专题3.3.2 指数函数的图像和性质（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题3.3.2 指数函数的图像和性质 教学目标 掌握指数函数的图像特征. 能够区分a>1与0<a<1两种情形下定义域、值域、定点、单调性、函数值分布规律。 掌握底数大小对指数函数图像的影响规律；知道图像关于y轴对称。 理解指数型复合函数，会运用同增异减法则判断复合函数的单调区间；会求复合指数函数的定义域、值域与最值。 熟练掌握指数函数图像的平移、对称、翻折变换；会求变换之后函数的定点、单调区间。 能够利用指数函数单调性比较指数式大小；会解简单的指数不等式；能结合奇偶性、周期性、充分必要条件处理指数函数综合问题。 能处理指数函数与二次函数结合的换元题型，读懂新概念、信息类题型，完成综合解答。 教学重难点 1.重点 指数函数的图像与性质，a>1与0<a<1的对比；恒过定点\，值域。 底数大小与图像高低的关系；指数函数图像平移、对称、翻折变换。 复合指数函数 “同增异减” 法则；换元法求指数型复合函数定义域、值域、最值。 利用单调性比较指数式大小，简单指数不等式求解。 2.难点 复合函数 “同增异减” 的准确应用，区分内层、外层函数，求复合函数单调区间；换元之后新元取值范围容易出错。 结合图像变换求含绝对值指数函数的单调区间；区分等翻折变换的图像特征。 指数函数与奇偶性、周期性、充分必要条件结合的综合问题；指数与二次函数混合换元的综合大题。 新概念、信息阅读题型，结合指数函数性质进行逻辑分析与推理。| 知识点 1：图像对比a>1与0<a<1 表格 项目 定义域 值域 恒成立 恒成立 过定点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 x>0 y>1 0<y<1 x=0 y=1 y=1 x<0 0<y<1 y>1 图像趋势 从左下往右上上升，x 趋向 从左上往右下下降，x 趋向， 图像共性：全部在x轴上方，x轴是指数函数的渐近线，图像无限靠近 x 轴，但永不与 x 轴相交。 即使训练 若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点 2：底数大小对图像的影响（底数图像规律） 在y轴右侧x>0：图像越高，底数越大。 x>0时：a越大，函数值越大。 在y轴左侧x<0：图像越高，底数越小。 的图像关于轴对称。 ，互为偶函数变换，关于 y 轴对称。 即使训练 若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点 3：指数型复合函数 的性质（复合函数） 复合口诀：同增异减 设 ，外层；，内层。 外层： 关于t单调递增； 关于t单调递减。 同增异减：内外单调性相同，复合函数递增；内外单调性相反，复合函数递减。 ⚠注意：复合函数定义域由内层t=f(x)决定；值域：先算t范围，再代入外层指数函数。 知识点 4：指数函数图像变换（平移、对称、翻折） 设基础函数 左右平移：向右移h单位；h<0向左移|h|单位。 上下平移：，k>0向上移k；k<0向下移|k|。 对称变换 ：与关于轴对称； ：与关于轴对称； ：与关于原点中心对称。 翻折变换 ：保留图像；x<0部分把x>0图像沿 y 轴向右翻折；是偶函数。 恒成立，图像不变。 题型 1：指数函数图像定点、图像变换 【典例1】若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【变式1】若函数的图象与函数的图象关于原点对称，则________. 【变式2】函数（且）的图象必经过点________． 【变式3】已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 题型 2：指数函数单调性、复合函数单调区间 【典例1】若函数的单调递增区间是，则______. 【变式1】已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【变式2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得有解，求实数的取值范围． 【变式3】求函数的单调区间． 题型 3：指数式比较大小 【典例1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，判断的大小关系. 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【变式3】已知，则有（    ） A． B． C． D． 题型 4：指数函数定义域、值域、最值 【典例1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【变式2】函数的定义域是______，值域是______. 【变式3】求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 题型 5：充分必要条件（指数背景） 【典例1】已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 【变式3】若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 题型 6：指数型函数奇偶、对称、周期 【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 【变式1】定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，则和的图象所有交点横坐标之和为 【变式2】已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 【变式3】已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 题型 7：解指数不等式（普通 + 分段函数） 【典例1】已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则不等式的解集为________． 题型 8：新概念、信息题（可倒函数等） 【典例1】若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知函数（为自然对数的底数）.记，，，则，，三者中最大的是___________，最小的是___________. 【变式2】设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 【变式3】已知函数 ，其中为实常数. 若，则__________;若存在直线与的图象有无穷多个交点，则__________. 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 5．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 6．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 2．函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 3．