值. 解：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1）， 由f＝得，＝， 所以a＝3， 所以f（x）＝3x， 所以f（－2）＝3－2＝. 题型二　指数型函数的图象 角度1　指数（型）函数图象的识别 〔一题多解〕若函数y＝ax－（b＋1）（a＞0，且a≠1）的图象经过第一、第三、第四象限，则必有（　　） A.0＜a＜1，b＞0 B.0＜a＜1，b＜0 C.a＞1，b＜0 D.a＞1，b＞0 解析：D　法一　由指数函数y＝ax（a＞1）图象的性质知函数y＝ax（a＞1）的图象过第一、第二象限，且恒过点（0，1），而函数y＝ax－（b＋1）的图象是由y＝ax的图象向下平移（b＋1）个单位长度得到的，如图，若函数y＝ax－（b＋1）的图象过第一、第三、第四象限，则a＞1且b＋1＞1，从而a＞1且b＞0.故选D. 法二　由题意知，函数是增函数，则a＞1，又当x＝0时，y＜0知b＞0.故选D. 通性通法 识别指数（型）函数的图象问题的方法 （1）根据图象的单调性，确定底数a＞1或0＜a＜1； （2）利用图象变换，如函数图象的平移变换（左右平移、上下平移）的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置. 角度2　指数（型）函数图象过定点问题 若函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），则m＋n＝（　　） A.3 B.1 C.－1 D.－2 解析：C　由函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1. 通性通法 解决指数（型）函数图象过定点问题的思路 　　指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，且a≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点（－c，k＋b）. 1.〔一题多解〕函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　） A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0 解析：D　法一　由于f（x）的图象单调递减，所以0＜a＜1，又0＜f（0）＜1，所以0＜a－b＜1＝a0，即－b＞0，b＜0.故选D. 法二　观察曲线的变化趋势可以得到函数f（x）为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线的位置看，是由函数y＝ax（0＜a＜1）的图象向左平移（－b）个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.故选D. 2.〔一题多解〕函数y＝ax－3＋3（a＞0，且a≠1）的图象过定点　（3，4）　. 解析：法一　因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（0，1），所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点（3，4）. 法二　将原函数解析式变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点（3，4）. 题型三　指数型函数的定义域和值域 求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； 解：要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为（－∞，0]. 因为x≤0，所以0＜3x≤1，所以0≤1－3x＜1， 所以∈[0，1），即函数y＝的值域为[0，1）. （2）y＝； 解：定义域为R. 因为x2－2x－3＝（x－1）2－4≥－4， 所以≤＝16. 又因为＞0， 所以函数y＝的值域为（0，16]. （3）y＝4x＋2x＋1＋2. 解：因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x＞0，所以4x＋2x＋1＋2＝（2x）2＋2×2x＋2＝（2x＋1）2＋1＞1＋1＝2. 即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为（2，＋∞）. 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若将本例（1）的函数换为“y＝”，求其定义域. 解：由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为（－∞，0]. 2.（变条件，变设问）若将本例（3）的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域. 解：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝（2x）2＋2×2x＋2＝（2x＋1）2＋1. 令2x＝t，则t∈[1，4]，且f（t）＝（t＋1）2＋1，易知f（t）在[1，4]上单调递增， ∴f（1）≤f（t）≤f（4），即5≤f（t）≤26， 即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]. 通性通法 函数y＝af（x）定义域、值域的求法 （1）定义域：形如y＝af（x）形式的函数的定义域是使得f（x）有意义的x的取值集合； （2）值域：①换元，令t＝f（x）；②求t＝f（x）的定义域x∈D；③求t＝f（x）的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域. 提醒：（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集； （2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论. 1.若函数f（x）＝的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是　（1，＋∞）　. 解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1. 2.求函数y＝的定义域、值域. 解：函数的定义域为R. ∵y＝＝＝1－， 又∵3x＞0，∴1＋3x＞1，∴0＜＜1，∴－1＜－＜0，∴0＜1－＜1，∴函数的值域为（0，1）. 1.下列各函数中，是指数函数的是（　　） A.y＝（－3）x B.y＝－3x C.y＝3x－1 D.y＝ 解析：D　根据指数函数的定义知，D正确. 2.若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝x3 B.f（x）＝2x C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：B　设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则由f（3）＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x. 3.函数f（x）＝πx与g（x）＝的图象关于（　　） A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y＝－x对称 解析：C　设点（x，y）为函数f（x）＝πx的图象上任意一点，则点（－x，y）为g（x）＝π－x＝的图象上的点.因为点（x，y）与点（－x，y）关于y轴对称，所以函数f（x）＝πx与g（x）＝的图象关于y轴对称，故选C. 4.〔多选〕已知函数y＝ax，y＝bx（a，b＞0且a≠1，b≠1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.a＞b＞1 B.0＜a＜b＜1 C.2a＜2b D.b＞a＞1 解析：CD　由指数函数图象可知b＞a＞1， 故A、B错误，D正确；由b＞a＞1得2a＜2b，C正确.故选C、D. 5.当x∈[－2，2）时，函数y＝3－x－1的值域为　　. 解析：y＝3－x－1＝－1在x∈[－2，2）上单调递减，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.∴函数的值域为. 　指数函数的图象变换 为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f（x）＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象： （1）y＝f（x－1）；（2）y＝f（｜x｜）＋1；（3）y＝－f（x）；（4）y＝｜f（x）－1｜. 请分别写出这4组函数的解析式. 解：（1）y＝f（x－1）＝2x－1. （2）y＝f（｜x｜）＋1＝2｜x｜＋1. （3）y＝－f（x）＝－2x. （4）y＝｜f（x）－1｜＝｜2x－1｜. 