第2章 滚动习题(四)(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦幂函数、函数性质等核心知识，通过基础巩固-综合应用-探究拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|幂函数定义、单调性区间|如选择题1直接考查幂函数解析式求解，填空题8强化幂函数系数与单调性关系| |提升层|奇偶性与单调性综合、分段函数|如选择题4结合奇函数性质求参数范围，填空题9融合偶函数定义域与解析式| |综合层|函数性质应用与证明|如解答题14需证明单调性并解不等式，体现逻辑推理与数学表达能力|

滚动习题(四) [范围§3~§4] (时间:45分钟　分值:100分) 一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.[2024·黑龙江哈尔滨高一期末] 已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(8)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.2 C.2 D.4 2.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为 (　 ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[0,2] D.[0,+∞) 3.下列函数中,大致图象如图所示的为 (　 ) A.y= B.y= C.y= D.y= 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+2x.若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(2,4) B.(-∞,3] C.(1,3] D.[2,4) 5.已知函数f(x)=若f(2-a2)<f(a),则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-1,2) B.(-2,1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 6.(多选题)[2024·辽宁朝阳高一期末] 对于函数f(x)=(x∈R),下列结论正确的是 (　 ) A.f(-x)+f(x)=0 B.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0) C.函数f(x)的值域为 D.当m∈(0,1)时,方程f(x)=m总有实数解 7.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(y)=2ff,f(1)=-1,f(2)=1,则 (　 ) A.f(3)=-1 B.f=1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 8.[2024·江西抚州高一期末] 幂函数f(x)=(2m2-m-2)x2m-1在区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为　　　　.  9.已知f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,3]上的偶函数,则a+2b=　　　　.  10.若定义在R上的奇函数f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是　　　　.  11.已知a∈R,若函数y= 的值域为R,则a的取值范围是　　　　.  三、解答题(本大题共3小题,共45分) 12.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2+ax+b的图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)在图中网格上将f(x)的图象补充完整,并根据f(x)的图象写出不等式f(x)≥1的解集. 13.(15分)设函数f(x)=x2-2x+2,其中x∈R. (1)求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围; (2)若对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围. 14.(15分)已知函数f(x)=是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=. (1)求f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明; (3)求使f(2m-1)+f(m2-1)<0成立的实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(四) 1.B　[解析] 设幂函数f(x)=xa,由于函数f(x)的图象过点(2,),所以=2a,则a=,所以f(x)=,则f(8)==2.故选B. 2.B　[解析] ∵y=|x-2|=∴函数y=|x-2|的单调递减区间是(-∞,2],单调递增区间为[2,+∞),∴f(x)=-|x-2|的单调递减区间是[2,+∞),故选B. 3.A　[解析] 由图象可知函数为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.对于选项B,y==的定义域为[0,+∞),是非奇非偶函数,故排除B;对于选项D,y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为偶函数,故排除D;对于选项C,y==的定义域为R,故排除C;对于选项A,y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数,故A符合题意.故选A. 4.C　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,所以当x>0时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-(x2-2x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以f(x)=由二次函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为[-1,1],又函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,所以-1<a-2≤1,即1<a≤3,所以实数a的取值范围是(1,3].故选C. 5.D　[解析] 根据f(x)的图象可得函数f(x)在R上是增函数,故由f(2-a2)<f(a),可得2-a2<a,即a2+a-2>0,解得a<-2或a>1,故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 6.AC　[解析] 对于A,因为f(x)=(x∈R),所以f(-x)+f(x)=+=0(x∈R),所以A正确;对于B,因为f(-1)=f=-,所以f(x)在(-∞,0)上不单调递增,所以B错误;对于C,当x>0时,f(x)==>0,由基本不等式得2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时,等号成立,所以f(x)≤,故当x>0时,f(x)∈,由对A的分析可知,函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,f(x)∈,且f(0)=0,故f(x)的值域为,所以C正确;对于D,当m=时,=,变形得到2x2-2x+1=0,Δ=(-2)2-4×2×1=-4<0,方程无解,所以D错误.故选AC. 7.AC　[解析] 令x=y=2,则2f(2)=2f(2)f(0),可得f(0)=1.令x=3,y=1,则f(3)+f(1)=2f(2)f(1),可得f(3)=-1,故A正确;令x=1,y=0,则f(1)+f(0)=2,可得f=0,故B错误;令y=-x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(x)+f(-x)=2f(x),则f(-x)=f(x),故f(x)是定义在R上的偶函数,故C正确,D错误.故选AC. 8.　[解析] ∵f(x)为幂函数,∴2m2-m-2=1,∴m=-1或m=,又∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴2m-1>0,即m>,∴m=. 9.-4　[解析] ∵f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,3]上的偶函数,∴f(-x)=f(x)且1+a+3=0,得a=-4,且ax2-bx+2=ax2+bx+2,则-bx=bx,得b=0,∴a+2b=-4. 10.[-1,1]　[解析] 由题图知f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,0]上单调递增,故f(x)的单调递增区间为[-1,1]. 11.<a≤　[解析] 函数y=x3在(-∞,1]上单调递增,则当x≤1时,x3∈(-∞,1],由函数y= 的值域为R,得函数y=(3a-1)x+2a在x>1时的函数值集合包含(1,+∞).当3a-1<0时,y=(3a-1)x+2a在(1,+∞)上单调递减,函数值集合为(-∞,5a-1),不符合题意;当3a-1=0时,y=2a,x>1,函数值集合为{2a},不符合题意;当3a-1>0时,y=(3a-1)x+2a在(1,+∞)上单调递增,函数值集合为(5a-1,+∞),由(1,+∞)⊆(5a-1,+∞),得5a-1≤1,解得a≤,又由3a-1>0,得a>,因此<a≤.所以a的取值范围是<a≤. 12.解:(1)由题意得解得 则当x≥0时,f(x)=x2-2x-2.因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)-2=x2+2x-2. 故f(x)= (2)f(x)的图象如图所示. 由f(x)的图象可得,不等式f(x)≥1的解集为(-∞,-3]∪[3,+∞). 13.解:(1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象开口向上,对称轴为直线x=1,则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,4]上单调递增,且f(0)=2<f(4)=10,所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=1, 当x=4时,f(x)取得最大值10, 所以f(x)在区间[0,4]上的取值范围为[1,10]. (2)“对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5”等价于“当x∈[a,a+2]时f(x)max≤5”. 因为f(x)=(x-1)2+1的图象开口向上, 所以f(x)在[a,a+2]上的最大值为f(a)和f(a+2)中的较大值,则即解得-1≤a≤1, 故实数a的取值范围为[-1,1]. 14.解:(1)根据题意,f(x)=是奇函数, 则f(-x)=-f(x),即=-,可得b=0,∴f(x)=. ∵f(1)=,∴=,解得a=3,∴f(x)=. (2)f(x)在[-1,1]上为增函数. 证明如下:任取x1,x2,且-1≤x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=-=, ∵-1≤x1<x2≤1,∴1+>0,1+>0,1-x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[-1,1]上为增函数. (3)∵f(2m-1)+f(m2-1)<0,∴f(2m-1)<-f(m2-1),∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, ∴f(2m-1)<f(1-m2), 又f(x)在[-1,1]上为增函数, ∴解得0≤m<-1. 故使f(2m-1)+f(m2-1)<0成立的实数m的取值范围为[0,-1). 学科网（北京）股份有限公司 $