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：（，）． (1)证明“三元不等式”：（，，）； (2)若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 4．已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 5．已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 6．已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 7．已知，，对任意的实数，求证：； 8．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 9．设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 10．已知实数，满足． (1)证明：； (2)求的值． 11．已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 12．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 13．已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 14．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)y＝. 15．根据指数函数的图象，对底数的取值范围分类讨论，分别求当和时，的取值范围. 16．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 17．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 18已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.2 指数函数的图像和性质 教学目标 掌握指数函数的图像特征. 能够区分a>1与0<a<1两种情形下定义域、值域、定点、单调性、函数值分布规律。 掌握底数大小对指数函数图像的影响规律；知道图像关于y轴对称。 理解指数型复合函数，会运用同增异减法则判断复合函数的单调区间；会求复合指数函数的定义域、值域与最值。 熟练掌握指数函数图像的平移、对称、翻折变换；会求变换之后函数的定点、单调区间。 能够利用指数函数单调性比较指数式大小；会解简单的指数不等式；能结合奇偶性、周期性、充分必要条件处理指数函数综合问题。 能处理指数函数与二次函数结合的换元题型，读懂新概念、信息类题型，完成综合解答。 教学重难点 1.重点 指数函数的图像与性质，a>1与0<a<1的对比；恒过定点\，值域。 底数大小与图像高低的关系；指数函数图像平移、对称、翻折变换。 复合指数函数 “同增异减” 法则；换元法求指数型复合函数定义域、值域、最值。 利用单调性比较指数式大小，简单指数不等式求解。 2.难点 复合函数 “同增异减” 的准确应用，区分内层、外层函数，求复合函数单调区间；换元之后新元取值范围容易出错。 结合图像变换求含绝对值指数函数的单调区间；区分等翻折变换的图像特征。 指数函数与奇偶性、周期性、充分必要条件结合的综合问题；指数与二次函数混合换元的综合大题。 新概念、信息阅读题型，结合指数函数性质进行逻辑分析与推理。| 知识点 1：图像对比a>1与0<a<1 表格 项目 定义域 值域 恒成立 恒成立 过定点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 x>0 y>1 0<y<1 x=0 y=1 y=1 x<0 0<y<1 y>1 图像趋势 从左下往右上上升，x 趋向 从左上往右下下降，x 趋向， 图像共性：全部在x轴上方，x轴是指数函数的渐近线，图像无限靠近 x 轴，但永不与 x 轴相交。 即使训练 若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. 知识点 2：底数大小对图像的影响（底数图像规律） 在y轴右侧x>0：图像越高，底数越大。 x>0时：a越大，函数值越大。 在y轴左侧x<0：图像越高，底数越小。 的图像关于轴对称。 ，互为偶函数变换，关于 y 轴对称。 即使训练 若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】指数函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 若，则. 知识点 3：指数型复合函数 的性质（复合函数） 复合口诀：同增异减 设 ，外层；，内层。 外层： 关于t单调递增； 关于t单调递减。 同增异减：内外单调性相同，复合函数递增；内外单调性相反，复合函数递减。 ⚠注意：复合函数定义域由内层t=f(x)决定；值域：先算t范围，再代入外层指数函数。 知识点 4：指数函数图像变换（平移、对称、翻折） 设基础函数 左右平移：向右移h单位；h<0向左移|h|单位。 上下平移：，k>0向上移k；k<0向下移|k|。 对称变换 ：与关于轴对称； ：与关于轴对称； ：与关于原点中心对称。 翻折变换 ：保留图像；x<0部分把x>0图像沿 y 轴向右翻折；是偶函数。 恒成立，图像不变。 题型 1：指数函数图像定点、图像变换 【典例1】若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 【变式1】若函数的图象与函数的图象关于原点对称，则________. 【答案】 【分析】设是所求函数的图象上任一点，利用对称性推得是函数的图象上的点，整理即得答案. 【详解】设是所求函数的图象上任一点， 因函数的图象与函数的图象关于原点对称，则是函数的图象上的点， 即，整理得，故得. 【变式2】函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 【变式3】已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】（1）先去掉解析式中的绝对值，再利用平移变换作图． （2）根据图象，结合函数单调性，即可判断. 【详解】（1）由题意，， 所以的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 所以函数的图象如图： . （2）由图象可知其单调递增区间为；单调递减区间为． 题型 2：指数函数单调性、复合函数单调区间 【典例1】若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 【变式1】已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意得，，得， 故实数的取值范围是. 【变式2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2). 【分析】（1）求出，分别解与即得单调区间. （2）将化为关于的二次函数，由求其值域，即为的取值范围. 