若给出函数f（x）＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程. 解：能.（1）将函数y＝f（x）＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）＝4x－1的图象. （2）保留函数y＝f（x）＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f（｜x｜）＋1＝4｜x｜＋1的图象. （3）函数y＝－f（x）＝－4x与y＝f（x）＝4x的图象关于x轴对称. （4）将函数y＝f（x）＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f（x）－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数｜f（x）－1｜＝｜4x－1｜的图象. 通性通法 利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法 　　对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质. 提醒：函数y＝a｜x｜的图象关于y轴对称；函数y＝｜ax－b｜的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到. 【迁移应用】 1.函数y＝a｜x｜（a＞1）的图象是（　　） 解析：B　函数y＝a｜x｜（a＞1）是偶函数，当x＝0时，y＝1，故排除A；又因为当x＞0时，y＝ax（a＞1）为指数函数，且单调递增，故排除C、D.故选B. 2.已知直线y＝2a与函数y＝｜2x－2｜的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 解：函数y＝｜2x－2｜的图象如图所示. 要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1， 故实数a的取值范围为（0，1）. 1.下列函数中，指数函数的个数为（　　） ①y＝；②y＝ax（a＞0，且a≠1）；③y＝1x；④y＝－1. A.0 B.1 C.3 D.4 解析：B　由指数函数的定义可判定，只有②正确. 2.函数y＝的定义域是（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，0] C.[0，＋∞） D.（0，＋∞） 解析：B　由－1≥0，得≥，∴x≤0. 3.已知函数f（x）＝ax－2＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（　　） A.（0，1） B.（2，3） C.（3，2） D.（2，2） 解析：B　令x－2＝0，可得x＝2，且f（2）＝a2－2＋2＝3，所以函数的图象恒过定点（2，3），即点A的坐标为（2，3）. 4.若函数f（x）＝＋m－1的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围为（　　） A.m＜1 B.m≤1 C.0＜m＜1 D.0≤m＜1 解析：D　函数f（x）＝＋m－1的图象与x轴有公共点，即m－1＝－有实数解，由于－1≤＜0，故－1≤m－1＜0，解得0≤m＜1. 5.在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax，g（x）＝xa（x≥0）的部分图象可能是（　　） 解析：C　对于A和B，指数函数f（x）＝ax的图象均过定点（0，1），且单调递增，则a＞1，所以幂函数g（x）＝xa在[0，＋∞）上单调递增，且图象越来越陡，故A、B均不符合；对于C和D，指数函数f（x）＝ax的图象均过定点（0，1），且单调递减，则0＜a＜1，所以幂函数g（x）＝xa在[0，＋∞）上单调递增，但图象越来越平缓，故C符合，D不符合.故选C. 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称 B.函数y＝3x与y＝的图象关于x轴对称 C.函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称 D.函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称 解析：ACD　易知函数y＝ax与y＝＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称，且函数y＝与y＝－的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－的图象关于原点对称，所以B说法错误. 7.若指数函数f（x）＝（a2－1）x在R上为减函数，则a的取值范围为　（－，－1）∪（1，）　. 解析：由题意得，0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，∴－＜a＜－1或1＜a＜. 8.若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是　（－1，0）∪（0，1）　. 解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0，∴函数f（x）的值域为（－1，0）∪（0，1）. 9.设函数f（x）＝则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是　（－∞，1）　. 解析：函数f（x）＝的图象如图所示，显然函数f（x）在R上为减函数，∵f（x＋1）＜f（2x），∴x＋1＞2x，解得x＜1. 10.已知函数f（x）＝ax－1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1. （1）求a的值； （2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域. 解：（1）因为函数图象经过点， 所以a2－1＝，则a＝. （2）由（1）知函数为f（x）＝（x≥0）， 由x≥0，得x－1≥－1. 于是0＜≤＝2， 所以函数的值域为（0，2]. 11.若函数y＝ax＋b－1（a＞0，且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（　　） A.0＜a＜1，且b＞0 B.a＞1，且b＞0 C.0＜a＜1，且b＜0 D.a＞1，且b＜0 解析：C　函数y＝ax＋b－1（a＞0，且a≠1）的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈（0，1）.若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax（0＜a＜1）的图象向下平移大于1个单位长度，即b－1＜－1，所以b＜0. 12.已知关于x的方程｜3x－1｜＝有两个不等实根，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，0） B.（0，2） C.（0，＋∞） D.（0，1） 解析：B　函数y＝｜3x－1｜＝其大致图象如图所示.关于x的方程｜3x－1｜＝有两个不等实根等价于直线y＝与y＝｜3x－1｜的图象有两个交点，由图可知0＜＜1，即0＜a＜2.故选B. 13.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝　－　. 解析：当0＜a＜1时，函数f（x）在[－1，0]上单调递减，由题意可得即解得此时a＋b＝－.当a＞1时，函数f（x）在[－1，0]上单调递增，由题意可得即显然无解. 综上，a＋b＝－. 14.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）. （1）若f（x）的图象如图①所示，求a，b的值； （2）若f（x）的图象如图②所示，求a，b的取值范围； （3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围. 解：（1）由题图①知f（x）的图象过点（2，0），（0，－2）， 所以 又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. （2）由题图②知f（x）是减函数，所以0＜a＜1， 又f（0）＜0，即a0＋b＜0，所以b＜－1. 故a的取值范围为（0，1），b的取值范围为（－∞，－1）. （3）由（1）知f（x）＝（）x－3，则画出｜f（x）｜＝｜（）x－3｜的图象如图所示， 要使｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为[3，＋∞）∪{0}. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $