第2章 4 函数的奇偶性与简单的幂函数-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　奇偶函数的定义及判定方法 1.函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案　C 解析　∵x∈[－1,2]不关于原点成中心对称，∴函数是非奇非偶函数． 2．函数f(x)＝＋x3的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案　C 解析　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称． 3．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝ 解　(1)奇函数．f(x)的定义域为实数集R，且f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)偶函数．f(x)的定义域为实数集R. 当x∈Q时，－x∈Q，且f(－x)＝1＝f(x)． 同理，当x为无理数时，－x也为无理数． 且f(－x)＝－1＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)奇函数．由题意知，f(x)的定义域为{x|x≠0}．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．综上所述，对任意的x≠0，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数. 知识点二　函数奇偶性的应用 4.已知y＝f(x)是奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________． 答案　5 解析　f(－3)＝－f(3)＝－6，即(－3)2－3a＝－6,3a＝15，所以a＝5. 5．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式． 解　当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝ 知识点三　幂函数的定义与应用 6.下列函数是幂函数的为(　　) ①y＝；②y＝2x2；③y＝x2＋x；④y＝(x－2)3；⑤y＝1. A．①⑤ B．② C．① D．①②④ 答案　C 解析　由幂函数的定义可知y＝＝x－2，是幂函数，故选C. 7. 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，－1，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－1，，2 B．2，，－1，－2 C．－1，－2,2， D．2，，－2，－1 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－1，曲线C4的n＝－2，故选B. 8．已知点在幂函数f(x)的图象上，求f(x)的解析式． 解　设f(x)＝xα，由题意可得＝2α，即α＝－2.故f(x)＝x－2. 9．已知是定义域为R的幂函数，求m，n的值． 解　由题意得 解得或 又当m＝1，n＝时，y＝x0的定义域为{x|x≠0}，不满足题意，故舍去．所以m＝－3，n＝. 易错点　判断函数奇偶性时忽略定义域 10.判断函数f(x)＝(x－1) 的奇偶性． [易错分析]　本题容易不求定义域而直接化简函数解析式，再判断f(－x)与f(x)的关系，此过程已经扩大了定义域的范围，致使判断错误． 正解　函数f(x)的定义域为[－1,1)，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 一、选择题 1．函数f(x)是定义在区间[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　　) A．f(0)<f(6) B．f(3)>f(2) C．f(－1)<f(3) D．f(2)>f(0) 答案　C 解析　∵f(x)为偶函数，且f(3)>f(1)，∴f(－1)＝f(1)<f(3)． 2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝(　　) A．－26 B．－18 C．－10 D．10 答案　A 解析　令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)是奇函数，∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0，∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26. 3. 已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如右图所示，则函数f(|x|)的图象是(　　) 答案　B 解析　∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x>0的图象保留，且关于y轴对称得到的．故选B. 4．[多选]设α∈，则可以使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α值为(　　) A．－1 B．1 C． D．3 答案　BD 解析　当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数．当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数．当α＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且为奇函数．故选BD. 5．[多选]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－7)＝0，则(　　) A．f(x)在(－∞，0)上单调递减 B．f(x)的图象与x轴只有2个交点 C．f(8)＜0 D．不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－7)∪(0,7) 答案　ACD 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－7)＝0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(7)＝0，f(0)＝0.则对应的大致图象如图，故A正确，C正确，D正确；f(x)的图象与x轴有3个交点，故B错误．故选ACD. 二、填空题 6．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为__________． 答案　f(x)＝x3 解析　根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合题意．故f(x)＝x3. 7．定义在R上的偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则f(－2)，f(1)，f(3)的大小关系为________． 答案　f(3)<f(－2)<f(1) 解析　由<0，得f(x)在[0，＋∞)上单调递减．又由偶函数的性质，得f(3)<f(2)＝f(－2)<f(1)． 8．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________． 答案　 解析　∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1，2a]关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，∴得，∴f(x)＝x2＋1，x∈，其值域为. 三、解答题 9．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，画出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，结合图象回答当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． 解　设f(x)＝xα， 则由题意得2＝()α， 所以α＝2，即f(x)＝x2， 再设g(x)＝xβ， 则由题意得＝(－2)β， 所以β＝－2， 即g(x)＝x－2， 在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示． 由图象可知， (1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； (2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)． 10．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x， (1)求f(－2)； (2)求出函数f(x)在R上的解析式； (3)在坐标系中画出函数f(x)的图象． 解　(1)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，因此对任意的x都有f(－x)＝f(x)， 所以f(－2)＝f(2)，而f(2)＝22－2×2＝0，所以f(－2)＝0. (2)当x<0时，－x>0，因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. 综上，f(x)＝ (3)图象如图： 学科网（北京）股份有限公司 $$