【详解】（1）的定义域为. . 令，得，即. 当时，，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，则. 因为，所以. 设，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，. 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，. 所以的取值范围为， 即存在，使得有解时，实数的取值范围是. 【变式3】求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型 3：指数式比较大小 【典例1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 【变式1】设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，判断的大小关系. 【答案】 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于1，，小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以. 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数的单调性比较大小； （2）根据指数函数的单调性比较大小； （3）借助中间量及指数函数的单调性比较大小. 【详解】（1）由于指数函数在上单调递增，而，所以. （2）因为函数在上单调递减，而，所以， （3）因为在上单调递减，所以； 又在轴右侧， 函数的图象在的图象的上方，所以，所以. 【变式3】已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性判定. 【详解】由题，，函数在上是减函数，所以. 题型 4：指数函数定义域、值域、最值 【典例1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合题设可得答案. 【详解】因对任意实数，，从而，则的值域为. 【变式1】函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】设，将转化为关于的二次函数，即可判断有无最值. 【详解】设，则， 当时函数单调递增，当时函数单调递减，故有最大值，无最小值. 【变式2】函数的定义域是______，值域是______. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义和图象、结合换元法求解定义域和值域. 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 【变式3】求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 题型 5：充分必要条件（指数背景） 【典例1】已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若,则，所以， 取，此时，但， 综上 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 【变式1】若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性推导的取值范围. 【详解】因为，， 所以 ， 已知，因此 ，两边同除以得， 则 ， 即， 由于指数函数在上单调递增，因此， 等号成立当且仅当，此时，满足条件， 因此的取值范围是. 【变式2】已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由函数是指数函数，得，解得且， 又，而，因此函数是减函数，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式3】若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：对任意， ， 当，即时，恒有，与取值无关， 故对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可； （2）函数的图象关于直线对称，即，可得，令求解即可； （3）由题意得有两个不相等的实数根，利用换元法设，， 则，有两个不相等正实数根，利用及韦达定理列式求解即可. 【详解】（1）依题意为偶函数， 所以， 所以， 即对任意的实数恒成立， 所以． （2）略 （3）时，， 由题意得有两个不相等的实数根， 设，，则， 因为与一一对应， 所以新方程有两个不相等正实数根， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 题型 6：指数型函数奇偶、对称、周期 【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 【变式1】定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，则和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【分析】A：将变形为即可判断； B：根据、的大小关系可作出判断； C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果； D：先分析，的图象的对称性，然后作出，在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以. 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为，又因为， 所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，， 因为是R上的奇函数，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称，， 所以，所以的图象也关于对称， 作出，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示： 由图象可知：，的交点关于对称，且交点个数为大于等于2的偶数， 所以当且仅当，的图象仅有两个交点时，所有交点横坐标之和才为，故D错误. 【变式2】已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】AD 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 【变式3】已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 题型 7：解指数不等式（普通 + 分段函数） 【典例1】已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断函数的奇偶性与对称性，再根据直接法判断函数的单调性，解不等式即可. 【详解】， 设， ， 由，得， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数； 则， 即，整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为，故选B． 【变式1】已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数为奇函数且在上单调递增，根据函数性质可得对，恒成立，结合判别式运算求解即可. 【详解】当时，，有； 当时，，有； 且，可知函数为奇函数， 又因为函数在内单调递增，则函数在内单调递增， 可得函数在上单调递增， 不等式可化为， 可得，即对，恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式2】已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，再分析函数在各定义域区间的单调性，分情况讨论解不等式. 【详解】依题意，得或，所以的定义域是， 当， 单调递减，则单调递减， 单调递减，则单调递减，所以在上单调递减； 当， 单调递增，则单调递增， 单调递增，则单调递增，所以在上单调递增； 当，，结合的定义域，则或，即或， 当，在上单调递减，，则，不符合要求；当，，不符合要求， 当，，在上单调递增，，则，符合要求，所以. 【变式3】已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 题型 8：新概念、信息题（可倒函数等） 【典例1】若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的单调性，结合函数图象分析判断即可. 【详解】由题意，实数，满足，可化为， 设，， 由基本初等函数的性质，可得，在上都是单调递增函数， 画出函数，的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当时，；当时，. 故当或时，，即成立，A正确； 当时，，B不正确； 当时，可能成立，C正确； 当时，可能成立， D正确． 【变式1】已知函数（为自然对数的底数）.记，，，则，，三者中最大的是___________，最小的是___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨其对称性和单调性，再利用性质比较大小. 【详解】函数， 令内层二次函数，这是开口向下的抛物线，对称轴为， 复合函数性质：在上单调递增，所以的单调性与相同， 当时，递增，递增， 当时，递减，递减， 又因为，所以， 所以函数关于对称，所以函数离对称轴越近，函数值越大， 因为， 所以，即， 故，，三者中最大的是，最小的是. 【变式2】设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 【答案】 【分析】令，转化为讨论的性质，利用特殊值法以及单调性的定义可得在上单调增，且.于是将不等式转化为，并结合单调性得到，最后解得. 【详解】设，则， 令，则，所以， 令，则. 设，因为时，所以， ， ， 由函数单调性的定义可知，在上单调递增. 又因为可化为 ，即， 结合，可得， 所以， 又因为在上单调递增，所以， 即，所以， 因为对恒成立， 所以，解得. 【变式3】已知函数 ，其中为实常数. 若，则__________;若存在直线与的图象有无穷多个交点，则__________. 【答案】 【分析】①根据题意，由分段函数的表达式即可求解；②分析分段函数的图像，寻找无穷交点的条件即可. 【详解】①已知，所以当时，，所以， 当时，，因此； ②根据题意，函数 的图像如图所示（）， 要使直线与的图象有无穷多个交点，则方程有无穷多个解， 由于时，，而直线在时趋于，所以在时直线与最多有有限个交点， 因此，无穷交点必须出现在的区间， 在时，是由上的图像不断向右平移单位，向上平移单位得到周期性结构， 若，的图像是周期为的周期函数，有界，此时直线与只有有限个交点； 若，的图像呈阶梯状上升（）或下降（）， 直线的斜率为，即每向右单位，增加， 为了让直线与函数每个周期的图像都有交点（从而有无穷多个交点），则在每个周期结束时的增量必须等于直线在周期长度上的增量， 即时，， 令，则，所以是一个周期为的函数， 方程等价于， 因为在时是周期函数，所以只要在的值域内，就会有无穷多个交点， 因此，当时，存在直线与的图象有无穷多个交点. 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】由，得， 由，得，得， 则推不出，推不出， 故“”是“”的既不充分又不必要条件． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】不等式可化为，整理得 ， 解得，即该不等式的解集为. 分式不等式等价于， 解得，即该不等式的解集为. 因为不包含于，也不包含于，所以是既不充分也不必要条件. 3．函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，则函数的图象过点，故选项A错，B对； 当时，，则函数的图象过点，故选项C错； 当时，，则函数的图象过点，故选项D错. 4．函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 5．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 6．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 7．若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 9．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 1．已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足，分别求出a的取值范围，最后取公共部分即可得解. 【详解】当时，. 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，的解集为或. “若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足. 当时，恒成立，因为当时，单调递增， 所以应满足，即； 当时，恒成立，则. 则，即a的取值范围为. 2．函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 3．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：（，）． (1)证明“三元不等式”：（，，）； (2)若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)由，，， 则，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号； 同理，当且仅当时取等号； 同理，当且仅当时取等号， 则三式相加得， 又由“二元不等式”得，，， 所以，即，当且仅当时取等号，得证． (2) 【分析】（1）先证明，，，将三式相加，进而结合“二元不等式”即可证明； （2）先根据“三元不等式”求出的最小值为，从而将题意转化为，进而解一元二次不等式即可． 【详解】（1）略 （2）由，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 又不等式对任意实数恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 4．已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 【答案】(1)是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数． (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【详解】（1）略 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令， 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是， 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，． 5．已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 【答案】(1) (2) （或） (3) 【详解】（1）已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得， 移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. （2）当时，，由（1）知，令，得， 设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. （3）由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 6．已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)奇函数 (2)在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）利用定义法判断并证明函数单调性； （3）结合函数的奇偶性与单调性将问题转换为有解且不恒成立，结合函数的值域求的取值范围. 【详解】（1）由且，得， 则函数为奇函数； （2）略 （3）由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 7．已知，，对任意的实数，求证：； 【答案】证明：因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． 【分析】根据指数函数的性质，结合，即可得证. 【详解】略 8．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）按与分类讨论指数函数的单调性，求出最值，利用条件列方程，可得答案； （2）代入点，可得，利用指数函数的单调性可得答案； 【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 9．设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 10．已知实数，满足． (1)证明：； (2)求的值． 【答案】(1)因为，且在R上单调递增，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 故． (2) 【详解】（1）略 （2）由，得；由，得， 两式相乘得， 又在R上单调递增，所以． 11．已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 【答案】(1)是奇函数．理由如下： 因函数的定义域是. 由， 可得函数是奇函数． (2)任取，且， 则 因为，所以，又， 则， 即 故函数是上的增函数． 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断； （2）利用函数的单调性定义判断. 【详解】（1）略 （2）略. 12．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）将，代入函数解析式求，将，代入函数解析式求； （2）将相应的自变量值代入函数解析式化简即可求解； （3）借助（2）中的结论即可求解. 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. 13．已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，满足题意， 故实数的值为； 在定义域上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即， 故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可，根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可； （2）根据存在性问题可得，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）要使得在区间上有解， 只需， 由（1）可得，在上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 14．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)y＝. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，， 定义域为. ，， 的值域为. （2）定义域为. ， ， 此函数的值域为. （3），， ， 定义域为. ，. 又，. ， ，此函数的值域为. 15．根据指数函数的图象，对底数的取值范围分类讨论，分别求当和时，的取值范围. 【答案】 底数 x的范围 y的范围 【解析】略 16．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 17．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【答案】(1)定义域为，且，值域为，且； (2)定义域为，值域为 【分析】根据给定的各函数有意义列出不等式，求解即得对应函数的定义域；由求得的定义域确定相应函数的指数取值，再借助指数函数性质即可求得值域. 【详解】（1）由，得， 故的定义域为，且， 又，即 故的值域为，且； （2）要使函数有意义，则，解得. 所以函数的定义域为， 因为，所以， 即函数的值域为. 18已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）应用指数运算法则计算求解； （2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解：，. （2）解：对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $